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数学北师大版五年级上册第四单元-多边形的面积(教案版)
数学北师大版五年级上册第四单元-多边形的面积(教案版)。知识点包括比较图形面积的方法，认识底和高，平行四边形的面积，三角形的面积，梯形的面积等。 每个小节知识点详细，逻辑清晰，包括知识的教授过程与方法、详细的举例、知识点分类与总结。适合学生学习与老师备课
编辑于2022-08-09 13:38:58 广东
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小学数学五年级上册第四单元 多边形的面积
比较图形的面积
导入
师:现在请同学们回忆一下我们学过或知道哪些平面图形
生:长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形
师(出示一个长方形平面图形):谁来用手比画一下这个长方形的周长有多长?用手摸一摸它的面积有多大(生演示)
师:我们怎样才能知道这个长方形的面积是多少呢?
生1:用尺子先量出这个长方形的长是多少,再量出它的宽是多少,用长乘宽就可以求出它的面积是多少
生2:把它放在一个画着边长为1厘米的小正方形的大方格纸里,数一数它有多少个面积为1平方厘米的正方形小格,就可以知道它的面积有多大
师:同学们对学过的知识掌握得真好,现在老师这里有一幅图(出示教材第49页主题图的课件),图上有许多平面图形,今天就来比较这些图形的面积(板书:比较图形的面积)
探究新知
①
师引导:肉眼观察试着找出两个面积相等的图形，与同伴说一说你是怎样找到的
师：大家分享一下找到的两个面积相等的图形的序号，老师写在黑板上，然后我们一组一组的看大家的比较方法，然后我们一起验证
生：图⑤和图⑥，图①和图③，图⑤和图⑥合起来与图⑧面积相等
1
师：图⑤和图⑥面积相等，你是怎么想的？
图⑤和图⑥观察其图形特征是一个轴对称图形，可以通过对称轴对折后看两边是否完全重合的，若重合则它们的面积是相等的
师：老师在屏幕上将图⑤和图⑥对折重合，可以重合在一起，所以图⑤和图⑥的面积相等，同学们的想法很棒，大家可以用附页的图再动手操作，来验证一下
师：刚刚我们是用什么方法比较图形面积大小的
轴对称法和重叠法
2
师：图①和图③面积相等，为什么呢？
生：图①和图③形状大小相似，图③可以由图①平移几格过去，平移后能重合面积就是相等的
师：老师将图①平移过去，图①和图③完全重合，所以图①和图③面积相等
师：我们是用什么方法比较图形面积大小的
平移法和重叠法
同学们真聪明，能利用我们所学的轴对称图形和平移的知识把面积相等的图形找出来
3
让学生再次观察，如果学生没有找到，可提示学生对笑笑说的话进行验证:图⑤和图⑥合起来与图⑧面积相等
师：同学们利用附页的图一起动手操作一下看是否相等
学生动手操作进行验证，应得出结论:将图⑤和图⑥旋转合起来能与图⑧重合，所以面积相等
师：不知道同学们有没有发现，将图⑥旋转一下就和图⑤拼成了一个类似图⑧的图形，我们再看它们能否重合。可以重合所以图⑤和图⑥合起来与图⑧面积相等
师：我们主要是用什么方法比较图形面积大小的
组合拼凑法。两个图形可以组合成另一个图形
4
引导学生再发现是否有面积相等的图
师提示:看一看图⑨和图⑩面积是否相等?动作操作验证一下
（学生再次动手操作验证，当学生无法比较出两个图形面积大时，师提示验证）
师：图⑨是个不规则图形，所以通过重叠法和数格法都不方便与图⑩比较大小，想办法把图⑨改变一下。图⑨左边凹口与右边凸口正好一样大，可以把凸口割了补到凹口去，这时图⑨正好成了规则的长方形，我们对图⑨进行割补时没有改变它的面积大小
