导图社区 北师大小学数学五年级上册
- 1.5k
- 42
- 15
- 举报
北师大小学数学五年级上册
北师大小学数学五年级上册全册知识点。每单元和小节知识点详细，逻辑清晰，包括详细的举例、知识点分类与总结。希望对你有帮助。
编辑于2022-08-12 17:12:47 广东- 五年级上册
- 相似推荐
- 大纲
小学数学五年级上册
一、 小数除法
精打细算
除数是整数的小数除法
①先除整数部分，然后按照整数除法法则一直除到尾
②商的小数点要和被除数的小数点对齐
例
先除整数部分，就是11个一÷5=2个一……1个一。若无余数，直接用被除数下一位的数除以除数（即十分位的数）。若有余数，要把余数与被除数下一位的数合起来继续除
下一位的5表示5个0.1，整数部分剩余的1个一=10个0.1，合起来是15个0.1，15个0.1÷5=3个0.1，除到十分位所以3写在十分位上
打扫卫生
除数是整数的小数除法
①先除整数部分，然后按照整数除法法则一直除到尾
②整数部分不够除商0
③除到被除数的末尾仍有余数，添0继续除
④商的小数点要和被除数的小数点对齐
例
先除整数部分，整数部分不够除直接商0
然后整数部分余18，添0继续除，看作180个0.1÷24，除到了十分位
商7，还余12个0.1，添0继续除，看作120个0.01÷24=5个0.01，除到了百分位
谁打电话的时间长
除数是小数的除法
①先移动除数的小数点，使它变成整数
②除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位
③位数不够的，0占位
④然后按照除数是整数的小数除法进行计算
例
把除数变为整数就是3，先划掉小数点，整数部分是0，所以把0也划掉
除数的小数点向右移动了一位，所以被除数的小数点也要向右移一位，划掉原来的小数点，向右移一位点上新的小数点
然后按照除数是整数的法则计算
人民币兑换
兑换人民币
方法
兑换人民币可以根据等价的倍数关系解题，或者几个几解题
例
1美元兑换人民币6.31元，妈妈用600元人民币可兑换多少美元?
法1：等价的美元和人民币的关系：人民币的数是美元数的6.31倍，现在人民币是600元，则美元就是600÷6.31
法2：1美元=6.31元，求妈妈用600元人民币可兑换多少美元,可以看600里面有多少个6.31,有几个就是几美元，用除法计算,列式为600÷6.31
用“四舍五入法”求积或商的近似值的方法
在实际应用中，小数除法所得的商的小数位数太多或除不尽时，可以用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似值
保留到哪一位这一位后面的数就都叫尾数。尾数的第一位数≤4，尾数就都舍去；尾数的第一位数≥5，向前一位进1，然后舍去尾数
求商的近似值的方法:先看保留几位小数，就除到比需要保留的小数多一位，再将最后一位“四舍入”
除得尽吗
循环小数
定义
一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数
循环节
依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节
如：0.85454…的循环节是54
分类
纯循环小数
循环节从小数部分第一位开始的小数
混循环小数
循环节不是从小数部分第一位开始的小数
表示方法
1写出两个或两个以上循环节后，点上省略号
2简写：只写出一个循环节，在循环节首末两位上方各添一个小点
循环节只有1个数字的，首末都是它，只在它上方点一个点
循环节有两个数字，循环节首末两位就是这两个数字
循环节有3个数字及以上
调查“生活垃圾”
小数四则混合运算的运算顺序
与整数四则混合运算的运算顺序一样:①算式里有小括号,要先算小括号里面的
②同级运算中，按照从左到右的顺序依次计算
③算式里含有两级运算(既有加减法又有乘除法),要先算乘除,后算加减
二、 轴对称和平移
轴对称再认识(一)
轴对称图形
一个图形沿一条直线对折后，折痕两边的部分完全重合
平行四边形不是轴对称图形
轴对称图形特点
对称轴两侧的对称点、对称线段、对称图案到对称轴的距离相等
轴对称图形对称轴的条数不同,判断有几条对称轴,就看这个图形能沿几条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合
轴对称再认识(二)
画轴对称图形的另一半
先找到每条线段的端点,看每个端点到对称轴是几格,再找到和这些点对称的点,按照左边图形的形状画出轴对称图形的另一半
画一个图形的轴对称图形
