人教版五年级数学（下）

内容含人教版五年级数学（下）各章节主要知识点及详解，希望这份脑图会对你有所帮助。

人教版 五年级数学（下）

第一单元 观察物体 （三）

第二单元 因数和倍数

因数和倍数

定义

在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，12÷2=6，我们就说12是2和6的倍数，2和6是12的因数。

联系

因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。不能说某个数是倍数，也不能说某个数是因数。例如，4×5=20，我们可以说4和5是20的因数，但不能说20是倍数，4或5是因数。

区别

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

求法

倍数

成对地按顺序找

因数

依次乘以自然数

大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。

2、3、5的倍数特征

2

个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

例如：2，4，6，8，10……

5

个位上是0或5的数，是5的倍数。

例如：10，15………

3

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

例如：12，15，123……

能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最小的两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120。

如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

整数、自然数、奇数 偶数、质数、合数

整数

像−2，−1，0，1，2，…这样的数统称为整数

整数包括正整数，0，负整数

整数包括自然数，整数的个数是无限的，没有最小的整数，也没有最大的整数。

自然数

用来表示物体个数的1，2，3，4，……叫做自然数。一个物体也没有用0表示，0也是自然数

自然数的个数是无限的。最小的自然数是0，没有最大的自然数。自然数是整数的一部分。

自然数按因数的个数分为质数、合数 、1、0四类。

自然数按奇偶性分为奇数和偶数

奇数

不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数。

最小的奇数是1。相邻的两个奇数相差2。

偶数

能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0，2，4，6，8的数。

最小的偶数是0。相邻的两个偶数相差2。

质数

只有1和它本身两个因数的数叫做质数（也叫素数）。

最小的质数是2，连续的两个质数是2，3

合数

除了1和它本身还有别的因数的数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）

最小的合数是4。

1只有1个因数。所以“1”既不是质数，也不是合数。

20以内的质数

有8个：2，3，5，7，11，13，17，19

100以内的质数

有25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97

100以内找质数、合数的技巧：看是否是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

第三单元 长方体和正方体

相关定义

棱

两个面相交的边叫做棱。

顶点

三条棱相交的点叫做顶点。

底面积

长方体或正方体底面的面积叫做底面积

表面积

长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

体积

物体所占空间的大小叫做物体的体积。

长方体

由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。

有6个面、12条棱、8个顶点

6个面，一般都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）。相对的面完全形同。

相对的面面积相等

相对的棱长度相等

棱长和

文字公式：棱长和=长×4+宽×4+高×4=(长+宽+高)×4 字母公式：L=(a+b+h)×4

变形公式

文字公式：长=棱长和÷4−宽−高 字母公式：a=L÷4−b−h

文字公式：宽=棱长和÷4−长−高 字母公式：b=L÷4−a−h

文字公式：高=棱长和÷4−长−宽 字母公式：h=L÷4−a−b

表面积

文字公式：表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 字母公式：S=2(ab+ah+bh)

无底（或无盖）

文字公式：表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2 字母公式：S=2(ab+ah+bh)−ab S=2(ah+bh)+ab

无底又无盖

文字公式：表面积=(长×高+宽×高)×2 字母公式：S=2(ah+bh)

