考研数学高数基础01学霸笔记

这是一篇关于考研数学高数基础01学霸笔记的思维导图，主要内容有一、极限的概念二、极限的性质三、无穷小与无穷大四、极限运算法则五、极限存在准则与两个重要极限六、无穷小的比较等。

考研数学高数基础01学霸笔记

• 高数基础01 极限的概念、性质与无穷小
  • 一、极限的概念
    • 只需要通俗地理解极限的定义即可，其定义不是考试重点
    • 其定义不是考试重点，考研证明题重心也不在这里
    • 定义1（趋向于一个数）
      • 内容
        • • 在一个极小的范围内，所有的函数值都趋向于一个数（此时极限值存在）
            • 举例说明
      • 简单表述
      • 几何描述
    • 定义2（趋向于无穷大）
      • 内容
      • 简单表述
    • 定义3
      • 内容
        • • 提出了左右极限的概念，从而引出了极限存在的证明问题
            • 左右极限存在且相等则极限存在
      • 重点辨析
        • 极限存在，也可能不连续
          • 问题产生的原因
            • 没有彻底明白“去心邻域”的概念
              • 不研究的那个点就随便定义函数值了
    • 定义4
      • 内容
        • • 引出了无穷小的概念（分为了趋向于一个数和趋向于无穷两个情况）
      • 特殊情况
        • • 引出了数列情况
      • 定理
        • • 将极限与无穷小相联系起来
            • 极限概念类型试题的通法
      • 重点辨析
        • 尤其是初学者要注意，不要把x趋向于负无穷理解成无穷小
        • 无穷小即趋向于0的量
        • 即函数的绝对值比任何一个数都小
        • 无穷小不是负无穷
        • 对于无穷小的理解
        • 无穷大指无限远离数轴零点
        • 很大的数（确定固定的数字）≠无穷大（无极限的趋势）
        • 函数值的绝对值比任意正数都大
        • 对于无穷大的理解
  • 二、极限的性质
    • 相对比较重要的概念，建议记忆完整
    • 定理1（函数极限的唯一性）
      • 内容
        • • 其实这是极限的定义本身就保障的
    • 定理2（函数极限的局部有界性）
      • 内容
        • • 理解这个就要涉及到极限与无穷小的关系
      • 引申结论
        • • 注意这只是一个充分条件
          • 反例理解
            • • 用于理解为何“则”前边的话可以推导出“则”后边的话，即理解充分性
            • • 有道考神刘金峰老师笔记
              • 引出了有界振荡的概念
                • 顺便提一下无界振荡
              • 引出了考研确定极限存在的方法
                • 一般看图像最简单，大致想象图像的样子
              • 用于理解为何“则”后边的话推导不出来其前边的话，即理解只有充分性而没有必要性的原因
    • 定理3（函数极限的局部保号性）
      • 内容
      • 推论1
      • 推论2
  • 经典题型反思总结
    • • 投机取巧法： 取一个满足条件的函数就行，分母那种形式的函数式就行
      • 变形
        • • 通过变形分母来引入易错点引入讨论情况
            • 易错点产生原因
              • 对于无穷小理解不对，片面认为无穷小是无限小的正数而忽略了负数情况
  • 三、无穷小与无穷大
    • 实质是极限的特殊情况
    • （1）无穷小
      • 极限为零的量称作无穷小量
        • 0也是无穷小量，也是最小的无穷小量
    • （2）无穷大
      • 内容
      • 重点辨析
        • 无穷大≠无界
          • 无穷大（所有的函数值都会趋向于∞）
            • 可以推导出无界
              • 无穷小可推导不出来无界
          • 无界（没有上界或者下界）
            • 推导不出来无穷大
              • 经典例子理解
    • 无穷小与无穷大的关系
  • 四、极限运算法则
    • 内容
      • • 定理1推广到有限个仍然成立，但无限个就不成立了
        • 定理2例题
        • 定理2 拓展
          • 有界函数与无穷大相乘结论不确定
        • 推论2 无限个不成立
      • • 由此引出“拆分极限存在项法”
          • 考研只要拆分出极限存在项，则剩下的一定也存在极限（不然试题会自相矛盾）
        • • 拆分“非0因子”
            • 经典错误
      • • 推论3本质上是提公因子加计算非0项
        • 推论3 情况精析
          • • 抓大头，大头要可以保留
          • • 没有抓小头一说
      • • 复合函数的极限运算法则
          • • 经典方法：幂指函数指数化
            • 适用场合
          • 幂指函数的极限运算法则
  • 五、极限存在准则与两个重要极限
    • 1.极限存在准则（主要用于数列求极限）
      • 准则1（夹逼准则）
        • 实际使用中注意某些情况下可以尝试同除左边/右边的量
      • 准则2
        • 单调有界数列必有极限
    • 2.两个重要极限
      • 考研中并不重要
  • 六、无穷小的比较
    • （1）无穷小的阶
      • • “=”要读成“是”，易错点在于符号的理解
        • “=”前后内容颠倒过来写就不对了
          • • 同样不可以颠倒顺序来写
      • 相关运算
        • • 巧记为“相加取中间，相乘指数和”
    • （2）常见等价无穷小
      • • ①洛必达法则验证（一阶无穷小）
        • ②二阶无穷小
          • 补充一个
        • ③三阶无穷小
    • （3）等价定理（只用于乘除）
      • 实质上是泰勒公式的简写形式
      • 内容
      • 特殊要点
        • 加减法一般不能用等价替换，除非特殊情况下满足一定的条件（即泰勒公式）
          • • 无穷小量余项写出来就知道为何加减法不可轻易使用等价替换
        • 考研真题中要求——加减法若要使用等价替换，必须给出证明
        • 等价替换也不可用在复合函数内层
          • 此时往往要用整体法
  • 题型方法总结
    • 求极限的计算题
      • 分子是分母的高阶或者同阶无穷小才可以求出结果
        • 减等价无穷小升阶（实质还是泰勒公式）
          • 同时实质也是我们做题总结的——“减一项加一项”或“凑常用等价无穷小法”
          • 妙在避开了泰勒公式中的无穷小量
          • 当要减很多次才可以达到目的的时候，直接上泰勒公式