师：图⑨和图⑩形状大小差不多，是不是一样大呢？怎么验证呢？
生：重叠法
师：规则的图形放在方格纸中，我们是不是可以数格子来比较图形的面积大小呢？
生：都有12个格子那么大，所以图⑨和图⑩面积相等
师：我们主要是用什么方法比较图形面积大小的
生：割补法、数格法
师：割补法。有的图形看似没有规律，但通过把一部分割下来补到另一个位置就成了另一个图形，就容易知道它的面积大小。这就是“出入相补”原理。像这样的分割、移补后，图形的面积没有改变
5
师：其实图⑧和图⑩的面积也是相等的，大家能用什么方法证明一下吗？
（提示：割补法）
师：图⑧可以怎么割补变成一个形状和图⑩一样的长方形呢？（师屏幕演示）
师：现在可以怎么比较它们的面积大小呢？
生：数格法和重叠法
6
师：在方格纸中，比较规则图形的大小时我们除了用重叠法比较还可以用数格法比较
师：规则的图形可以通过数小方格进行比较
师：不规则的图形如果两个图形的面积大小相差很多很明显，也可以用数格法进行比较，不足一格的都按半格算
②总结比较图形面积大小的基本方法
1数格法
在方格纸中，比较规则图形的大小时可以用数格法比较；
不规则的图形如果两个图形的面积大小相差很多很明显，也可以用数格法进行比较，不足一格的都按半格算
2平移、轴对称法和重叠法
通过平移或轴对称等方式将两个图形重叠判断它们的面积是否相等的
3组合拼凑法
两个图形可以组合成另一个图形
4割补法
有的图形看似没有规律，但通过把一部分割下来补到另一个位置就成了另一个图形，就容易知道它的面积大小。像这样的分割、移补后，图形的面积没有改变
③小结
师:学完这节课,你收获了什么呢?跟大家说说吧!
老师小结:我们学习了多种比较面积大小的方法。同时也让学生知道确定一个图形面积的大小,不仅是根据图形的形状,更重要的是根据图形所占格子的多少来确定的。在数方格时,半格的是怎样数的尤其重要,我们把它先分割,再平移,拼成长方形或正方形,再数方格
巩固练习
收获总结
重点:面积大小比较的方法
难点:能用多种方法比较图形面积的大小
认识底和高
导入
师：今天，淘气过马路时看到有一座天桥。你们发现哪些数学信息?
师引导:你们再仔细观察图看一看这个天桥是什么形状的?
生：梯形
师：那么，你认为“限高”指的是什么意思？
师：今天，我们就来探究这一问题
板书课题:认识底和高
探究新知
①
师：同学们在小组内交流说一说“限高”是什么意思
生1:就是从桥顶到地面的垂直距离限制最多高多少
师：限制这个天桥的高度呢是保证天桥的质量和安全
师：那你知道天桥的高指的是哪条线段吗？
生：是从桥顶上的一点到地面的一条垂线段
师：同学们能在书上的天桥画出这条线段吗？（同学们画出线段后课件演示这一条线）
师：如果把桥洞的形状看成是梯形，那这个高就是梯形的高。我们一起继续认识梯形的其他部分名称。梯形是只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫作梯形的底：不管梯形的位置如何，平行边中较短的一条叫上底，较长的一条叫下底。另外两边叫腰。两底之间的垂线段叫梯形的高
（练习给不同形状的梯形画高）
师：同学们知道怎么画梯形的高了吗？
师：我们可以从梯形上底某一点（一般取顶点）向对边画垂线段，也可以从下底某一点向对边画垂线段。上底和下底是梯形的一组平行边。
师：画梯形的高的步骤简单来说，就是从平行边上任取一点（一般取顶点）向对边画垂线段，垂线段就是高
师：画高的具体方法
①先将三角尺的一条直角边与底边重合
重合
②再将另一条直角边平移到底边对应的顶点
