-高数考研前三章

高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分，中学的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。

高数

第一章，函数与极限

1. 函数

概念

类型

复合函数

反函数

用y来表示x，大学里面计算出来，y与x不互换

基本初等函数

x^a

a^x

log(a)x

三角函数

类型

sinx

cscx

余割函数

斜边/对边，与正弦函数互为倒数

cosx

secx

正割函数

斜边/临边，与余弦函数互为倒数

tanx

cotx

余切函数

临边/对边，与正切函数互为倒数

性质

倒数关系

tanx•cotx=1

sinx•cscx=1

cosx•secx=1

商数关系

sinx/cosx=tanx

cosx/sinx=cotx

平方关系

sin²x＋cos²x＝1

1+tan²x＝sec²x

1+cot²x＝csc²x

反三角函数

arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx

概要

特殊函数

符号函数，狄利克函数，取整函数

性质

有界性

奇偶性

单调性

周期性

2. 极限

基本概念

定义

无穷小概念

首先2个函数值趋于0

相比为0，为高阶无穷小

相比为常数，为同阶无穷小

相比为1，为等价无穷小

注意事项

首先看定义域

观察是否分左右，极限是否存在要看左极限与右极限是否相等

性质

一般性质

唯一性

极限存在是唯一的

保号性

函数极限正，则去心邻域正，反之亦然

函数不负，极限不负，反之亦然

函数的大小次序与极限的大小次序一致

f（x）＞0且lim f(x)=A，则A＞0不一定正确，如f(x)=1/(1+x^2)＞0，但lim (x趋于∞)f（x）=0

极值点的判断

例

有界性

数列极限的有界性

设lim an (x趋于a)存在，则数列｛an｝有界，反之，不对

数列极限的局部有界性

若lim(x趋于a) f(x)=A，则存在δ＞0及M＞0，当0＜｜x-a｜＜δ时，有｜f(x)｜≤M

列极限与子极限的关系

若列极限存在，则该列的任意子列存在相同的极限

若某一子列极限存在，则该列极限不一定存在

注

运算性质

四则运算法则

复合函数极限运算法则

设lim(u→a)f(u)=A, lim (x→x₀)Ψ(x)=a且Ψ(x)≠a,则lim(x→x₀) f〔Ψ(x)〕=A

设lim(u→a)f(u)=f(a),又 lim (x→x₀)Ψ(x)=a，则lim(x→x₀) f〔Ψ(x)〕=f(a)

则

lim(x→∞) P(x)/Q(x)=

a/b 指数相等

0 分母指数大

∞ 分子指数大

只看最高次幂的系数

极限存在准则

夹逼定理

数列型

函数型

注

例

单调有界的数列必有极限

an有界⇔有上下界 递减看下届，递增看上界

思路

先和后减

分子或分母次数不齐

分子次数齐，分母不齐 分母多一次

定积分定义

无穷小性质

基本性质

有限个无穷小的和差积仍为无穷小，常数与无穷小之积仍是无穷小

有界函数与无穷小之积还是无穷小

limf(x)＝A的充分必要条件是f(x)＝A+a,其中a→0

等价无穷小的性质

x→0时，常用的等价无穷小

x-ln(1+x)～1/2x^2

x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx任意二者之差为三阶无穷小

两个重要极限

lim(Δ→0) sinΔ/Δ＝1

lim(Δ→0) (1+Δ)^(1/Δ)=1

即

1加0的无穷次幂等于1

指数×（底数-1）

四个公式

x≥0时 x≥sinx x＞-1时 x≥ln(1+x) 0＜x＜π/2时 tanx＞x＞sinx x≠0时 e^x＞1+x

3. 连续与间断

概念

连续性概念

函数f(x)在点x=a处连续 设f(x)在x=a的领域内有定义， 若lim(x→a) f(x)=f(a),称函数f(x)在x=a处连续

函数f(x)在〔a,b〕上连续 设f(x)在〔a,b〕上有定义 若满足f(x)在(a,b)内点点连续，f(a)=f(a+0),f(b)=f(b-0) 称函数f(x)在〔a,b〕上连续 记f(x)∈C〔a,b〕

注

点连续，点和点的左右相等

函数在点连续，函数的绝对值也在该点连续，反之不对

函数在点连续，在点的去心邻域不一定连续

间断点及分类

定义

若limf(x)≠f(a),称f(x )在x=a处不连续，且x=a为f(x)的间断点

分类

第一类间断点

f(a -0)和(a +0)都存在

可去间断点

f(a -0)=(a +0)≠f(a)

跳跃间断点

f(a -0)≠(a +0)

第二类间断点

若f(a -0)和(a +0)至少一个不存在

例

闭区间上连续函数的性质

最值定理

若f(x)∈C[a,b〕则f(x)在[a,b〕上一定存在最小值和最大值.

有界定理

若f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b]上一定有界.

零点定理

若f(x)∈C[a,b],且f(a)f(b)＜0,则存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.

介值定理

若f(x)∈C[a,b],对任意的η∈[m,M],存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=η.

