考研数学概率基础02学霸笔记

这是一篇关于考研数学概率基础02学霸笔记的思维导图，主要内容有一、随机变量二、离散型随机变量及其分布三、连续型随机变量及其分布四、随机变量函数的分布。

考研数学概率基础02学霸笔记

概率基础02一维随机变量及其分布（数学一、三）

教材概率02一维随机变量及其分布

正式入门大学概率论

一、随机变量

1.定义

实质就是随机试验的结果数字化

生活实例

例如统计投篮命中为1，未投中为0

2.分类

（1）离散型

（2）连续型

（3）混合型

二、离散型随机变量及其分布

1.分布律

计算孤立点常用

研究分布律必知的两个问题

取值

概率

概念

描述取值和概率的表达式或者表格叫做随机变量的分布律

深刻理解

描述概率1是如何分布到各个结果上面的规律

形式

表达式

表格

分布律的图形

也就是把分布律的各个点画在平面直角坐标系里

2.常见离散型分布

熟练到看名称即知道分布律

（一）（0—1）分布（又名两点分布）

（二）伯努利试验、二项分布（即独立重复实验）

概念

问题——为何叫做二项分布？

二项分布样式

伯努利试验表达式

十分相似

考题妙法

题设时候要设的对象是随机变量

而不是之前常设的“XX为事件A”

几何分布（就是“不达目的不罢休”的无限次的独立重复实验）

表达式实际上是个等比级数（也叫做几何级数）

注意格式

补充知识点

等比级数=首项/(1-公比)

巴斯卡分布或负二项分布（独立重复实验+最终成功的一次）

（三）泊松分布

非计算，是观察并近似模拟

概念

深入形象化理解

单位时间内粒子流的个数

λ可以定义为粒子流的强度

单位时间内商场大门入口进入的人数

产生渊源

最后一步移项是为了研究1的分布，结果泊松发现该分布与粒子流可以近似模拟

与泰勒公式的关系

自然常数e的奥妙

e最初不是在自然界中发现的，而是与银行的复利有关。 想象一下，如果把钱存在年利率为100%的银行中，一年之后的钱将会增加为原来的(1+1)^1=2倍。假如银行不用这种方式来结算利息，而是换成六个月算一次，但半年的利率为之前年利率的一半，也就是50%，那么，一年后的钱将会增加为原来的(1+0.5)^2=2.25倍。 同样的道理，如果换成每日，日利率为1/365，则一年后的钱将会增加为原来的(1+1/365)^365≈2.71倍。

经典例题

3.分布函数

计算区间或很多点的概率

定义

基本性质

1是指函数为单调不减函数

因为越往右边，则左边的点数越多

2是规范性

3是指右连续性

解释

即函数的右极限值等于函数值

原因

因为向左包含的点是离散的点

意义

统计区间上的概率很方便

不用之前学的分布律是因为点数太多太多

经典例题

其中角标X指的是X的分布函数

括号内的x指的是参量（与X没有关系），当然也可以写成t或S等等

参量的取值范围是负无穷到正无穷

格式解析

等号的放置位置也体现着右连续性

分布函数三基本性质均有体现

括号内的“2-0”表示2的左侧极限

经典变形

揭示了分布函数与分布律可以互推

二者等价，信息量相等

已知函数表达式，反求分布律

解法思路

根据该式子想要得出有价值的数值，那就必须找出不连续的地方

根据表达式画出图像，找出不连续的点

示例

分布函数的图形

总结

对于离散型的理解

离散是孤立的点，可以是无限多个

离散型不等于古典概型，古典概型是有限个点

只要是不连续的区间就都是离散型

三、连续型随机变量及其分布

1.概率密度

就是物理上的求一段密度不均匀杆件哪一端更重问题引申而来

基础知识

（1）

概率密度所满足的条件

单个点与对应概率密度的乘积为0

即在一个点处概率为0

同时也是棘手症结所在，因为不能像离散型那样算出每个点的概率，于是便引入了概率密度

概率密度的产生原因

在负无穷到正无穷区间上的所有点与其对应的概率密度的乘积之和为1

负无穷到正无穷上所有点概率之和为1

概率密度函数大于等于0

去掉有限个点对整体计算结果无影响

概率密度的意义

将概率问题变成了概率密度函数的积分的面积问题

（2）

连续型随机变量的分布函数与概率密度之间的关系

注意

不讨论该分布函数的不可导点

积分参量和上下限不要混淆

连续型随机变量的分布函数的性质

是不减函数

负无穷上是0，正无穷上是1

与离散型随机变量分布函数相同

是连续函数

左右均连续

证明左连续即可（右连续在离散型随机变量分布中就已经体现了）

与高数中变限积分函数天生连续一个道理

基本题型

注意点

X的取值范围为概率密度大于0的区域

解法

（1）求未知数值

一般需要建立方程或等式，题设给出了概率密度函数表达式联想到概率密度函数所满足的条件

（2）求分布函数

步骤：先写定义再讨论（x要参照X的取值）

技巧：写讨论区间时候保持左闭右开有利于计算

原因是离散型和连续型统一都存在右连续

（3）求区间概率

分布函数求解

概率密度函数求解

2.常见分布

（一）均匀分布

即随机取值

概念

分布函数

（二）指数分布

概念

新的书写形式

表示符号是E

意义

用来研究电子元器件的寿命问题

分布函数

无记忆性（仅仅理论上是这样）

有利于简化计算

题型

综合试题

（三）正态分布

概念

第一个参数指的是期望

第二个参数指的是方差

引理实际就是正态分布标准化

相关公式

经典例题

解题思路

先算出概率密度，若符合正态分布的形式则得证

计算妙法

难于积分那就不积分了，直接用变限函数求导公式

注意点

取值范围均是负无穷到正无穷

四、随机变量函数的分布

1.离散型

基本题型方法

穷举法

进阶难题方法

类似于泊松分布类型，求通项再∑

2.连续型

解题通法（适用于一、二维连续型概率密度求解问题）

分布函数法

即先求出分布函数（分布函数就是概率，较易求得）再求解概率密度（分布函数求导可得）

公式法

经典例题

通用模板步骤

第一步下定义

第二步代入

第三步探讨取值范围

第四步y参照Y进行讨论

第五步求导