考研数学概率基础04学霸笔记

这是一篇关于考研数学概率基础04学霸笔记的思维导图，主要内容有—、期望(理论平均值，概率平均值)二、方差、常见分布的期望和方差、三、协方差四、(线性)相关系数五、矩。

考研数学概率基础04学霸笔记

概率基础04随机变量的数字特征（数学一、三）

教材概率04数字特征

一、期望（理论平均值，概率平均值）

1.一维随机变量的期望

离散型

连续型

随机变量函数的期望

取值乘以概率的加和

常见分布的期望

0-1分布

巧记

期望就是概率

泊松分布

圈圈部分类比泊松分布分布律

巧记

期望就是λ(分子流强度)

几何分布

思维

换元——(1-p)换元为x

根据形式想到了求导关系

观察里面想到等比级数（收敛的）

等比级数补充知识

为了利于计算进行分子变形

巧记

期望就是概率的倒数

想象一下投篮命中率是1/3则理论上投三次中一次

均匀分布

巧记

期望就是平均值(中间那个点)

指数分布

正态分布

2.二维随机变量的期望

连续型

注意点

X、Y独立同分布于同一个概率密度函数内

因为x、y不一定同时取到同一个数值

但当x、y同时取到同一个数值时候，对应的概率密度一定相等

3.期望的性质

前三条是期望的线性性质

第三条推广

第四条

反之不一定成立

由式子推导不出来相互独立

二、方差

1.定义

写成平方是因为绝对值不好算

2.性质

其中D(X+C)相当于仅仅平移而波动程度不变

3.意义

取值与期望的偏离程度的期望

常见分布的方差

0-1分布

泊松分布

方法二的原理

“X取n”和“X+1取n+1”的概率相等

接着用期望的性质1进行化简

方差和期望一样

几何分布

均匀分布

指数分布

二项分布

n倍的0-1分布

常见分布的期望和方差

经典训练题型

三、协方差

两个随机变量的偏离程度的问题

1.定义

2.性质

1.提取常数不平方

2.可拆分性

3.相互独立——乘积的期望等于期望的乘积

第三条反过来不成立

代入定义式子进行查看

计算

四、(线性)相关系数

1.定义

加绝对值是为了避开相关系数的正负问题

2.性质

第三条引申

独立推出不相关

相关推出不独立

二推三

但反之不成立（例如，不相关推不出独立）

特殊情况

二维正态分布情况下

不相关即该式分子为0

五、矩

偏离原点或偏离期望的偏离程度的k次方平均值

偏离原点

原点矩

偏离期望

中心矩

定义（了解即可）

一阶原点矩是期望

二阶中心矩是方差

1+1阶混合矩就是协方差cov(X,Y)