缠论解析 - 思维导图

群论历史

Evariste galois(1811-1832)最早在方程论的著作中首次引入群的概念，后提出置换群理论。

Arthur Cayley (1821-1895) 定义了广义抽象群的概念，发展了矩阵理论。

George Ferdinnd Frobenius(1849-1917) 德国代数学家。提出群表示理论和群的特征标的概念。

Weyl (1885-1955) 自然界的和谐可以用数学定律来表示，创造了连续群矩阵表示的广义理论，并发现量子力学的许多规律可用群论得到。

群论物理化学应用

群论最早的应用之一是在晶体结构研究方面，后应用于X-衍射分析，其代表人物为Herman Weyl 和Eugene paul Wigner

Wigner(1902-?)将群论应用于原子核原子核问题。1963年与他人一起获得诺贝尔物理奖。

H. A. Bethe (1906-?)应用群论于晶体本质有关问题。

群的定义

群的定义: 元素(数学对象)的集合{A, B, C, D - - - - -}具备下列条件, 构成群. (1) 封闭性, AB = C (2) 结合律, A(BC) = (AB)C (3) 单位元(不变元素)E, EA = AE = A (4) 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E

群的性质: P.2 (1) E-1 = E , E 的逆元仍为E, (2) (A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身 ( 自证 ) (3) (AB)-1 = B-1 A-1

群阶: 群元数有限群 ( h): 群中所含元素个数有限。如：C2v, D3h 无限群 (∞):群中所含元素个数无限。如：C ∞ v, D ∞ h

可换群: ( 阿贝尔群 ) 群乘与群元的顺序无关 AB = BA

群元和群乘

数群: 以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群

例(1)：全部正负整数 ( 包括 0 ) 的集合，群乘为加法 E = 0， A = n, A -1= -n 这是无限群、可换群

例(2)：全部正负整数 ( 不包括 0 ) 的集合，群乘为乘法 E = 1， A = n, A-1 = 1/n

提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为 A-1 = 1/n 不是整数，A 没有逆元。

置换群： P.4 以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群

例: Z3 群 ( 三位置置换群 ) ┌ 1 2 3 ┐ ∣ ∣ 表示将 1、2、3 处之物分别放於 2、3、1 处， └ 2 3 1 ┘ ┌ 1 2 3 ┐ [A] [B] [C] → ∣ ∣ → [C] [A] [B] └ 2 3 1 ┘ Z3群由以下六元素构成： P.5 ┌ 1 2 3 ┐ ┌ 1 2 3 ┐ ┌ 1 2 3 ┐ e = ∣ ∣ a = ∣ ∣ b = ∣ ∣ └ 1 2 3 ┘ └ 2 1 3 ┘ └ 1 3 2 ┘ ┌ 1 2 3 ┐ ┌ 1 2 3 ┐ ┌ 1 2 3 ┐ c = ∣ ∣ d = ∣ ∣ f = ∣ ∣ └ 3 2 1 ┘ └ 2 3 1 ┘ └ 3 1 2 ┘ 可以证明它们符合群的四个基本条件

矩阵群: P.6 以矩阵为群元，以矩阵乘法为群乘，构成矩阵群

例 d3 群 ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 0 1 0 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ e = ∣ 0 1 0 ∣ a = ∣ 1 0 0 ∣ b = ∣ 0 0 1 ∣ └ 0 0 1 ┘ └ 0 0 1 ┘ └ 0 1 0 ┘ ┌ 0 0 1 ┐ ┌ 0 0 1 ┐ ┌ 0 1 0 ┐ c = ∣ 0 1 0 ∣ d = ∣ 1 0 0 ∣ f = ∣ 0 0 1 ∣ └ 1 0 0 ┘ └ 0 1 0 ┘ └ 1 0 0 ┘ 封闭性： a d = b, b d = c, d2 = ?

