《深入浅出统计学》-几何分布、二项分布及泊松分布

《深入浅出统计学》-几何分布、二项分布及泊松分布。花最少的时间，弄懂数据分析里面的统计学知识。这是第7部分，求特殊概率分布～

7.特殊概率分布（离散）

• 几何分布
  • 应用条件
    • 进行一系列的独立试验；
    • 每一次试验或成功或失败，每一次试验的成功概率相同；
    • 求：为了取得第一次“成功”，需要进行多少次试验？
    • • X
        • 取得第一次成功需要试验的次数
      • p
        • 单次试验的成功概率
          • probability
      • 独立
        • 假如滑雪，任意一次试滑不出事故顺利抵达坡底的概率均为0.2
  • 概率算式
    • • 在第 r 次试验时取得第一次成功的概率
        • 失败概率：q=1-p
        • 为了第r次试验取得成功，首先要失败（r-1）次
    • • 需要试验 r 次以上，才能取得第一次成功的概率
        • 即前 r 次试验必须失败告终
        • 不需要 p，因为不需要确切知道哪一次实验是成功的，只需要试验次数必须大于 r 就行
    • • 需要试验r次或者不到r次， 即可取得第一次成功的概率
  • 期望 / 方差
    • E（X）= 1/p
      • 单次试验成功概率为 p ,可以理解为 1/p 次尝试中有一次尝试趋向成功
      • 期望尝试 1/p 次即可获得成功
  • 几何分布形状
    • • 当r=1时，P（X=r）达到最大值，随着r增大，P（X=r）逐渐下降。
      • 众数
        • 任何几何分布的众数永远是1，因为1是具有最大概率的数
        • 可能性最大的情况：仅需尝试一次即可成功
  • 案例
    • 有20%的麦片盒里装有免费玩具，每盒一个，打开不到4只麦片盒就能得到第一个免费玩具的概率 0.488
      • X～Geo(0.2) P(X<=3)
• 二项分布
  • 应用条件
    • 进行一系列的独立试验；
    • 每一次试验或成功或失败，每一次试验的成功概率相同；
    • 试验次数有限（与几何的差异）
    • 求：在 n 次试验中能成功多少次（n 次独立重复试验的概率）
    • • X
        • n 次试验中的成功次数
      • p
        • 单次试验的成功概率
  • 概率算式
    • • 组合：从 n 个对象中选取 r 个对象的选取方式数目（不需要知道确切的选取顺序）
  • 期望 / 方差
    • E（X）= np
    • Var(X) =npq
    • 单次试验E(x)=p,Var(x)=pq
  • 几何分布形状
    • • 根据n，p的不同数值，二项分布形状会发生变化
        • p越接近0.5，图形越对称
        • 当p小于0.5，图形向右偏斜，当p大于0.5，图形向左偏斜
      • 众数
        • p=0.5且n为偶数，众数 np
        • p=0.5且n为奇数，众数位于np左右两侧的两个数值
        • 其他n\p需要反复试算
  • 案例
    • 某人正在打保龄球，他击倒所有球柱的概率为0.3，如果他可以掷球10次，在3次内击倒所有球柱的概率是多大？0.382
      • P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
      • P(X=0)=
    • 游戏中有5个问题，每一题答对概率是0.25，答对2题或3题的概率是多少？0.3519
      • P（X=2） + P（X=3）
• 泊松分布
  • 应用条件
    • 单个事件在给定区间内随机、独立发生（给定区间可以是时间或者空间，例如可以是一个星期，也可以是一英里）
    • 已知给定区间内的事件平均发生次数，或者叫发生率，且为有限数值
    • 求：给定区间内的事件发生次数
    • • X
        • 给定区间事件发生次数
      • • 发生率
      • 随机
        • 爆米花机每周平均损坏次数为3.4次，但实际故障次数不固定 下一周里肯能频繁坏，也可能一直都好使
  • 概率公式
  • 期望 / 方差
    • E（X）=
    • Var(X) =
  • 几何分布形状
    • • lambda小，则分布向右偏斜，随着lambda变大，分布逐渐对称。
      • lambda为整数，有两个众数，
      • lambda为非整数，众数
  • 案例
    • 一辆公共汽车平均每15分钟会停一次，在15分钟以内不出现公共汽车的概率 0.368
      • X～Po(1) P(X=0)
  • 特殊
    • 两个独立事件的泊松分布
      • P(X+Y) = P(X) + P(Y) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
      • • 如果X和Y都符合泊松分布，那么X+Y也符合泊松分布，可以利用X和Y的分布情况求出X+Y的概率
    • 近似二项分布
      • 条件：X～B（n,p）的 n 足够大，p 足够小，可以近似看作X～Po(np)
        • n大，计算组合比较困难
      • 当n>50且p小于0.1（典型近似）