概率论与数理统计第一章思维导图

自制思维导图分享！该图可用于概率论与数理统计科目期末复习，主要内容包括以下四点：随机事件的基本概念、事件的概率、古典概率模型和条件概率。如有不当之处，欢迎大家多多指正！

第一章 随机事件

• 1.1基本概念
  • 定义
    • 试验（1次）
    • 随机试验 E——条件相同、可重复进行、不可预测，简称试验
    • 样本空间 Ω——随机试验的所有可能结果组成的集合
    • 样本点——即样本空间的元素，随机试验的单个结果
    • 随机事件(A,B,C...)——样本空间中的任意一个子集，简称事件
    • 基本事件——1个随机事件只含1个试验结果
    • 事件发生——事件中的一个样本点出现
    • 必然事件Ω——包含所有的样本点
    • 不可能事件∅——空集∅不包含任何样本点
  • 事件的关系及运算
    • 包含
    • 相等——A=B
    • 和（并）——A发生或B发生，C=A∪B或C=A＋B
    • 积（交）——A，B都发生，C=A∩B或C=AB
    • 差——A发生B不发生，C=A-B=AB补
    • 互斥——AB=∅
    • 对立（互逆）——补事件，A补=Ω-A（其中A与A补互斥）
    • 运算规律
      • 交换律:A∪B=B∪A，AB=BA
      • 结合律：A∪(B∪C)=（A∪B)∪C，A(BC)=(AB)C
      • 分配律：A(BC)=(AB)∪(AC)，A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)
      • 对偶率：(A∪B)补=A补B补，（AB）补=A补∪B补
• 1.2事件的概率
  • 频率
    • 条件：一个事件A，相同条件n次试验，A发生了m次
    • 频数（次数）m
    • 频率fn(A)——m/n
    • 性质
      • 0<=fn(A)<=1
      • fn(Ω)=1，fn(∅)=0
      • 若事件两两互斥，则所有事件同时发生的概率等于所有事件单独发生的概率之和
    • 频率的稳定性(统计的规律性)
  • 概率
    • 定义
    • 性质
      • 1.P(∅)=0，即不可能事件的概率为0
      • 2.两两互斥事件之和的概率等于它们各自的概率之和
      • 3.任一A，P(A补)=1-P(A)
      • 4.若A含于B，则P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)>=P(A)
      • 5.概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
• 1.3古典概率模型
  • 条件
    • 结果有限
    • 等可能事件——每种事件发生的可能性相同
  • 名称——等可能概(率模)型/古典概(率模)型
  • 性质
    • P(Ω)=nP({ω1})=1
    • P(A)=事件A包含基本事件数/基本事件数
  • 例题——P9-14
• 1.4条件概率
  • 条件概率
    • 概念：事件B发生的条件下，事件A发生的概率
    • 记：P(A|B)或PB(A)
    • 定义：P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率
    • 条件
      • 非负性
      • 规范性
      • 可加性
    • 推导
      • P(A补|B)=1-P(A|B)
      • P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)
    • 例题：P14-16
  • 乘法公式
    • 两项：P(AB)=P(B)*P(A|B)，P(B)>0——由条件概率定义推导得
    • 三项：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
    • n项：P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)
    • 例题：P16-17
  • 全概率公式（由因索果）
    • 一个划分
    • 定理
      • 公式表示若事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B都有公式成立。
    • 例题：P17-18
  • 贝叶斯公式（由果索因）
    • 定理
      • 公式中，事件Bi的概率为P(Bi)，事件Bi已发生条件下事件A的概率为P(A│Bi)，事件A发生条件下事件Bi的概率为P(Bi│A)。
    • 例题：P18-22