体积

文字公式：体积=长×宽×高 字母公式：V=abh

变形公式

文字公式：长=体积÷宽÷高 字母公式：a=V÷b÷h

文字公式：宽=体积÷长÷高 字母公式：b=V÷a÷h

文字公式：高=体积÷长÷宽 字母公式：h=V÷a÷b

文字公式：体积=底面积×高 字母公式：V=Sh

变形公式

文字公式：底面积=体积÷高 字母公式：S=V÷h

文字公式：高=体积÷底面积 字母公式： h=V÷S

正方体

由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（立方体）

有6个面、12条棱、8个顶点

6个面都是完全形同的正方形。

6个面的面积都相等。

12条棱都相等。

正方体是长、宽、高都相等的长方体，它是特殊的长方体。

棱长和

文字公式：棱长和=棱长×12 字母公式：L=a×12

变形公式

文字公式：棱长=棱长和÷12 字母公式：a=L÷12

表面积

文字公式：表面积=棱长×棱长×6 字母公式：S=a×a×6=6a²

体积

文字公式：体积=棱长×棱长×棱长 字母公式：V=a×a×a=a³

文字公式：体积=底面积×高 字母公式：V=Sh

变形公式

文字公式：底面积=体积÷高 字母公式：S=V÷h

文字公式：高=体积÷底面积 字母公式： h=V÷S

注意

用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）

长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。体积会扩大倍数的立方倍。

一个长方体和一个正方体（或长方体）的棱长总和相等，但体积不一定相等；表面积相等，体积不一定相等；体积相等，表面积也不一定相等。

一个正方体的表面积相等，体积一定相等；一个正方体的体积相等，表面积也一定相等。

生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。

把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

要拼一个大正方体，至少需要8个相同的小正方体。

要拼一个大正方形，至少需要4个相同的小正方形。

容 积

箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

固体一般就用体积单位，计量液体的体积（如水、油等），常用容积单位。

长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）

形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。

排水法的公式

V物体=V现在−V原来

V物体=S×（h现在−h原来）

V物体=S×h升高

第四单元 分数的意义 和性质

1. 分数的意义

一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。

单位“1”

一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。

分数单位

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。

2. 分数与除法的关系

3. 真分数和假分数、带分数

真分数

分子比分母小的分数。

真分数<1

假分数

分子比分母大或分子和分母相等的分数。

假分数≥1

带分数

带分数由整数和真分数组成的分数。

带分数>1

真分数<1≤假分数 真分数<1<带分数

4. 假分数与整数、带分数及小数的互化

假分数→整数或带分数

用分子除以分母，商作为整数，余数作为分子

整数→假分数

用整数乘以分母得分子

带分数→假分数

用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变

小数化分数

数小数位数。 一位小数，分母是10 两位小数，分母是100 三位小数，分母是1000…

分数化小数

小分数化小数

方法一：用分子÷分母

方法二：把分数化为分母是10、100、1000…

带分数化小数

先把整数后的分数化为小数，再加上整数

1等于任何分子和分母相同的分数

常见分数和小数

5. 分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

6. 公因数、最大公因数

定义

几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

求法

（1） 用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）。

（2） 几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。

（3） 如果两数是倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数。

（4） 如果两数互质，那么1就是它们的最大公因数。

分解质因数

定义

把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

求法

用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 如：30分解质因数是：（30=2×3×5）

互质数

定义

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

求法

（1） 两个质数的互质数：5和7

（2） 两个合数的互质数：8和9

（3） 一质一合的互质数：7和8

（4） 两数互质的特殊情况

1||| 1和任何自然数互质

2||| 相邻两个自然数互质

3||| 两个质数一定互质

4||| 2和所有奇数互质

5||| 质数与比它小的合数互质

7. 约分

把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

最简分数

分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。

分数化简步骤

一是约分

二是把假分数化成整数或带分数。

8. 公倍数、最小公倍数

定义

几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。

求法

（1） 用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）。

（2） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）。

（3） 如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。

（4） 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。

9. 通分

把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。

10. 比较分数的大小

分母相同看分子，分子大的分数大；分子相同看分母，分母小的分数大。

分数比较的一般方法

同分子比较

通分比较

化成小数比较

第五单元 图形的运动 （三）

图形变换的基本方式是平移、旋转和对称。

平移

物体或图形在同一平面内沿直线移动，而本身没有发生大小、形状和方向上的改变，这种现象就是平移。

平移的两个要素

平移的方向

平移的距离

实例

电梯、推拉窗

旋转

物体围绕着某一点或轴进行不改变大小和形状的圆周运动的现象就是旋转。定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。

