积分

积分思维导图（大一），主要内容有：不定积分、定积分、反常积分、曲线积分与曲面积分、重积分。

积分思维导图

• 不定积分
  • 概念
    • 关系：微分=求导，积分=求原函数
    • 定义：若F'（x）=f（x）,则称F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数
  • 性质
    • 1.函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和
    • 2.求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来
  • 计算方法
    • 换元积分法
      • 第一类换元
      • 第二类换元
    • 分部积分法
    • 有理函数的积分
• 定积分
  • 概念
    • 求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积
  • 性质
    • 1.和差的定积分等于它的定积分的和差
    • 2.积分中的常数因子可以外提
    • 3.定积分的积分区间具有可加性
  • 积分上线函数及导数
  • 牛顿-莱布尼茨公式
  • 计算方法
    • 换元法
    • 分部积分法
  • 应用
    • 元素法
    • 在几何学上
      • 1.平面图形的面积
      • 2.极坐标情形
    • 体积
      • 1.旋转体的体积
      • 2.平行截面面积为已知的立体的体积
    • 平面曲线的弧长
    • 在物理学上的应用
      • 1.变力沿直线所做的功
      • 1.计算水压力
      • 3.引力
• 反常积分
  • 无穷限的反常积分及审敛法
  • 无界函数的反常积分及审敛法
• 曲线积分与曲面积分
  • 曲线积分
    • 对弧长的曲线积分
    • 对坐标的曲线积分
    • 格林公式
  • 曲面积分
    • 对面积的曲面积分
    • 对坐标的曲面积分
  • 高斯公式
• 重积分
  • 二重积分
    • 几何意义
      • 1.曲顶柱体的体积
      • 2.平面薄片的质量
    • 性质
      • 1.（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）
      • 2.（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外
      • 3.比较性
      • 4.估值性
      • 5.中值定理
    • 计算方法
      • 直角坐标
        • 先x后y
        • 先y后x
      • 极坐标
        • x=ρcosθ，y=ρsinθ，dxdy=ρdρddθ
      • 换元法（不常用）
  • 三重积分
    • 概念
      • 不均匀的空间物体的质量
    • 性质
      • 1.被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面
      • 2.函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差
      • 3.如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和
      • 4.估值性质
      • 5.中值定理
    • 计算方法
      • 直角坐标
        • 先一后二
        • 先二后一
      • 柱面坐标
      • 球面坐标
  • 应用
    • 1.曲面的面积
    • 2.质心
    • 3.转动惯量
    • 4.引力

积分思维导图

• 不定积分
  • 概念
    • 关系：微分=求导，积分=求原函数
    • 定义：若F'（x）=f（x）,则称F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数
  • 性质
    • 1.函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和
    • 2.求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来
  • 计算方法
    • 换元积分法
      • 第一类换元
      • 第二类换元
    • 分部积分法
    • 有理函数的积分
• 定积分
  • 概念
    • 求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积
  • 性质
    • 1.和差的定积分等于它的定积分的和差
    • 2.积分中的常数因子可以外提
    • 3.定积分的积分区间具有可加性
  • 积分上线函数及导数
  • 牛顿-莱布尼茨公式
  • 计算方法
    • 换元法
    • 分部积分法
  • 应用
    • 元素法
    • 在几何学上
      • 1.平面图形的面积
      • 2.极坐标情形
    • 体积
      • 1.旋转体的体积
      • 2.平行截面面积为已知的立体的体积
    • 平面曲线的弧长
    • 在物理学上的应用
      • 1.变力沿直线所做的功
      • 1.计算水压力
      • 3.引力
• 反常积分
  • 无穷限的反常积分及审敛法
  • 无界函数的反常积分及审敛法
• 曲线积分与曲面积分
  • 曲线积分
    • 对弧长的曲线积分
    • 对坐标的曲线积分
    • 格林公式
  • 曲面积分
    • 对面积的曲面积分
    • 对坐标的曲面积分
  • 高斯公式
• 重积分
  • 二重积分
    • 几何意义
      • 1.曲顶柱体的体积
      • 2.平面薄片的质量
    • 性质
      • 1.（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）
      • 2.（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外
      • 3.比较性
      • 4.估值性
      • 5.中值定理
    • 计算方法
      • 直角坐标
        • 先x后y
        • 先y后x
      • 极坐标
        • x=ρcosθ，y=ρsinθ，dxdy=ρdρddθ
      • 换元法（不常用）
  • 三重积分
    • 概念
      • 不均匀的空间物体的质量
    • 性质
      • 1.被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面
      • 2.函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差
      • 3.如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和
      • 4.估值性质
      • 5.中值定理
    • 计算方法
      • 直角坐标
        • 先一后二
        • 先二后一
      • 柱面坐标
      • 球面坐标
  • 应用
    • 1.曲面的面积
    • 2.质心
    • 3.转动惯量
    • 4.引力