导图社区 考研数学概率基础04学霸笔记
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考研数学概率基础04学霸笔记
概率基础04随机变量的数字特征（数学一、三）
教材概率04数字特征
一、期望（理论平均值，概率平均值）
1.一维随机变量的期望
离散型
连续型
随机变量函数的期望
取值乘以概率的加和
常见分布的期望
0-1分布
巧记
期望就是概率
泊松分布
圈圈部分类比泊松分布分布律
期望就是λ(分子流强度)
几何分布
思维
换元——(1-p)换元为x
根据形式想到了求导关系
观察里面想到等比级数（收敛的）
等比级数补充知识
为了利于计算进行分子变形
期望就是概率的倒数
想象一下投篮命中率是1/3则理论上投三次中一次
均匀分布
期望就是平均值(中间那个点)
指数分布
正态分布
2.二维随机变量的期望
注意点
X、Y独立同分布于同一个概率密度函数内
因为x、y不一定同时取到同一个数值
但当x、y同时取到同一个数值时候，对应的概率密度一定相等
3.期望的性质
前三条是期望的线性性质
第三条推广
第四条
反之不一定成立
由式子推导不出来相互独立
二、方差
1.定义
写成平方是因为绝对值不好算
2.性质
其中D(X+C)相当于仅仅平移而波动程度不变
3.意义
取值与期望的偏离程度的期望
常见分布的方差
方法二的原理
“X取n”和“X+1取n+1”的概率相等
接着用期望的性质1进行化简
方差和期望一样
二项分布
n倍的0-1分布
常见分布的期望和方差
经典训练题型
三、协方差
两个随机变量的偏离程度的问题
1.提取常数不平方
2.可拆分性
3.相互独立——乘积的期望等于期望的乘积
第三条反过来不成立
代入定义式子进行查看
计算
四、(线性)相关系数
加绝对值是为了避开相关系数的正负问题
第三条引申
独立推出不相关
相关推出不独立
二推三
但反之不成立（例如，不相关推不出独立）
特殊情况
二维正态分布情况下
不相关即该式分子为0
五、矩
偏离原点或偏离期望的偏离程度的k次方平均值
偏离原点
原点矩
偏离期望
中心矩
定义（了解即可）
一阶原点矩是期望
二阶中心矩是方差
1+1阶混合矩就是协方差cov(X,Y)
