考研数学高数基础06学霸笔记

定积分与变限积分知识点学习笔记。主要内容有一、定积分的定义二、定积分的性质（与函数关系紧密)三、变限积分函数（实质就是定积分放开了上下限)四、定积分的计算。

考研数学高数基础06学霸笔记

教材高数06 定积分与变限积分

所解决的问题（即意义）

几何意义

曲边梯形的(有向)面积

物理意义

变速直线运动的路程，变力沿着直线所做的功，直线段物体的质量

一、定积分的定义

1.一般定义

2.简洁定义

注意点

看清楚式子中表示小条条的宽和高的数据对应否？

重点看从数字几开始积到数字几

3.定积分的矢量性

4.可积的条件

扫盲知识

可积分指的是定积分存在

基本内容

注意点

一定要是闭区间

无界，无界振荡，无穷，开区间——都不行

间断点只能是——有界振荡，可去，跳跃

重要辨析

有限个小条条的缺失不影响全局

二、定积分的性质（与函数关系紧密）

1.对称性

计算面积——偶倍奇零

2.周期性

3.几何性质

椭圆的面积

正弦/余弦函数图像关于∏/4对称

总结启发

引出易错点

积分相等，被积函数不一定相等

4.运算性质

性质1（常数可分离性）

性质2（积分区间可拆性）

运算性质

性质3（证明题常用——数与积分之间的“桥梁”）

数化积分

性质4（函数的正负联系积分的正负）

推论

推论1（引申到多个函数）

定积分比大小常用

推论2（函数全正VS积分全正）

矢量面积必出现“正负相销”的情况

证明题常用

性质5（结合函数最值得面积的上下限）

估值不等式

性质6（联系到闭区间上连续函数的性质——介值定理）

定积分中值定理

内容

积分化数

几何意义

引出概念

函数在某区间上的平均值

证明题常考

看见这些性质，脑海里有几何形象化的理解就可以了

三、变限积分函数（实质就是定积分放开了上下限）

变限积分函数实质就是定积分的推广，可以放开上限、下限、上下限

1.定义

易错点

积分方向问题

2.导数

定理1

内容

x与t要区分

x是上下限参量

t是积分参量

证明

证明过程仅作了解，记住主要结论即可

第三行不能用洛必达法则是因为，若用了就变成了“自己证明自己” 第五行的出现实质是夹逼定理

证明一个求导的公式及算法只能用定义

推广

上下限均是复合函数类型

若是上限为常数，下限为参量，则前边加负号

拆分区间

内部含有上下限类型

分离出来

函数变量有其他项类型

换元变换

定理2

即看到积分要想到原函数

题型

计算题

含有变限积分的求极限问题

洛必达法则

积分中值定理+夹逼准则

目的是去掉积分符号

题型考点 变限积分的连续性与可导性

f(x)连续,则F(x)可导（与f(x)有关的可导）

天生连续性

变限积分函数有定义就连续

分析一个可去间断点： 从左右两边趋近，计算面积上就只少了那一条线而已

F(x)虽然连续且可导但不是f(x)的原函数

类比不定积分中关于跳跃间断点的证明过程

f(x)可积（不一定连续），则F(x)连续（不保证可导且更不保证是与f(x)有关的可导）

四、定积分的计算

1.牛顿莱布尼兹公式

定理3（微积分基本定理）

2.定积分的换元法（换元则换限）

易错点

换元则换限

首先要搞清楚什么情况下是换元并需换限？（对比dcosx与dt）

其次注意换元要在函数的单调区间内进行

核心目的：这是为了不容易出错，而不是不允许这样做 产生原因：偶次根号下的去根号计算，得出来的结果存在是否要加绝对值、是大于零还是小于零的问题

可以理解为sinx函数在【0，∏】闭区间上是偶函数

类比前边更加深入理解，利用对称性

重要换元

区间再现

模板

加速公式

实战演练

3.定积分的分部积分法

基本公式

华里士公式（点火公式）

含抽象函数的积分

方法一：“找伴侣”法逆用成拆分 方法二：“铺垫”做得好