二移
③最后沿直角边用虚线画从顶点到底边垂线
三画线
师：其实梯形的高就是这一组平行边之间的距离，即平行边之间的垂直线段
师：大家说说梯形的高有多少条
生：梯形的高有无数条
师：梯形的底有多少条？
生：两条，上底和下底
②
师：刚才我们认识了梯形的高和上底、下底。那么平行四边形、三角也有它们的高，大家小组交流平行四边形和三角形的高又怎么画呢？
师：大家看这个图形，先说说平行四边形的高怎么画呢？
学生汇报
生1:我认为平行四边形的高也是从平行边上任取一点（一般取顶点）向对边画垂线段
生2:平行四边形有两组平行边，所以可以取任意一边的点向对边画垂线段
师：大家说的很棒。平行四边形的高也是平行边之间的距离。画法也是从平行边上任取一点（一般取顶点）向对边画垂线段，由于它有两组平行边，所以可以取任意一边的点（一般取顶点）向对边画垂线段
（练习给不同形状的平行四边形画高）
（师选几条高提问高所对应的底是哪条。师要演示对边要画延长线的高）
师小结
画平行四边形的高，可以取任意一边的点（一般取顶点）向对边画垂线段，画出的这些垂线段就是高，点的对边并与高垂直的就是这条高所对应的底。底和高要相对应
注意：对边不够长时将其延长，然后再作高
师：大家说说平行四边形的高有多少条
生：无数条
师：大家说说平行四边形的底有多少条
生：4条
底和高要相对应
③
师：大家说说三角形的高怎么画呢？
师：三角形没有平行边，怎么画呢？三角形有三个顶点，每个顶点有一条对边
师：任取三角形的一个顶点向对边画垂线段，这条垂线段就是高，顶点的对边并与高垂直的就是这条高所对应的底
师：还记得三角形按角分类有什么三角形吗？
生：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
师：接下来同学们试着画一画不同形状的三角形的高
（师选几条高提问高所对应的底是哪条。师要演示对边要画延长线的高）
师：三角形有多少条高？
3条
师：三角形有多少条底？
3条
师：三底三高，底和高要相对应
④小结
梯形
高和底
从平行边上任取一点（一般取顶点）向对边画垂线段，垂线段就是高
平行的两边叫作梯形的底：平行边中较短的一条叫上底，较长的一条叫下底
高和底的条数
梯形的高有无数条，底有两条
平行四边形
高和底
取任意一边的点（一般取顶点）向对边画垂线段，画出的这些垂线段就是高，点的对边并与高垂直的就是这条高所对应的底。底和高相对应
高和底的条数
平行四边形的高有无数条，底有4条
三角形
高和底
任取三角形的一个顶点向对边画垂线段，这条垂线段就是高，顶点的对边并与高垂直的就是这条高所对应的底
高和底的条数
三底三高，底和高相对应
画高的具体方法
①先将三角尺的一条直角边与底边重合
重合
②再将另一条直角边平移到底边对应的顶点
二移
③最后沿直角边用虚线画从顶点到底边垂线
三画线
巩固练习
师：你能画出下面图形中给定底边上的高吗?
高和对应的底垂直，高过底边相对的点
收获总结
重点:找出图形的底和高。
难点:根据图形的底和高的数据画出符合条件的图形
平行四边形的面积
导入
师:谁还记得长方形的面积公式是什么?
生:长方形的面积=长×宽
师:那么平行四边形的面积公式是什么呢?这就是我们这节课要研究的内容
(板书:平行四边形的面积)
探究新知
①
师:最近公园准备在一块平行四边形的空地上铺上草坪，说一说发现了哪些数学信息
生：我们发现这个平行四边形草地的高是3m, 底是6m，另一边是5m
师：要求这块空地的面积，实际上就是求平行四边形的面积
师设疑：我们知道长方形的面积是长x宽(板书)那么平行四边形的面积能用两个邻边长相乘吗?