第一幅图,对称轴左边是数字“2”,最右边距离对称轴1格,找到每条线段的端点,数一数这些端点到对称轴是几格,再找到和这些点对称的点,顺次连接各点,画出轴对称图形
相同点:它们画图的方法相同
不同点:第一个画的是沿对称轴画图形的另一半，对称轴在图形上;第二个是沿对称轴画一个图形的轴对称图形，是画一个完整的图形，对称轴在图形之外
画轴对称图形的另一半和一个图形的轴对称图形
找到关键点，画出其对称点，按形状连线，再检查
平移
平移
平移是物体沿某个方向直线运动
平移的特点
平移不改变图形的形状和大小，改变的是图形的位置
画平移图形的步骤
方法
法1：找到图形上所有的关键点,把关键点平移后,再按形状连接各点
法2：先确定一个点,把这个点平移,再从平移后的点开始,照原图画好
例
先确定一个点,把这个点向上平移4格,再从平移后的点开始,照原图画好，注意每条线段的长度
①选点：在原图上找出关键点。②移点：把关键点向规定的方向和距离移动。③连点成形：按形状连接移动后的各点，不改变原图的形状和大小
平移的距离是对应点之间的距离,而不是两个图形之间的距离
欣赏与设计
通过轴对称或平移,可以创造出美妙的图案
图①是一只蝴蝶的图案,左右两边完全一样,是一个轴对称图形。图①是由一个简单图形经过轴对称得到的
图②可以看作是一个基本图形经过平移得到的。左上角的一个基本图形向右平移3次,成为第一行,然后把第一行向下平移3次,就成为这个图案
图③这个图案中既有平移又有轴对称。把左上角的一个基本图形向右平移1次,成为两个基本图形,把这两个基本图形向下平移1次,成为4个基本图形,向右作这四个基本图形的轴对称图形,成为上面的两行,然后把上面的两行向下作轴对称图形,就成为这个图案
运用轴对称或平移的方法,设计图案
三、 倍数与因数
倍数与因数
倍数与因数是相互依存的
只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数
找倍数与因数的关系
在整数乘法中，积是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数
例：25X3=75
在整数除法中，商是整数且没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数
例：100÷5=20
一个数的倍数
找一个数的倍数的方法
用这个数分别乘以1、2、3、4……这些非0自然数
一个数的倍数的特点
一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数
2、5的倍数特征
5的倍数的特征
个位上是0或5的数
2的倍数的特征
个位上是0,2,4,6,8的数
个位上是0的数，既是5的倍数又是2的倍数
偶数奇数
含义
是2的倍数,叫作偶数。不是2的倍数的数叫作奇数
特征
偶数的个位上是0,2,4,6,8。奇数的个位上是1,3,5,7,9
偶数+奇数=奇数，偶数＋偶数=偶数，奇数＋奇数=偶数
3的倍数特征
探索3的倍数的特征
3的倍数在百数表中排列有规律,都在一条斜线上
每条线上的各个数位上的数字之和：第一条是3，第二条是6，第三条是9，第四条是12和3，第五条是15和6，第六条是9和18，就是说百数表上能看到的只要这个数各个数位上的数字之和是上面这几个数就都是3的倍数
猜想：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数
验证猜想
1.找到是3的倍数的多位数，看这个数的各个数位上的数字之和是否是3的倍数
如：3×642=1926，验证一下1926，1+9+2+6=18，是3的倍数，对的
2.找到几个和是3的倍数的数字，将它们任意组成一个数，看它是不是3的倍数
如：3+9+8+4=24，这几个数的和是3的倍数，利用这几个数字组成一个数字如3498，看它能否被3整除，3498÷3=1166，是的
3的倍数的特征
如果一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数
找因数
找一个数的因数的方法
方法
把这个数写成两个数相乘的形式，所有的乘数都是这个数的因数
注意
为了不重复也不遗漏，用乘法依次成对地找，让其中一个乘数由小到大，另一个乘数由大到小，直到两个乘数足够接近，就找完了
例
找12的因数，12=1×12=2×6=3×4。所以12的因数有1，12，2，6，3，4。
乘法依次成对地找，其中一个乘数从1开始，然后是2，同时另一个乘数慢慢变小，直到3×4=12，3和4中间没有数了，已经不能再接近了，就找完了。继续一个变大一个变小其实是重复的
一个数的因数的特点
一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身
