导图社区 考研数学概率基础03学霸笔记
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考研数学概率基础03学霸笔记
概率基础03二维随机变量及其分布（数学一、三）
12分大题
教材概率03二维随机变量及其分布
一、二维随机变量
1.定义
形象化理解
例如统计校园内学生的健康状况，需要身高和体重数据，并且同一个人的两个数据需要括号括在一起
关注点
取值（对于连续型是取值范围）
概率（对于连续型是概率密度）
2.离散型
（1）分布律
（2）分布函数（考试只会考查简单的计算）
书写形式
几何意义
固定x或y其中一个，变化另一个
性质1可证
基本性质
性质2——规范性
性质3——右连续性
性质4（了解即可）
用来检验一个分布函数是否是二维随机变量的分布函数
3.连续型（要用到二重积分）
（1）概率密度
所满足的三个条件
物理角度剖析
数学角度剖析
用到了二重积分
（2）分布函数
对X求偏导
对X、Y求偏导
分布函数的混合偏导数等于概率密度
经典题型
uov坐标系的引入为了区分
（3）均匀分布
公式
小结论
独立的前提下，二维随机变量服从均匀分布且均匀分布所处的区域是个矩形，则X、Y的边缘分布也是均匀分布，反之也成立
二、边缘分布
好比只研究一个变量（身高或体重）的分布
1.离散型（边缘概率）
边缘分布——就是某一行(列)的概率
已知联合分布求边缘分布可行但是反之不可行
只要有0存在就证明是不独立的
2.连续型（边缘概率密度）
3.二维正态分布维随机变量（X，Y）的概率密度
概念
公式不需要记忆，exp表示指数的意思(即e)
仅仅记住星号和手写部分即可
性质
了解即可
三、条件分布
限定其中一个量的取值范围研究另一个量的分布
1.离散型（条件概率）
2.连续型（条件概率密度）
内容
公式剖析
概念题型
题干分析
“随机的取值”——均匀分布
“当观察到”——条件分布
解题分析
“其中”这一步是在验证，要加上
四、独立性
定义
分类
连续型
离散型
这里的公式比定义里的公式可用性更强
用的时候注意区域是否一致
公式等号两边形成的积分区域是否一致
五、随机变量函数的分布（必考重中之重）
1.离散型（穷举法）
2.连续型
方法一——分布函数法（通法）
解题步骤
关键在于找到z的取值范围及特殊点
解题妙法
整体思想
仅仅在加法关系中可用
方法二——公式法
3.最值函数
经典例题