师：接下来我们一起来验证一下。不通过公式计算怎样可以知道平行四边形的面积呢？
生：把它放在方格纸中
师：方格纸中平行四边形的两条邻边分别是5cm，6cm，若长方形的面积是两个邻边长相乘，那面积算得是？
生：5×6=30（cm²）
师：大家再数一数它占了多少个小方格？不足一格的算半格
生：大概有18格
师：说明了什么？
生：长方形的面积不是用两个邻边长相乘
师：那平行四边的面积应该怎么用公式计算呢？
②割补法
师：平行四边形大家还学过什么相关的知识点呢？
生：高和底
师：怎么作它的高呢？
取任意一边的点（一般取顶点）向对边画垂线段，画出的这些垂线段就是高，点的对边并与高垂直的就是这条高所对应的底。底和高相对应
师：我们一起画一条题中平行四边形的高吧，并标出它的底
师：这一条高把平行四边形分成了哪两个图形？
生：：一个直角三角形和一个直角梯形
师：同学们有没有发现左边的三角形和右边空缺的部分似乎一样？
生：是的
师：如果真的一样你想怎么做？
生：割下左边的三角形补到右边去
师：为什么要这么做？
生：这样它会变成一个长方形，可以用长方形的面积公式计算它了
师：有想法，同学们可以用手上的平行四边形图片和剪刀试着剪一剪，拼一拼，看能不能把平行四边形转化成长方形计算
学生动手操作拼一拼，并在小组内交流、讨论
学生汇报，教师展示个别学生的作品，让学生说一说是怎么想的
生：我们用割补法，先把平行四边形的高画出来，沿着高剪下来，再把剪下来的三角形平移到另一边刚好组合成一个长方形
老师屏幕演示多种变化过程
师：其实我们沿着任意一条高剪下去，最后都能将平行四边形拼成一个长方形
③探究平行四边形的面积计算
师引导：我们将平行四边形转化成长方形，那这平行四边形的面积怎么计算?这个转化后的长方形的长和宽各是多少?
学生在小组中交流，说一说发现:长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高
师：所以我们能得出长方形的面积=长×宽=底×高 平行四边形的面积=底×高
师：学生在小组内说一说后把交流的结果写在教材上平行四边形的面积=底x高
师：大家知道怎么用字母表示这个公式吗？
生：s=ah
师：你们能求出这块空地的面积吗?
师：大家能总结下我们怎么推出平行四边形面积公式的过程吗？
学生回答
师：我们是利用割补法，沿着高分割出三角形然后移补到另一边，转化成了长方形，然后发现长宽分别等于底和高然后推出了面积公式
师：像这样的分割、移补后成了另一个图形，图形的形状改变但面积没有改变，这种方法是割补法中的一种方法叫割补转化法
④公式的变形
s=ah
a=s÷h，h=s÷a
（师利用例题讲解）
⑤
师:这三个平行四边形的底是多少?高是多少?都一样吗?
生:底是2厘米,高是5厘米,都一样
师:难道它们的面积都一样大?
生:根据“平行四边形的面积=底×高”计算,2×5=10(平方厘米),都一样大
师：大家能得出什么结论呢？
有的平行四边形虽然形状不一样，但底和高都一样，面积也会相等
师:通过本题我们可以得出,等底等高的平行四边形面积相等
⑥小结
探究平行四边形的面积计算
过程
方法
割补转化法：将平行四边形分割、移补后成了长方形，形状改变但面积没有改变，利用长方形的面积公式及长宽和底高的关系推出平行四边形的面积公式：s=ah
公式的变形
s=ah
a=s÷h，h=s÷a
等底等高的平行四边形面积相等
巩固练习
收获总结
重点:掌握平行四边形的面积计算公式,并能正确运用
难点:把平行四边形转化成长方形,找到长方形与平行四边形的关系,从而顺利推导出平行四边形的面积计算公式
三角形的面积
导入
师：说说长方形、平行四边形的面积计算公式
生：长方形的面积=长×宽，平行四边形的面积=底×高
师：我们在前面学习平行四边形面积的计算时,是把平行四边形转化成长方形来得到平行四边形的面积计算公式的
师：三角形的面积怎样计算呢?这就是我们今天要研究的内容
探究新知
①
师：首先我们一起先解决这个问题，老师这里有个平行四边形。高是6cm,底是4cm。你能计算出它的面积吗？
生：s=ah，4×6=24（cm²）
师：现在老师连接它相对的两个顶点，这个平行四边形被分成了几个部分，这几个部分是规则的图形吗？
生：被分成了2个部分，2个部分都是三角形
师：也就是说这样一分，平行四边形被分成了两个三角形
师：这两个三角形与平行四边形之间有什么关系呢？大家用手上的平行四边形卡片和剪刀，剪一剪，看一看
师：同学们有什么发现吗？
生：这两个三角形可以完全重合，这两个三角形一样大
师：也就是说连接平行四边形的两个相对的顶点可以分成两个完全一样的三角形。同学们连接另两个相对的顶点试一试
