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考研数学高数基础10学霸笔记

多元函数微分法与极值知识点框架，主要内容有一、多元函数、极限、连续二、偏导数三、全微分四、多元复合函数的求导法则五、多元隐函数求偏导等。

编辑于2022-08-21 09:37:41 福建省

麒麟

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考研数学高数基础10学霸笔记

教材高数10 多元函数微分法与极值

从第十章开始进入高等数学下册内容，实质是上册一元函数的推广

一、多元函数、极限、连续

2.二元函数的极限

重命名

为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限

类比理解、理解关键

理解问题的关键

即在一个平面内趋近（可以下侧、上侧、左侧、右侧甚至拐弯侧趋近）

无穷多个趋近方式

类比一元函数的极限去理解

二元函数的聚点可以类比一元函数的极限点

情况分类

顶多就考这些，因为定义本身就够复杂了

（1）转化为一元极限

实质是以二元函数为载体考查一元函数的知识

换元法

利用一元函数的性质

即零乘以有界函数

（2）极限不存在

理解关键

只要不同路径方式趋近后的极限不唯一那就是极限不存在

进而产生的问题

如何判断不同路径极限不统一？

选择常见的路径即可

典型例题

两条路径或者一系列路径都可以

（3）极限为零

修正错误观念

几条路径下来都是同一个数并不能确定极限，因为某些路径可能极限不是这个数字

但是统考数学不会出现这个情况

解决方案

先尝试再证明（证明用夹逼准则）

典例分析

放缩法来证明(分母变大则分数值变小，反之……)

有时要用上绝对值或者均值不等式

如果分母去掉x平方，则得到的式子不容易确定数值

考查特点

一般考查极限不存在的情况（因为趋近方式太多太复杂）

与一元函数的极限的差异剖析

一元函数趋向于一个点的过程中如果存在无定义的点那么就没有极限

一元函数趋向于一个点的过程中如果存在无定义的点那么就不考虑无定义的点

不考虑y=x的无定义情况，只考虑有定义的时候且只要所有路径都趋于同一个数字则极限存在

3.二元函数的连续性

只要知道定义就够了

定义

二、偏导数

二（多）元函数的导数

1.偏导数的定义

形象化理解

为何叫做偏导数？

自变量多了，需要指明是针对哪一个求导

针对一个自变量求导时候，另外的自变量当成常数对待