注

例

可导一定连续，连续不一定可导

4. 常考题型

1,极限的性质与概念

例

2,左右极限

例

3,不定极限的计算

思路

注

x→0时，乘法可以随便用等价无穷小，加法用的话必须保证用过之后与分母幂次相等

例

4,n项和或积的计算

思路

拆分求和

夹逼定理

转定积分(夹逼定理)

5极限存在性问题

思路

观察递推关系an+1和f(an)的关系， 单调性证明方法，数学归纳法，重要不等式，a(n+1)-an的符号，函数求导，中值定理

例

P23,例1，例2 P24，例3，例7

6含参数的极限问题

思路



例

P25，例1，例2

7中值定理求极限

思路

f(b)-f(a)＝f'(x)(b-a)

例

P26，例1，2，3，4

8含变积分限的函数极限问题

思路

包含定积分的求导问题

例

P27，例1，2

9间断点问题

思路

熟记间断点分类，找出间断点，求间断点左右极限

例

P29例1，2，4 P30，例5

10闭区间连续函数性质

P30，例2

第三章一元函数微分学

1.中值定理

极值点

概念

讨论f’(a)

结论

f(x)在x=a处取极值，则f’(a)=0或f’(a)不存在，反之不对

f(x)可导且在x=a处取极值，则f’(a)=0

注

中值定理

罗尔定理

设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0

注

闭区间连续，开区间可导

有相等的点，就有极点，导数为0

拉格朗日中值定理

设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

注

f(a)=f(b)=f(c) 存在ξ₁∈(a,b),使f'(ξ₁)=0,存在ξ₂∈(b,c),使得f'(ξ₂)=0 存在ξ∈(ξ₁,ξ₂)⊂(a,b),使得f"(ξ)=0

柯西中值定理

注

洛必达法则

泰勒中值定理

常用的麦克劳林公式

中值定理的推广

导数零点定理

导数介值定理

泰勒中值定理

2.单调性，极值，凹凸性，拐点

单调性与极值

概念

单调性判别法

若区间I内有f'(x)＞0,则函数y=f(x)在区间I上严格增加 若区间I内有f'(x)＜0,则函数y=f(x)在区间I上严格减少

注

判别步骤和方法

1.确定函数定义域 2.求出f'(x),求出f(x)的驻点和不可导点 3.判别法

凹凸性与拐点

凹凸性

拐点

凹凸性判别法

二阶导数＞0，函数变化的越来越快，为凹函数 二阶导数＜0，函数变化的越来越慢，为凸函数

渐近线

水平渐近线

若lim(x→∞)f(x)=A,称y=A为L:y=f(x)的水平渐近线

铅直渐近线

lim(x→a)f(x)=∞或f(a-0)=∞或f(a+0)=∞,称x=a为曲线y=f(x)的铅直渐近线

注

斜渐近线

步骤

f(x)的斜渐近线，先求出x→∞时，f(x)/x=a的系数，求出来a,再求x→∞时f(x)-ax的值为b，斜渐近线为y=ax+b

弧微分，曲率，曲率半径

弧微分

基本公式

(ds)²=(dx)²+(dy)²

曲率和曲率半径

常考题型

1.证明f(ξ)的n阶导数为0

P57.例1.2.3

2.待证结论中只有一个中值ξ，不含其他字母

思路

转化为g'(x)±g(x)的形式， 然后变为g'(x)/g(x)±C的形式， 变成原函数lng(x)±Cx的形式 然后合并lneᶜˣg(x) 令Φ(x)=lneᶜˣg(x)

例

P59～62

3.结论中含ξ，含a,b

P63.例1.2.3

P64.例1

4.结论中含两个或两个以上中值

情形一结论中只含f'(ξ)和f'(η)

思路

若待证结论中只含f'(ξ)和f'(η)，先找出函数f(x)的三个点，两次使用拉格朗日中值定理

例

P65.例1.2

情形二结论中含两个中值ξ，η，但是两个中值项的复杂程度不同

思路

例

P66.例1.2.3.4

注

常常先用柯西不等式，再用拉格朗日中值定理

情形三结论中含中值ξ，η(不仅仅含f'(ξ)和f'(η)),两者对应项完全对等

先就ξ构造一个辅助函数(还原法)，再两次使用拉格朗日中值定理

P67.例1

5.中值定理中关于θ的问题

P68.例1.2.3

6.拉格朗日中值定理的两种惯性思维

思路

P69.例1.2 P70.例3.4

7.泰勒公式的常规证明

思路

例

P70-72

8.二阶函数保号性

例

P73

9.不等式证明

思路

例

P74-78

10.函数的零点或方程根的个数问题

例

P79.例2.3

11.函数的单调性与极值,渐近线

例

P80-81

第二章导数与微分

1.导数与微分的基本概念

基本概念

导数

设函数y =f(x)（x∈D）,其中x0∈D且x+Δx∈D, 称Δy=f(x0+x)-f(x0) 为函数y=f(x)在x=x0处的增量.

注

理解

1.分左导和右导，可导⇔左导和右导存在且相等 2.可导一定连续，连续不一定可导 3.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数 4.f(x)可导与连续可导不同，可导表示处处有导数，连续可导是导函数为连续函数 5.一点的导数为该点的切线斜率 6.函数在一点不可导，不代表该函数的二阶导函数在改点不可导

高阶导数

可微

注

连续可导可微的关系

1.f(x)在x=x0处连续，则｜f(x)｜在x=x0处连续，反之不对 2.f(x)在x=x0处可导或可微，则f(x)在x=x0处连续，反之不对

2.求导公式与法则

基本公式

四则运算法则和链式法则

反函数求导法则

用y来表示x，与高中不同，不能x,和y互换

3.隐函数求导

隐函数的导数

例

参数确定的函数求导

例

4.常考题型

1.基本概念题

P38，例1，2，3，4，6，11

注

可导要左导和右导存在且相等

2.基本函数求导

定义求导 显函数求导 隐函数求导 参数方程求导 分段函数求导 高阶导数

P41～46

3.导数的几何应用

P47

4.高阶导数

注

sin(mx)的n阶导数为m的n次方乘以sin(x+nπ/2)

P48

不定积分

补充公式

x-sinx～x³/6 arcsinx-x～x³/6 x-ln(1+x)～x²/2 tanx-x～x³/3 x-arctanx～x³/3

麦克劳林公式