师：你能说说这一个三角形的面积是多少吗？
生：平行四边形面积的一半，24÷2=12（cm²）
师：一个平行四边形可以分成两个一样大的三角形，那两个一样大的三角形是不是也可以拼成一个平行四边形呢？同学们用自己准备的三种三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）各两个拼一拼
师：能拼出来吗？
生：任意两个一样大的三角形都能拼成平行四边形
师：拼出来的平行四边形与其中一个三角形的面积有什么关系
生：三角形面积=平行四边形的面积÷2
师：现在我给你两个完全一样的三角形你可以怎么计算三角形的面积
生：我把它们拼成一个平行四边形，测出平行四边形的底和高，算出平行四边形的面积然后除以2
师：现在这有两个三角形拼出来一个平行四边形，我们来慢慢算出三角形的面积
师：首先需要平行四边形的底和高，你能以这点向对边作平行四边形的高吗？然后标出对应的底
师：大家观察一下，平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？
生：平行四边形的底和高就是三角形的底和高
师：三角形的面积等于两个这样的三角形拼成的平行四边形的面积然后除以2
师：平行四边形的面积等于平行四边形的底×平行四边形的高，而它们的底和高等于三角形的底和高
师：所以三角形面积=三角形的底×三角形的高÷2=底×高÷2
师：三角形面积=底×高÷2，“底×高”表示什么意思?为什么要“÷2”?
生:“底×高”表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积;因为一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半,所以要“÷2”
师:同学们,如果用a表示三角形的底,h表示三角形的高,S表示三角形的面积,三角形面积的字母公式是什么?
生:S=ah÷2
师：你能总结出等底等高的三角形和平行四边形，它们的面积之间的关系吗
生：等底等高的三角形和平行四边形，三角形的面积是平行四边形面积的一半，即平行四边形的面积是三角形面积的2倍
生：三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半
师：大家能总结下我们怎么推出三角形面积公式的过程吗？
学生回答
师：我们发现一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形，猜想任意两个一样的三角形也能拼出一个平行四边形，然后利用平行四边形算出三角形的面积，推出了三角形的面积公式。然后发现等底等高的三角形是平行四边形面积的一半。这叫组合拼凑法，两个图形可以组合成另一个图形
刘徽“出入相补”
练习
师:同学们,我们已经推导出了三角形的面积计算公式,现在我们就用三角形的面积计算公式解决一些实际问题,好吗?(好)
师:要求出流动红旗的面积,必须要知道哪些条件?
生:必须知道流动红旗的底和高
然后让学生自己尝试解答
反馈答案:28×25÷2=350(cm²)
②公式的变形
S=ah÷2
a=2s÷h，h=2s÷a
（师利用例题讲解）
例
一块三角形交通标志牌,面积是35.1平方分米,底是9分米。这个底对应的高是多少分米?(用两种方法解答)
方法一
根据三角形的面积计算公式,三角形的面积=底×高÷2,那么高=三角形面积×2÷底
35.1×2÷9 =70.2÷9 =7.8(分米)
方法二
根据三角形的面积计算公式列方程
③
师：计算下面三角形的面积,你发现了什么?
师:这三个三角形的底是多少?高是多少?都一样吗?
生:底是3厘米,高是5厘米,都一样
师:难道它们的面积都一样大?
生:根据“三角形的面积=底×高÷2”计算,3×5÷2=7.5(平方厘米),都一样大
师:通过本题我们可以得出,等(同)底等高的三角形面积相等
④小结
探究三角形的面积计算
过程
方法
组合拼凑法：两个完全一样的三角形,能拼成一个平行四边形,其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半，得出三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。所以S=ah÷2
公式的变形
S=ah÷2
a=2s÷h，h=2s÷a
等(同)底等高的三角形面积相等
巩固练习
收获总结
重点:理解三角形的面积计算公式的推导过程。
难点:理解三角形的面积是同(等)底(长)等高(宽)的长方形或平行四边形面积的一半
梯形的面积
导入
师:同学们,之前我们学过的平行四边形和三角形的面积是如何计算的?