对称群以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群

列表

群的名称群元群乘举例数群数运算(加、乘等) 例(1) 置换群置换相继置换 Z3群矩阵群矩阵矩阵乘法 d3群对称群对称操作相继操作 D3群

群表及群表定理

群表：群元的乘积表

例： d3 群： ad = b, bd = c, d2 = f D3 群: AD = B, BD = C, D2 = F E A B C D F E E A B C D F A A E D F B C B B F E D C A C C D F E A B D D C A B F E F F B C A E D [ 提问：D3 群是不是阿贝尔群？] [ 答案：不是，因为AB ( = D ) ≠ BA ( = F ) ] 习题: 试证明D3群群表最后一行的偶数位, 即证明 FA = B, FC = A, F2 = D

群表即群: 群的信息全部在群表中，群表即群

[ 思考题：你能找出 d3 , D3及 Z3 群之间的内在联系吗? ] [ 答案: (1) D3群的对称操作可视为三角形三顶点位置的置换；　　　(2) D3 群和 Z3 群的操作都可表示为 3×3 的变换矩阵。 (3) 它们的群表相同，就数学而言它们是同一群； d3 群 = Z3 群 = D3 群 ]

群表定理（重排定理）

G ：{ E， A2， A3，A4 --------- Ah} AkG : { Ak， AkA2，AkA3，AkA4 --------- AkAk }中或GAk : { Ak， A2AK，A3Ak，A4Ak --------- AkAk }中每个元素必然出现并只出现一次 ( 只是重排 )，即群 G 被其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 ) Ak G = G Ak = G

子群和陪集

子群 (subgroup) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G的子群

显然子群：（1）E，（2）G

子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；（2）逆元；（3）封闭性.

[ 提问1：集合律是否需要检验？为什么？] [ 答案：群乘不变，集合律自然满足 ]

[ 提问2：以下哪些集合是 D3 群的子群？( 根据群表 ) {E}，{E，A}，{E，B}，{E，D}， {A，F}, {D，F} {E，A，F}， {E，D，F} ] [ 答案：{E}, {E, A}, {E, B}, {E, D, F} ]

陪集（coset） P.13 子群 S属于G，又 X属于G，但 X不属于S 则，SX 为 S 关于 X 的右陪集, XS 为 S 关于 X 的左陪集（若 X  S，则 XS = SX = S ） [ 提问: 为什么? ] [ 答案: 群表定理 ]

D3 群中子群的陪集（1）子群： S = {E，D，F}；陪集：{A，B，C} （= A {E，D，F} = {E，D，F} B）（2）子群：{E，A}；陪集：{B，F}，（= B {E，A} = F {E，A}） {B，D}，（= {E，A} B = {E，A} D） {C，D}，（= C {E，A} = D {E，A}） [ 提问：陪集是不是群？为什么？] [ 答案: 不是。因为没有 E ]

陪集定理：陪集 SX 和 SY 要么完全相同，要么完全不同（即若有一共同元，则全同）

子群阶定理: 若子群 S  群 G 则子群 S 的阶 g 必然是群 G 阶 h 的正整因子

类及其性质

共轭（conjugate）

共轭元（conjugate element）若 B = XAX-1 （A，B，X  G ）则 A，B 共轭，即A，B互为共轭元

共轭的传递性若 A 与 B 共轭，B 与 C 共轭，则 A 与 C 共轭证明：若 B = XAX-1，C = YBY-1 则 C = YBY-1 = Y(XAX-1)Y-1 = YXAX-1Y-1 = (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX  G ) 故 C 与 A 共轭

相似矩阵矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵

类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类 P.17 对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元) [提问: 为什么?]

类的性质

(1) 单位元自成一类（XEX-1= E）

(2) 类相互独立，彼此无共同元 [ 提问：为什么？] [ 答案：如有一共同元，则为同一类（类的传递性）]

(3) 除 E 以外，所有的类都不是群[ 提问：为什么？] [ 答案: 缺 E ] [ 提问: 为什么缺 E ] [ 答案: E 自成一类 ]

(4) 对于矩阵群，同类的元具有相同的矩阵迹 ( 又称特征标 ) [ 提问：为什么？] [ 答案：矩阵相似变换，矩阵迹不变 ]

分类

基本方法：利用群表寻求共轭元，进行分类

可换群：每元素自成一类证明: ∵ XA = AX ( 可换群 ) ∴ ( 两边右乘X-1 ) XAX-1 = AXX-1 = A

转动群中两转角相同的转动操作，若其转轴可由群中某一操作相互转换，则该二转动操作同类 X A X-1 = B (OA轴OB轴) (绕OA轴转θ角) (OB轴OA轴)=(绕OA轴转θ角)

D3 群的分类（可自己练习）分类方法：（1）利用群表寻求共轭元（2）根据第3 条分类结果：（1）{E} （E 自成一类）（2）{D，F}; {A, B, C} 各为一类

