导图社区 考研数学高数基础01学霸笔记
这是一篇关于考研数学高数基础01学霸笔记的思维导图，主要内容有一、极限的概念二、极限的性质三、无穷小与无穷大四、极限运算法则五、极限存在准则与两个重要极限六、无穷小的比较等。
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考研数学高数基础01学霸笔记
高数基础01 极限的概念、性质与无穷小
一、极限的概念
只需要通俗地理解极限的定义即可，其定义不是考试重点
其定义不是考试重点，考研证明题重心也不在这里
定义1（趋向于一个数）
内容
在一个极小的范围内，所有的函数值都趋向于一个数（此时极限值存在）
举例说明
简单表述
几何描述
定义2（趋向于无穷大）
定义3
提出了左右极限的概念，从而引出了极限存在的证明问题
左右极限存在且相等则极限存在
重点辨析
极限存在，也可能不连续
问题产生的原因
没有彻底明白“去心邻域”的概念
不研究的那个点就随便定义函数值了
定义4
引出了无穷小的概念（分为了趋向于一个数和趋向于无穷两个情况）
特殊情况
引出了数列情况
定理
将极限与无穷小相联系起来
极限概念类型试题的通法
尤其是初学者要注意，不要把x趋向于负无穷理解成无穷小
无穷小即趋向于0的量
即函数的绝对值比任何一个数都小
无穷小不是负无穷
对于无穷小的理解
无穷大指无限远离数轴零点
很大的数（确定固定的数字）≠无穷大（无极限的趋势）
函数值的绝对值比任意正数都大
对于无穷大的理解
二、极限的性质
相对比较重要的概念，建议记忆完整
定理1（函数极限的唯一性）
其实这是极限的定义本身就保障的
定理2（函数极限的局部有界性）
理解这个就要涉及到极限与无穷小的关系
引申结论
注意这只是一个充分条件
反例理解
用于理解为何“则”前边的话可以推导出“则”后边的话，即理解充分性
有道考神刘金峰老师笔记
引出了有界振荡的概念
顺便提一下无界振荡
引出了考研确定极限存在的方法
一般看图像最简单，大致想象图像的样子
用于理解为何“则”后边的话推导不出来其前边的话，即理解只有充分性而没有必要性的原因
定理3（函数极限的局部保号性）
推论1
推论2
经典题型反思总结
投机取巧法： 取一个满足条件的函数就行，分母那种形式的函数式就行
变形
通过变形分母来引入易错点引入讨论情况
易错点产生原因
对于无穷小理解不对，片面认为无穷小是无限小的正数而忽略了负数情况
三、无穷小与无穷大
实质是极限的特殊情况
（1）无穷小
极限为零的量称作无穷小量
0也是无穷小量，也是最小的无穷小量
（2）无穷大
无穷大≠无界
无穷大（所有的函数值都会趋向于∞）
可以推导出无界
无穷小可推导不出来无界
无界（没有上界或者下界）
推导不出来无穷大
经典例子理解
无穷小与无穷大的关系
四、极限运算法则
定理1推广到有限个仍然成立，但无限个就不成立了
定理2例题
定理2 拓展
有界函数与无穷大相乘结论不确定
推论2 无限个不成立
由此引出“拆分极限存在项法”
考研只要拆分出极限存在项，则剩下的一定也存在极限（不然试题会自相矛盾）
拆分“非0因子”
经典错误
推论3本质上是提公因子加计算非0项
推论3 情况精析
抓大头，大头要可以保留
没有抓小头一说
复合函数的极限运算法则
经典方法：幂指函数指数化
适用场合
幂指函数的极限运算法则
五、极限存在准则与两个重要极限
1.极限存在准则（主要用于数列求极限）
准则1（夹逼准则）
实际使用中注意某些情况下可以尝试同除左边/右边的量
准则2
单调有界数列必有极限
2.两个重要极限
考研中并不重要
六、无穷小的比较
（1）无穷小的阶
“=”要读成“是”，易错点在于符号的理解
“=”前后内容颠倒过来写就不对了
同样不可以颠倒顺序来写
相关运算
巧记为“相加取中间，相乘指数和”
（2）常见等价无穷小
①洛必达法则验证（一阶无穷小）
②二阶无穷小
补充一个
③三阶无穷小
（3）等价定理（只用于乘除）
实质上是泰勒公式的简写形式
特殊要点
加减法一般不能用等价替换，除非特殊情况下满足一定的条件（即泰勒公式）
无穷小量余项写出来就知道为何加减法不可轻易使用等价替换
考研真题中要求——加减法若要使用等价替换，必须给出证明
等价替换也不可用在复合函数内层
此时往往要用整体法
题型方法总结
求极限的计算题
分子是分母的高阶或者同阶无穷小才可以求出结果
减等价无穷小升阶（实质还是泰勒公式）
同时实质也是我们做题总结的——“减一项加一项”或“凑常用等价无穷小法”
妙在避开了泰勒公式中的无穷小量
当要减很多次才可以达到目的的时候，直接上泰勒公式