生:平行四边形的面积=底×高,也就是S=ah
生：三角形的面积=底×高÷2,也就是S=ah÷2
指名让学生说出平行四边形、三角形的面积公式的推导过程
师:根据前面的学习,我们把要研究的图形转化成已学过的平面图形,就能找到所求图形面积的计算方法,今天我们要研究的梯形的面积,可以怎样转化呢?下面我们就来实践操作一下吧
探究新知
①
师：怎么探究梯形的面积公式是什么呢？我们可以先根据以往探究平行四边形和三角形的经验
师：探究平行四边形面积公式时主要用割补转化法，那我们试一试，拿起手中的梯形纸卡片和剪刀，试着将梯形分割然后移补，转化成一个我们学过的图形
学生动手操作
师提醒：同学们有头绪吗？老师可以提醒一下怎么分割，我们可以沿着梯形两腰中点的连线把梯形分割成两个小梯形，然后大家再试着拼一拼
师：同学们有什么发现吗？
学生回答
师：我们一起来看下怎么用分割转化法推出梯形的面积公式的
师：沿梯形两腰中点的连线把梯形分割成两个小梯形，再拼成一个平行四边形
师:它们的什么变了?什么没变?
生:形状变了,面积没变
师:也就是梯形的面积=平行四边形的面积
师：然后我们可以利用长方形面积=长×宽算出面积，但我们目的是推出梯形的面积公式，所以我们要想办法把长方形的长和宽换成梯形的元素（上底、下底、高等）
师：平行四边形的底和梯形有什么关系？
生：平行四边形的底=梯形的上底+下底
师：梯形的高呢？
师：这条线把原来的高分成了两部分，而这两部分的高放平是一样的，说明高是被平分成两部分，所以现在的高/平行四边形的高是原来的高/梯形的高的一半，大家能用等式表示出来它们之间的关系吗？
生：平行四边形的高=梯形的高÷2
师：用字母表示公式:用字母a表示上底,字母b表示下底,字母h表示高,则S=(a+b)×h÷2
②
师：我们再想想，探究三角形面积公式时主要用组合拼凑法，将两个完全一样的图形拼凑出学过的图形，我们是不是也可以将两个完全一样的梯形转化成其他图形推出面积公式呢？同学们试着将手中两个一样的梯形图形拼一拼
学生动手操作
师：所以我们还是要利用什么图形来推面积公式？（平行四边形），那同学们试着推一推
师：怎么算梯形的面积
生：梯形的面积=平行四边形的面积÷2
师：平行四边形的底和梯形有什么关系？
生：平行四边形的底=梯形的上底+下底
师：平行四边形的高和梯形有什么关系？
生：平行四边形的高=梯形的高
梯形的面积=平行四边形的面积÷2 梯形的面积=（梯形的上底+下底）×梯形的高÷2 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
师：大家总结一下怎么推梯形的面积公式的
同学们用各种方法,把手中的梯形转化成已学过的图形,根据梯形与其他图形的关系,都推导出了这样一个公式:梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
③变形
S=(a+b)×h÷2
h=2s÷（a+b）
少考
例
一个鱼塘的形状是梯形，它的.上底长21米，下底长45米，面积是759平方米。它的高是多少?
④梯形面积公式的应用
⑤小结
探究梯形的面积计算
法1
割补转化法：沿梯形两腰中点的连线把梯形分割成两个小梯形，再拼成一个平行四边形
法2
组合拼凑法：将两个完全一样的梯形拼凑出学过的平行四边形
公式的变形
S=(a+b)×h÷2
h=2s÷（a+b）
巩固练习
收获总结
重点:掌握梯形面积的计算公式
难点:理解梯形面积公式的推导过程