不变子群

定义

P.19：有子群 N属于G 若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）则 N为不变子群

性质

(1)不变子群必包括一个或几个完整的类（即不变子群由完整的类构成）证明：若群元 C  N ( 注意群元 C 与类 C 不同) 则 X C X- 1  N （∵ XNX- 1 = N, C  N ）即类 C  N （∵XCX- 1 = C） ( 即类中若有一元素属于N，则整个类属于N )

(2) 含一个或几个完整类的子群是不变子群 P.20 证明：若子群 S = C1+ C2 ( 以两类为例 ) ∵ XC1X- 1 = C1，XC2 X- 1 = C2 ∴ XSX- 1 = X（C1 + C2）X- 1 = XC1X- 1 + XC2 X- 1 = C1 + C2 = S 即 S 为不变子群

(3)不变子群的两个陪集相乘（包括自乘）必为一个陪集或不变子群自身证明：N 为 G 的不变子群 NK 和 NL 为 N 的陪集 NKNL = NKN（K-1K）L = N（KNK-1）KL = NNKL = N（KL）（NN = N）若 KL 不在 N 中，则 N（KL）是 N 的陪集若 KL 在 N 中，则 N（KL）是 N 自身

例 D3 群中，不变子群 N = { E，D，F } P.21 两陪集的乘积 ( NA ) ( NB ) = {E, D, F}A {E, D, F}B = {E, D, F}{E, D, F}AB = {E, D, F} (AB) [ 提问: 是因为 D3 群是可换群吗? ] [ 答案: 是因为{E, D, F}是不变子群] ( AB = D ) = {E, D, F} D ( 仍是陪集, = {E, D, F} )

(4) 不变子群的判断判别条件 : （1）由完整的类构成； (缺一不可) （2）其阶是 G 群阶的因子 ( 子群阶定理 ) [ 提问：下列集合中哪些是 D3 群的不变子群? ] {E, A}, {E, D}, {E, A, B}, {E, D, F}, {A, B, C} ] [ 答案：{E，D，F} ] ( {A, B, C} 缺 E, 其余不是完整类 ) ] [ 提问：{E，A，B，C}是否为不变子群？ ] [ 答案：不是，其阶4，不是 h = 6 的因子 ]

商群

定义: 若不变子群N  G，则以N及其陪集为群元，以其乘法为群乘, 构成商群，记为G/N，其阶m = h/g，其中g和h为N和G的阶

例：D3 群的商群 P.23 母群 G = { E，A，B，C，D，F } 不变子群 N = { E，D，F } 商群 G/N = { N，AN } = {{E，D，F}，{A，B，C}} （ AN = A{ E，D，F } = { A，B，C } ）

证明 G/N = { N，NK2，NK3 ------- NKm } 确实是群 (1) 单位元：N为单位元证明: N（NKi）= NNKi = NKi 同理（NKi）N = N（KiN） = N（NKi ）= Nki 故 N为单位元 (2) 逆元： NKi 的逆元为NKi-1，即 (NKi)-1 = NKi-1 证明：（NKi）（NKi-1 ）= NKiNKi-1 = NNKiKi-1 = NN = N (3) 封闭性: 不变子群的两陪集相乘为一陪集或不变子群自身 (4) 结合律: 群 G 商群的乘积最终化为群 G 群元的乘积，群 G 服从结合律，其商群必服从结合律

同构与同态

同构

定义：两群：G = { A, B, C ------------ }, A B = C G’ = { A’, B’, C’ ------------ }, A’B’= C’ 若（1）群元一一对应；（2）群乘关系一一对应则该二群G和G’同构

性质：同构群必: 群表相同（1）群阶相同; （2）群乘关系相同

例：D3 与 d3 群同构

子主题

同态

若两群：G = { Ai, Bi, Ci ------------ }, AiBi=Ci G’= { A’, B’, C’ ------------ }, A’B’=C’ 其中， Ai = A1, A2, A3 ----- Bi = B1, B2, B3 ----- Ci = C1, C2, C3 ----- i = 1, 2, 3 ------- N, ( 不是一一对应, 而是一N对应 ) 则该二群 G 和 G’ 同态

直积群

若G1和G2是两个这样的群，即（1）两者有相同的组合法则；（2） G1中的元素可以与G2中的元素相交换；（3）两个群间除恒等元素外，不存在别的共同元素。那么，当A1A2 =K而构成一个群G时，此G就称为G1和G2的直积群。用符号可写成 G= G1×G2

群论基础

群论基础