定义1 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，如果对于每个数， x∈D,变量y按照一定的法则f总有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 y=f(x),x∈D, 其中，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域.对 x0∈D,按照对应法则f，总有确定的值 y0[或记为f(x0)]与之对应，称y0[f(x0)]为函数在点x。处的函数值.因变量与自变 y0x0量的这种相依关系通常称为函数关系.
注：函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素.两个函数相等的充分必要条件是它们的定义域和对应法则均相同. 在实际问题中，函数的定义域应根据问题的实际意义具体决定.如果讨论的是纯数学问题则只要使函数的表达式有意义即可，这种定义域又称为函数的自然定义域. 定义2 设函数 y=f(x)在区间I内有定义(区间I可以是函数f(x)的整个定义域，也可以是定义域的一部分)，如果存在一个正数M，对于所有的 x∈I,对应的函数值f(x)恒∣f(x)∣⩽M成立，则称函数f(x)在区间I内有界；如果满足条件的正数M不存在，则称函数f(x)在区间I内无界.
例如，函数 f(x)=cosx在 (−∞,+∞)上都有 ∣cosx∣≤1,所以 f(x)=cosx在 (−∞,+∞)上有界. 定义3 设函数 y=f(x)在区间I内有定义，对于区间I内任意两点 x1，x2，当x1<x2时，函数y=f(x)满足 f(x1)<f(x2),则称函数 y=f(x)在区间Ⅰ内单调增加。
如果函数 y=f(x)在区间I内有定义，对于区间I内任意两点x1，x2，当x1<x2时，函数y=f(x),f(x)满足 f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间Ⅰ内单调减少。 例如，函数f(x)=x2在区间（0，+∞）内单调增加，在区间（-∞，0）内单调减少。 定义4 设函数 y=f(x)的定义域D关于原点对称，如果对任意的 x∈D，均有f(−x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对任意的 x∈D,均有f(−x)=−f(x),则称f(x)为奇函数.
根据奇偶函数的定义，我们可以得到：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称.
例如，函数 f(x)=x3为奇函数；函数 f(x)=x2为偶函数. 定义5 设函数y=f(x),x∈D,如果存在不为零的实数T，对于每一个 x∈D,都有 x±T∈D，且总有 f(x+T)=f(x),则称 y=f(x)
为周期函数，称T为f(x)的周期.若T为函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z)也是f(x)的周期.
例如，函数f(x)=sinx是以2m为周期的周期函数；函数 f(x)=tanx是以π为周期的周期函数.一般地，我们说周期函数的周期指的是函数的最小正周期.