旋转的三要素

旋转点或轴

旋转方向（逆时针或顺时针）

旋转角度

实例

电风扇、车轮、纸风车、钟表指针、推拉门

轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

轴对称图形的特征和性质

（1） 对应点到对称轴的距离相等。

（2） 对应点的连线与对称轴垂直。

（3） 对称轴两边的图形大小、形状完全相同。

（4） 任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。

常见轴对称图形及其画法

长方形

对称轴条数

2条

对称轴画法

过对边中点的直线。

正方形

对称轴条数

4条

对称轴画法

（1） 过对边中点的直线；

（2） 对角线所在的直线。

等腰三角形

对称轴条数

1条

对称轴画法

过顶点与底边中点的直线。

等边三角形

对称轴条数

3条

对称轴画法

过顶点与对边中点的直线。

圆

对称轴条数

无数条

对称轴画法

经过所有圆心所在的直线。

半圆

对称轴条数

1条

对称轴画法

经过圆心并且垂直于直径的直线。

等腰梯形

对称轴条数

1条

对称轴画法

过上下底两边中点的直线。

正五边形

对称轴条数

5条

对称轴画法

过顶点与对边中点的直线

正六边形

对称轴条数

6条

对称轴画法

经过对顶点和对边中点的直线。

第六单元 分数的加法和减法

分数加减法

（1）同分母分数加、减法：分母不变，分子相加减

（2）异分母分数加、减法：通分后再加减

（3）分数加减混合运算：同整数

（4）结果要是最简分数

带分数加减法

带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

打电话

方法一：逐个法

所需时间最多。

老师一个一个的打电话通知每一位同学，直到通知到第15 个同学，共需花费15分钟时间。

老师

生1

生2

生3

生4

生5

生6

生7

生8

生9

生10

生11

生12

生13

生14

生15

方法二：分组法

相对节约时间。

组长是老师的小助手，利用分组老师通知组长，组长通知组员，借用这个思路，我们可以把15人分成三组进行分组通知。15人共需6分钟。

老师

第1分钟

组长1 （学生1）

第2分钟

生4

第3分钟

生5

第4分钟

生6

第5分钟

生7

第6分钟

生15

第2分钟

组长2 （学生2）

第3分钟

生8

第4分钟

生9

第5分钟

生10

第6分钟

生11

第3分钟

组长3 （学生3）

第4分钟

生12

第5分钟

生13

第6分钟

生14

方法三： 同时进行法

人人不闲着，每人都在传。

最节约时间。

通知到的人数=2ⁿ-1（n表示时间）

老师

第七单元 折线统计图

平均数

定义

一组数据的总和除以这组数据的个数所得到的商叫这组数据的平均数。

求法

总数÷总份数=平均数

特点

容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。

条形统计图

意义

用一个单位长度表示一定数量，根据数量的多少画出长短不同的直条，再按顺序进行排列。

特点

（1） 用一个单位长度表示一定数量；

（2） 用直条的长短表示数量的多少；

（3） 条形统计图有单式条形统计图和复式条形统计图。

作用

（1） 能清楚地表示出各数量的多少。

（2） 条形长短不同，便于比较。

制作方法

（1） 依据图幅大小，确定横轴和纵轴的长度，画出横轴和纵轴。

（2） 以一条轴为基线，适当分配条形位置，每个条形宽度应相等，每两个条形间的间隔也相等。

（3） 把另一条轴根据需要分成若干份，确定单位长度。

（4） 写出标题，注明各条形所表示的统计对象和数量，注明单位，写明调查日期或制图日期。

折线统计图

意义

用一个单位长度表示一定数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接。

特点

（1） 用一个单位长度表示一定数量；

（2） 用折线的上升或下降表示数量的增减变化；

（3） 折线统计图有单式折线统计图和复式折线统计图

作用

（1） 能清楚看出数量增减变化的情况

（2） 能看出数量的多少

制作方法

（1） 依据图幅大小，确定横轴和纵轴的长度，画出横轴和纵轴；

（2） 以一条轴为基线，适当分配单位长度；

（3） 把一条轴根据需要分成若干份，画出方格图；

（4） 依据各种数量的多少，在方格图的纵线或横线（或纵横线的交点）上描出表示数量多少的点；

（5） 把各点用线段顺次连接起来；

（6） 写标题，注明各点表示的统计对象和数量，注明单位，写明调查日期或制表日期。

第十单元 数学广角——找次品

用天平找次品规律

把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。

数目与测试的次数的关系

找次品规律

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