有理数及其运算

这是一篇关于有理数及其运算的思维导图，主要内容有1.有理数⒉数轴3.绝对值4.有理数的运算5.乘方6.科学计数法7.四舍五入8.计算器的使用。

有理数及其运算

• 1.有理数
  • 负数
    • 意义：与正数表示相反意义的量（注意题目中的后退，减低，支出，零下，亏损）
    • 技巧：a.找出相反意义的两个量 b.确定哪个量为正，则另一个为负 c.在有理数前面增加+-
    • 表示书写：正号在计算题中经常省略，考察正数的意义时不能省略。计算题中负数的表示不能出现运算符号直接和负数相连的情况如1+-2，错误。需要用括号将负数括起来如1+（-2），正确。
    • 负号的化简：-（-1），-【-（-1）】，-{-【-（-1）】}，当数前面出现偶数的负数则为正数，出现奇数个负号为负数。
  • 有理数的概念和分类
    • 概念：整数和分数统称为整数
    • 无理数：常见的是无限不循环小数，如“派”
    • 分类
      • a.按概念分
        • 整数
          • 正整数，零，负整数
        • 分数
          • 正分数，负分数
      • b.按符号分
        • 正有理数
          • 正整数，正负数
        • 零
        • 负有理数
          • 负整数，负分数
    • 题型：通常是对不同的数进行分类，先化简，在逐一判断分类
• 2.数轴
  • 概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
  • 画法：比较简单，不赘述了
  • 特点：正数部分离原点越远数越大，负数部分离原点越远，数越小。并且，右边的数比左边大。
    • • 正数部分离原点越远数越大，负数部分离原点越远，数越小。并且，右边的数比左边大。
  • 题型
    • a.画数轴直接标点
    • b. 不直接给出点的位置，只给出位移，要运用正负数的知识先运算
• 3.绝对值
  • 相反数
    • 意义
      • 只有符号相反的两个数，其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
      • 数轴上互为相反数的两个点，位于原点两侧并且到原点的距离相等。
    • 性质
      • 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零点的相反数是零。
      • 两个互为相反数的数相加等于零，如：a+(-a)= 0
    • 表示
      • 数 a 的相反数是 - a 如1的相反数是-1，-1的相反数是-（-1）即1。
  • 绝对值
    • 意义
      • 数轴上，一个数所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值只能为正
    • 特点
      • 正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，零的绝对值是零。
      • 可以简单认为：正数的绝对值是自己，负数的绝对值是把负号去掉
      • 当出现 l a l=6，则说明 a=+6或-6，当 l a l=0 l，a=0。
    • 拓展：负数比较大小
      • a.在数轴上比较，右边的数更大。
      • b.两个负数，绝对值大的反而小
• 4.有理数的运算
  • 有理数的加法
    • 同号相加，取相同是符号，把绝对值相加，如（-2）+（-3）=-（2+3）=-5
    • 异号相加，找绝对值大的数，确定符号。之后用大绝对值减小绝对值。如 9+（-12）=-（12-9）=-3
  • 有理数的减法
    • 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a- b=a+(-b)。如 6-（-2）= 6+（+2）=8，（-2）-3=（-2）+（-3）=-5
    • 计算方法：把减法转换为加法进行运算
  • 加减混合运算
    • 改成加法，后遵循从左到右运算的顺序，并且适当使用加法交换律和结合律。
  • 有理数的乘法
    • 运算步骤：1.确定用乘号连接的负数给个数，确定符号，偶数为正，奇数为负。2.绝对值相乘。如6*（-2）*（-1）*（-2）=-(6*2*1*2)=-24
    • 特别的，零乘任何数为零。并且如果出现了分数，可以用约分法进行计算
    • 倒数
      • 概念：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数。
      • 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
      • 求解
        • 1.整数的倒数（零除外），看成分母为一的假分数，上下颠倒。
        • 2.真分数或假分数，上下直接颠倒
        • 3.带分数，化成假分数，再上下颠倒
        • 4.小数，先化成真分数或者假分数，再上下颠倒
    • 运算律
      • 乘法交换律
      • 乘法结合律
      • 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
  • 有理数的除法
    • 整数除法：观察用除号连接负数的个数，确定符号，偶数为正，奇数为负。之后进行绝对值的除法运算。如12÷（-4）=-（12÷4）=-3。 无法整除，用最简分数表示。
    • 含有分数的除法：1.确定符号。2.把除法运算，转换为乘法运算，适当约分化简。
    • 规律：除于一个数等于乘上这个数的倒数
  • 有理数混合运算：先乘法，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。
• 5.乘方
  • a^n
    • 表示n个相同的a相乘
    • 运算过程叫做乘法，底数，指数，幂，简单，不赘述。
    • a^1，a的一次方省略1，用a表示即可，一个非零的数的零次方为1。
    • 当底数为分数和负数时，需要加括号，保证整体性。
    • 规律
      • 正数的任何次幂都为正数
      • 零的任何正整数次幂都是零
      • 负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负
• 6.科学计数法
  • a *10^n
    • 其中a大于等于1并且小于10，n为正整数
    • a通过原来数确定，小数点在一般是最高位和次高位之间。n是大数的位数减一
• 7.四舍五入
  • 简单，不赘述
• 8.计算器的使用
  • 知道乘法是^，记得分数和负数一定要打括号就行了。