找质数
质数
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。如:2,3,5,7,11,
因数个数=2
合数
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。如:4,6,8,9,10,12,
因数个数＞2
自然数 (按因数的个数)
质数（2个）
合数（2个以上）
1（1个）
1既不是质数，也不是合数
例
四、 多边形的面积
比较图形的面积
比较图形面积大小的基本方法
1数格法
在方格纸中，比较规则图形的大小时可以用数格法比较；
不规则的图形如果两个图形的面积大小相差很多很明显，也可以用数格法进行比较，不足一格的都按半格算
2平移、轴对称法和重叠法
通过平移或轴对称等方式将两个图形重叠判断它们的面积是否相等的
例
图①和图③，图⑤和图⑥
3组合拼凑法
两个图形可以组合成另一个图形
例
将图⑥旋转一下就和图⑤拼成了一个类似图⑧的图形。重叠法得到图⑤和图⑥合起来与图⑧面积相等
4割补法
有的图形看似没有规律，但通过把一部分割下来补到另一个位置就成了另一个图形，就容易知道它的面积大小。像这样的分割、移补后，图形的面积没有改变
例
图⑨左边凹口与右边凸口正好一样大，可以把凸口割了补到凹口去，这时图⑨正好成了规则的长方形。数格法得到图⑨与图⑩面积相等
认识底和高
梯形
高和底
从平行边上任取一点（一般取顶点）向对边画垂线段，垂线段就是高
平行的两边叫作梯形的底：平行边中较短的一条叫上底，较长的一条叫下底
高和底的条数
梯形的高有无数条，底有两条
平行四边形
高和底
取任意一边的点（一般取顶点）向对边画垂线段，画出的这些垂线段就是高，点的对边并与高垂直的就是这条高所对应的底。底和高相对应
高和底的条数
平行四边形的高有无数条，底有4条
（对边不够长时要延长）
三角形
高和底
任取三角形的一个顶点向对边画垂线段，这条垂线段就是高，顶点的对边并与高垂直的就是这条高所对应的底
高和底的条数
三底三高，底和高相对应
（对边不够长时要延长）
画高的具体方法
①先将三角尺的一条直角边与底边重合
重合
②再将另一条直角边平移到底边对应的顶点
二移
③最后沿直角边用虚线画从顶点到底边垂线
三画线
平行四边形的面积
探究平行四边形的面积计算公式
过程
沿着任意一条高剪下去，最后都能将平行四边形拼成一个长方形
方法
割补转化法：将平行四边形分割、移补后成了长方形，形状改变但面积没有改变，利用长方形的面积公式及长宽和底高的关系推出平行四边形的面积公式：s=ah
公式的变形
s=ah
a=s÷h，h=s÷a
例
一个平行四边形广告牌的面积是12.8m²，高是0.8m。这条高对应的底边长是多少米?
等底等高的平行四边形面积相等
三角形的面积
探究三角形的面积计算
过程
三角形的面积等于两个这样的三角形拼成的平行四边形的面积然后除以2
平行四边形的面积等于平行四边形的底×平行四边形的高，而它们的底和高等于三角形的底和高
所以三角形面积=三角形的底×三角形的高÷2=底×高÷2，字母表示S=ah÷2
方法
组合拼凑法：两个完全一样的三角形,能拼成一个平行四边形,其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半，得出三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。所以S=ah÷2
公式的变形
S=ah÷2
a=2s÷h，h=2s÷a
例
一块三角形交通标志牌,面积是35.1平方分米,底是9分米。这个底对应的高是多少分米?(用两种方法解答)
方法一
根据三角形的面积计算公式,三角形的面积=底×高÷2,那么高=三角形面积×2÷底
35.1×2÷9 =70.2÷9 =7.8(分米)
方法二
根据三角形的面积计算公式列方程
等(同)底等高的三角形面积相等
梯形的面积
探究梯形的面积计算
法1
割补转化法：沿梯形两腰中点的连线把梯形分割成两个小梯形，再拼成一个平行四边形
用字母表示公式:用字母a表示上底,字母b表示下底,字母h表示高,则S=(a+b)×h÷2
法2
组合拼凑法：将两个完全一样的梯形拼凑出学过的平行四边形
梯形的面积=平行四边形的面积÷2 梯形的面积=（梯形的上底+下底）×梯形的高÷2 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
公式的变形
S=(a+b)×h÷2
h=2s÷（a+b）
例
一个鱼塘的形状是梯形，它的.上底长21米，下底长45米，面积是759平方米。它的高是多少?
