线性代数

这是一篇关于线性代数的思维导图，主要内容有1.概念2.性质3.常用公式4.计算5.按行(列)展开定理6.克拉默法则。

一、行列式

• 1.概念
  • 行列式
    • 不同行列的乘积的代数和
  • 逆序数
    • 题
  • 余子式/代数余子式
    • 余子式：去掉aij所在行列留下来的n-1阶叫做aij的余子式，记作Mij
    • 代数余子式Aij=(-1)*i+jMij
• 2.性质
  • ①转置行列式(行列交换)的值不变
  • ②行列式两行(列)对换，其值变号
  • ③行列式某行(列)公因子可以提到行列式外
  • ④某行(列)每个元素都是由两个数之和组成，可以拆成两个行列式的和
  • ⑤某行(列)元素的k倍加到另一行(列)，其值不变
  • ⑥行列式中两行(列)元素对应相等，行列式值为0
  • ⑦行列式中两行(列)元素对应成比例，行列式值为0
  • ⑧行列式中一行(列)元素全部为0，行列式值为0
• 3.常用公式
  • 对角行列式=a11a22...ann
    • 上三角行列式
      • 下三角行列式
  • 副对角线行列式(行列交换思想)
    • 副对角线上三角/下三角
  • 范德蒙行列式
  • 拉普拉斯行列式
• 4.计算
  • 化三角
  • 行和相等/爪形
    • 题
  • 递推/数学归纳
  • 加边法
• 5.按行(列)展开定理
  • 方阵的行列式
  • 题
    • 代数余子式
    • 余子式
• 6.克拉默法则

二、矩阵

• 矩阵概念
  • m行n列数表[]称为一个m×n矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶方阵
  • 零矩阵：[]元素全部为0
  • A=[aij]m×n,B=[bij]s×t，如果m=s,n=t，则称A、B是同型矩阵
  • A=[aij]m×n,B=[bij]m×n，如果aij=bij，则称A、B相等
  • 当矩阵A为方阵时，方阵A对应的行列式|A|称作方阵的行列式
  • 若m=1,A=[a1，a2，an]称作行矩阵或行向量；n=1,称作列矩阵或列向量
• 矩阵运算性质
  • • 设k、l是两个常数，A、B同型矩阵；①kA=Ak，0A=0；②k(lA)=(kl)A；③k(A+B)=kA+kB；④(k+l)A=kA+lA
  • 乘法性质（内标相同可以乘）行列对应相乘
    • (A+B)C=AC+BC；C(A+B)=CA+CB；k(AB)=(kA)B=A(kB)
• 特殊矩阵
  • 转置矩阵AT
    • 单位矩阵：E主对角上元素全是1，其他全是0
      • 对称矩阵：AT=A，aij=aji
        • 反对称矩阵：AT=-A，aii=0，aij=-aji
          • 对角矩阵：aij=0（i≠j）
  • 伴随矩阵
    • AA*=A*A=|A|E
  • 逆矩阵(矩阵可逆充要条件行列式≠0)
    • • |AB|=|A||B|
      • 求逆矩阵方法
        • 1.
        • 2.
        • 3.
          • 题
        • 4.性质
        • 5.待定系数
      • 证明矩阵可逆：行列式不为0
• 矩阵方程及其解法
  • 矩阵方程及其解法
  • 分块矩阵和准对角矩阵
    • 按行分块，按列分块，准对角矩阵(Ai为方阵)
• 矩阵的初等变换与矩阵的秩
  • 初等变换
    • 初等矩阵(单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵)：左行右列1.Eij 2.Ei(K) 3.Eij(K)
      • 初等矩阵性质
    • 题
  • 矩阵的等价与等价标准形
  • 矩阵的秩
    • 矩阵的子式
      • 矩阵A为m×n，任取k行k列交叉的元素按其原来顺序组成的k阶行列式为A的子式
    • 矩阵的秩及其性质
      • 有一个r阶子式不为零，所有r+1阶子式全为零，则矩阵A的秩为r，记作r(A)
    • 满秩矩阵及其性质
      • 满秩矩阵：n阶方阵A，r(A)=n
      • 题
• 矩阵幂运算
  • 1.
  • B为幂零矩阵
  • 3.递推
  • 4.

