函数 极限 连续 高等数学

函数，极限，连续，高等数学的知识点总结。函数的概念与性质，常用经济函数，极限的概念，函数的极限，极限的运算。

函数 极限 连续

• 函数的概念与性质
  • 定义1 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，如果对于每个数， x∈D,变量y按照一定的法则f总有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 y=f(x),x∈D, 其中，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域.对 x0∈D,按照对应法则f，总有确定的值 y0[或记为f(x0)]与之对应，称y0[f(x0)]为函数在点x。处的函数值.因变量与自变 y0x0量的这种相依关系通常称为函数关系. 注：函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素.两个函数相等的充分必要条件是它们的定义域和对应法则均相同. 在实际问题中，函数的定义域应根据问题的实际意义具体决定.如果讨论的是纯数学问题则只要使函数的表达式有意义即可，这种定义域又称为函数的自然定义域. 定义2 设函数 y=f(x)在区间I内有定义(区间I可以是函数f(x)的整个定义域，也可以是定义域的一部分)，如果存在一个正数M，对于所有的 x∈I,对应的函数值f(x)恒∣f(x)∣⩽M成立，则称函数f(x)在区间I内有界；如果满足条件的正数M不存在，则称函数f(x)在区间I内无界. 例如，函数 f(x)=cos⁡x在 (−∞,+∞)上都有 ∣cos⁡x∣≤1,所以 f(x)=cos⁡x在 (−∞,+∞)上有界. 定义3 设函数 y=f(x)在区间I内有定义，对于区间I内任意两点 x1，x2，当x1<x2时，函数y=f(x)满足 f(x1)<f(x2),则称函数 y=f(x)在区间Ⅰ内单调增加。 如果函数 y=f(x)在区间I内有定义，对于区间I内任意两点x1，x2，当x1<x2时，函数y=f(x),f(x)满足 f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间Ⅰ内单调减少。 例如，函数f(x)=x2在区间（0，+∞）内单调增加，在区间（-∞，0）内单调减少。 定义4 设函数 y=f(x)的定义域D关于原点对称，如果对任意的 x∈D，均有f(−x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对任意的 x∈D,均有f(−x)=−f(x),则称f(x)为奇函数. 根据奇偶函数的定义，我们可以得到：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称. 例如，函数 f(x)=x3为奇函数；函数 f(x)=x2为偶函数. 定义5 设函数y=f(x),x∈D,如果存在不为零的实数T，对于每一个 x∈D,都有 x±T∈D，且总有 f(x+T)=f(x),则称 y=f(x) 为周期函数，称T为f(x)的周期.若T为函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z)也是f(x)的周期. 例如，函数f(x)=sin⁡x是以2m为周期的周期函数；函数 f(x)=tan⁡x是以π为周期的周期函数.一般地，我们说周期函数的周期指的是函数的最小正周期.
    • • 单调递增
    • • 单调递减
• 初等函数
  • 基本初等函数包括以下几种： 　　 （1）常数函数y = c（ c 为常数） 　　 （2）幂函数y = x^a（ a 为常数） 　　 （3）指数函数y = a^x（a>0, a≠1） 　　 （4）对数函数y =log(a) x（a>0, a≠1，真数x>0） 　　 （5）三角函数以及反三角函数(如正弦函数 ：y =sinx 反正弦函数：y= arcsin x等） 常见三角函数主要有以下 6 种： 正弦函数 ：y =sinx 余弦函数 ：y =cos x 正切函数 ：y =tan x 余切函数 ：y =cot x 正割函数 ：y =sec x 余割函数 ：y =csc x 此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数 。 反三角函数主要有以下6种： 反正弦函数：y = arcsin x 反余弦函数：y = arccos x 反正切函数：y = arctan x 反余切函数：y = arccot x 反正割函数：y = arcsec x 反余割函数：y = arccsc x
  • 复合函数 定义6 如果y是u的函数： y=f(u),，u是x的函数： u=u(x),且与x对应的u值通过y f(u)能使y有定义，则称y通过u是x的复合函数，记作 y=f[u(x)],其中u叫做中间变量.
  • 初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合构成的，并可用一个解析式表示的函数称为初等函数.
  • 分段函数 当定义域内自变量x取不同的值时，函数f(x)要用两个或两个以上的表达式表示，这类函数称为分段函数.分段函数一般情况下不是初等函数. 例如： y=∣x∣={x,x⩾0−x,x<0就是定义在 (−∞,+∞)内的分段函数，但它是初等函数.
• 常用经济函数
  • 需求函数 影响消费者的消费因素多种多样，如消费者的收入，商品的价格，消费者的爱好、人口、环境等.如果不考虑价格以外的其他因素，商品价格低，消费者购买欲强；商品价格高，则会影响消费者消费，即消费者购买欲低. 需求量Q是商品价格P的函数，称之为需求函数，记作Q=Q(P). 一般地，线性需求函数模型为 Q(P)=−aP+b(a>0,b>0), 由上述模型可知，商品的价格越低，则商品的需求量越大；反之，商品的价格越高，需求量越小，所以需求函数Q是商品价格P的单调减函数.
  • 供给函数 需求是对消费者而言，供给是对生产者而言.某种商品的市场供给量S也受商品价格P的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少. 供给量S可以看成价格P的一元函数，称之为供给函数，记为S=S(P). 供给函数是价格P的单调增加函数. 一般地，线性供给函数模型为 S=−c+dP(c>0,d>0,c，d为待定常数). 当市场上某种商品的需求量与供给量相等时，商品的价格 P0称为均衡价格. 当价格P<P0时，则供不应求，会使商品的价格P上升；当P>P0时，则供大于求，会使价格P下降，市场价格的调节就是这样来实现的。
  • 收益函数
  • 盈亏转折分析 一般地，总收益随产量(或销售量)的增加呈直线递增，当总收益大于总成本时，企业就盈利，当总收益小于总成本时，企业就亏损.表示亏盈情况的图像叫做盈亏图，如图 1−3所示.
• 极限的概念
• 函数的极限
• 极限的运算