公式的应用
五、 分数的意义
分数的再认识(一)
知识回顾
分数的意义一
把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示
补充：整体被分成几份分母就是几，表示其中几份分子就是几。一个整体可以是单个图形， 可以是多个图形
分数的意义二
分数表示了部分与整体的关系，即部分是/占整体的几分之几
补充：整体有几份分母就是几，部分有几份分子就是几。当1个数量为一份时，整体数量是几分母就是几，部分数量是几分子就是几
同一个分数表示的“部分”相同时，"整体"的数量也相同,但形状不一定相同
同一个分数，部分不同，对应的整体的数量也不同
同一个分数，整体不同，对应的部分的数量也不同
分数的再认识(二)
分数单位
含义
像1/2,1/3,1/4,1/5……这样的分数叫作分数单位
分子为1的分数叫作分数单位
意义
它表示把整体平均分成若干份,取其中的一份
分数与分数单位
分数单位是分数的基本组成部分，任何一个分数都可以看出是由若干个分数单位组成的
分数比较大小
分子相同，分母越大，分数越小。分母相同，分子越大，分数越大
分饼
分数的分类
真分数
分子＜分母
真分数都小于1
假分数
分子≥分母
假分数等于1或大于1
带分数
由一个整数和一个真分数组成
带分数都大于1
真分数、假分数的意义
意义
把一个整体平均分成几份，其中的一份是几分之一，像这样的几份，可以用分数表示
例
3/5，4/5，6/5，8/5这几个分数的意义
把一个整体平均分成5份，其中的一份用1/5表示，像这样的3份用3/5表示；像这样的4份用4/5表示；像这样的6份用6/5表示；像这样的8份用8/5表示
带分数的意义
意义
表示几个整体和一个整体的几分之几
例
表示1个整体和这一个整体的1/4
明确假分数和带分数的关系
带分数与假分数可以互换，带分数是假分数的另一种书写形式
分数与除法
分数与除法的关系
两个数相除，它们的结果可以用分数表示，被除数相当于分子，除数相当于分母，÷相当于分数线
带分数化成假分数
带分数化成假分数,分母不变，用整数乘分母再加上分子的数作分子
假分数化成整数或带分数
根据分数与除法的关系，用分子除以分母
如果能除得尽，是整数且没有余数，商就是所要化成的整数
如果有余数，不能整除时，所得的商作带分数的整数，分母不变，余数作分子
求a是b的几分之几？
a÷b=a/b
用除法计算，求谁是谁的几分之几，就用谁除以谁，结果用分数表示
分数基本性质
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变
分数的基本性质与商不变规律
运用分数的基本性质，可以把一个分数化成指定分母的分数,也可以把分母不同的分数化成分母相同的分数
找最大的公因数
公因数
几个数共有的因数叫这几个数的公因数
最大公因数
公因数中最大的一个是它们的最大公因数
找最大公因数的方法
列举法
方法
①先找出各组中每个数的因数
②再从每个数的所有因数中找出它们的公因数和最大公因数
例
12的因数为1,2,3,4,6,12；18的因数为1,2,3,6,9,18
倍数关系
方法
如果一组中的两个数本身就存在倍数与因数的关系。那么较小数的所有因数就是这两个数的公因数，较小的那个数就是它们的最大公因数
例
5和10的最大公因数是5
互质关系
含义
两个非零自然数，公因数只有1，并且1也是它们的最大公因数。这两个数叫作互质数，或者说这两个数互质，是互质关系
典型例子
两个不同的质数，为互质数
如：7和11，最大公因数为1
1和任何自然数，为互质数
如：1和24，最大公因数为1
任何相邻的两个数互质
如：7和8，最大公因数为1
一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时，为互质数
如：2和15，最大公因数为1
分解质因数法
含义
把一个合数写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数分解成若干个质因数相乘的过程叫分解质因数
找最大公因数
把两个数都分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
如18和12
18=2×3×3 12=2×2×3
它们共有的质因数是2和3，最大公因数是2×3=6
用短除法分解质因数
这是短除符号，就是倒过来的除号。短除符号里面放被除数，要将哪个数进行分解质因数，哪个数就放里面作为被除数
短除号侧面写除数，并且除数要是质数（质数一般从小到大试）
它们的商写在短除符号的下面，被除数的下面，短除一直要除到商是质数为止
商不是质数则将它作为被除数画上短除号继续除，除到商是质数为止