三、向量

• 向量组的线性相关性
  • 1.向量的计算
    • 数乘：常数k与向量α的乘法，kα
      • (α，β)=0称向量α与β正交
  • 2.向量的加法与数乘的性质
  • 3.线性组合和线性表示
    • 设α1,α2,...,αs是n维向量，k1,k2,...,ks是数，则k1α1+k2α2+...+ksαs称作向量α1,α2,...,αs的一个线性组合
      • 若β=k1α1+k2α2+...+ksαs，称β可由α1,α2,...,αs线性表示/线性表出
    • 判断能否线性表出
• 向量组的线性相关与线性无关(如何判断)
  • 方法1.定义
    • 设α1,α2,...,αs是n维向量，若存在不全为0的数k1,k2,...,ks，使得k1α1+k2α2+...+ksαs=0，向量α1,α2,...,αs线性相关，否则线性无关
  • 线性相关性与线性表示的联系
    • 向量组相关←→向量组中有一个向量可以由其他相信线性表示；向量组线性无关←→向量组中任意向量都不能由其他表出。
  • 题
    • A充分条件；B任意；C可能维数等于个数
  • 方法2.n×n型行列式=0相关；r(A)=n列满秩无关
    • ①
    • ②
    • ③
    • 判断是否相关
  • 方法3.方程组:齐次方程组只有0解
    • 题
  • 方法4.反证法
    • 题
  • 线性相关性的性质
    • ①若α1,α2,....αs线性无关,而α1,α2,....αs,β线性相关，则β可由α1,α2,....αs线性表出，且表示方法唯一
    • ②若α1,α2,....αs可由β1,β2,...,βt线性表出,且s＞t,则α1,α2,....αs线性相关
    • ③若α1,α2,....αs线性无关且可由β1,β2,...,βt线性表出,则s≤t
    • 包含零向量的向量组必线性相关
    • 一个向量组中如果部分向量线性相关，则整个向量线性相关
    • 一个线性无关的向量组，其中任何部分向量组都线性无关
    • 对于一个线性相关的向量组，维数低的新向量组也线性相关
    • 对于一个线性无关的向量组，如果每个向量在同一位置增加分量得到的新向量组也线性无关
  • 题
    • 证明
      • 极大无关组的秩r(α1,α2,...,αs)≤r(α1,α2,...,αs+1)
• 极大线性无关组
  • 1.向量组的等价
    • 两个向量组互相能线性表出，称作两个向量等价
  • 2.向量组的极大线性无关组
    • ①αi1,αi2,...,αis线性无关
    • ②其余向量都可以由αi1,αi2,...,αis表出——等价
    • 极大线性无关组不是唯一的，但是组成个数是唯一的=秩
  • 3.矩阵的简化行阶梯形
    • 主元为1，零行在矩阵底部，非零行主元在前一行主元的右方，主元上一个元素0
• 向量组的秩
  • 向量组的秩
    • r(α1,α2,...,αs)=极大无关组=r(A)
  • 向量组的秩与向量组线性表示之间的联系
    • ①向量组I的秩为r1，向量组II的秩为r2，向量组I可由II表出，r1≤r2
    • ②等价的向量组秩相同
  • 向量组等价与矩阵等价区别
    • 向量组等价——向量组之间互相线性表出
    • 矩阵等价——同型且可由初等行变换得到
  • 向量组的秩与矩阵的秩的联系
    • m×n矩阵，m行向量构成的向量组的秩称为矩阵的行秩，n列向量组的秩称为列秩
    • 矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩
• 题
  • 向量组等价
    • 方阵可以用行列式，否则只能初等行变换
  • 秩于极大无关组

四、方程组

• 克拉默法则
• 线性方程组
  • 1.高斯消元法（解方程的最基本方法）
  • 2.齐次线性方程组有解的条件
    • A为m×n矩阵，Ax=0只有零解←→r(A)=n或A列满秩
    • A为m×n矩阵，Ax=0有非零解←→r(A)＜n
    • 特殊情况
      • ①若A为n阶方阵，Ax=0有非零解←→|A|=0，r(A)＜n，A不可逆
      • ②若A为n阶方阵，Ax=0只有零解←→|A|≠0
      • ③若A为m×n矩阵，当m＜n，Ax=0必有非零解
  • 3.非齐次线性方程有解的条件
    • 有解的充要条件
      • Ax=b有唯一解
      • Ax=b有无穷解
• 齐次线性方程组
  • Ax=0基础解系——设ξ1,ξ2,...,ξn-r是Ax=0的解向量，满足
    • ①ξ1,ξ2,...,ξn-r线性无关
    • ②Ax=0的任一解向量ξ均可由ξ1,ξ2,...,ξn-r线性表出
  • 解的性质
    • ①ξ1,ξ2是齐次线性方程组Ax=0的解，则ξ1,ξ2,ξ1+ξ2都在Ax=0的解
    • ②ξ是齐次线性方程组Ax=0的解，则kξ也是Ax=0的解
  • 解空间
  • 基础解系有几个解向量=n-r
  • 通解及求法
    • 通解x=k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r，其中k1,k2,...,kn-r为任意常数
  • 题
    • 基础解系
    • 根据解反求方程组
• 非齐次线性方程组
  • 解的性质
    • ①η1,η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，则η1-η2是Ax=0的一个解
    • ②Ax=b的任一解η和Ax=0的解ξ的和η+ξ是Ax=b的解
  • 通解及求法
    • 通解x=η+k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r，其中k1,k2,...,kn-r为任意常数
  • 题
    • 公共解
    • 同解方程组
    • 求通解