最后写成分解质因数的标准形式（质因数从小到大写）
合数=短除号侧面和下面这些质数的乘积
短除法
直接用短除法找最大公因数
把两个数都写在短除号内，同时将两个数分解质因数，除数只写一个是它们共有的除数，除数要使两个数都能整除并且是质数，也就是它们共同的质因数。除到两个数的商互质为止
所有的除数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
所有的除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数
约分
最简分数
分数的分子和分母的公因数只有1的这样的分数叫最简分数
约分
把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫作约分,不能再约分的分数是最简分数
约分的方法
逐次约分法
分数的分子和分母逐次除以它们的公因数，直到得出最简分数为止
一次约分法
分数的分子和分母同时除以分子分母的最大公因数，直接得出最简分数
例：32/48
找最小的公倍数
公倍数
几个数共有的倍数叫这几个数的公倍数
最小公倍数
公倍数中最小的一个叫它们的最小公倍数
找最小公倍数的方法
1列举法
①先找出各组中每个数的倍数
②再从每个数的所有倍数中找出它们的公倍数和最大公倍数
2倍数关系
方法
当两个数是倍数关系时，公倍数就是较大数的倍数，其中最小公倍数就是较大的数
例
5和15的公倍数: 15,30,45,60……，其中最小公倍数是15
3互质关系
含义
两个非零自然数，公因数只有1，并且1也是它们的最大公因数。这两个数叫作互质数
找最小公倍数
互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积
典型例子
两个不同的质数，为互质数
如：7和11
1和任何自然数，为互质数
如：1和24
任何相邻的两个数互质
如：7和8
4分解质因数法
含义
把一个合数写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数分解成若干个质因数相乘的过程叫分解质因数
找最小公倍数
把两个数都分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
把各数中独有的质因数提取出来和最大公因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数
如24和60
24=2×2×2×3 60=2×2×3×5
它们共有的质因数是2、2和3，最大公因数是2×2×3=12
它们独有的质因数是2和5，最小公倍数是12×2×5=120
5短除法
直接用短除法找最小公倍数
把两个数都写在短除号内，同时将两个数分解质因数，除数只写一个是它们共有的除数，除数要使两个数都能整除并且是质数，也就是它们共同的质因数。除到两个数的商互质为止
所有的除数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数
所有的除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数
分数的大小
分数比较大小
分母相同，分子大的分数比较大。分子相同，分母小的分数比较大
分母不同
要通分
通分
把分母不相同的几个分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分
通分的步骤
①先要找出两个分数的分母的最小公倍数（其他公倍数也可）
②然后根据分数的基本性质变化分数
分数比较大小的技巧
分子分母交叉相乘，积大则积下面的分数就大
六、 组合图形的面积
组合图形的面积
组合图形
由两个或两个以上的基本图形组合而成的图形叫组合图形
求组合图形的面积的方法
分割求和
将组合图形分割成几个基本图形，通过求几个基本图形的和求得这个组合图形的面积
例
添补求差
有些不规则图形，添补上一个基本图形后就转化成一个更大的基本图形，通过求两个基本图形的面积差就求得不规则的组合图形的面积
例
割补转化
通过分割图形的一部分并移补到另一个位置将图形转化成另一个面积不变，形状改变且规则的图形
例
成长的脚印
求不规则图形面积的方法
①数方格
数方格，大于半格的记1格,不够半格的记为0
例
大于半格的记1格不够半格的记为0，大约是15平方厘米
②
把不规则图形看作与其近似的规则图形,再用面积公式计算
例
把这个脚印看成近似的梯形,上底是5厘米,下底是6厘米,高是3厘米,所以面积是(5+6)×3÷2=16.5(平方厘米)
公顷、平方千米
边长是100米的正方形土地，面积是1公顷，1公顷= 10000平方米
1平方千米=100公顷=1000000平方米