考研数学线代基础04学霸笔记

这是一篇关于考研数学线代基础04学霸笔记的思维导图，主要内容有一、向量及向量空间二、线性表示(实质是非齐次线性方程组有无解的问题)三、线性相关性（实质是齐次线性方程组有无非0解的问题)四、向量组的极大无关组与秩五、线性方程组解的结构与解的判定六、向量空间。

考研数学线代基础04学霸笔记

• 第四讲 向量组的线性相关性
  • 一、向量及向量空间
    • 1.向量、向量运算
      • 向量
        • 特殊向量
          • 零向量
            • 一定是“混子”般的存在且一定可以被其他向量表示
      • 向量运算
        • 线性运算
          • 数乘
          • 加法
          • 向量的线性组合
    • 2.向量空间、子空间
  • 二、线性表示（实质是非齐次线性方程组有无解的问题）
    • 1.线性组合
    • 2.线性表示
      • 定义
      • 定理（向量组变换成矩阵的秩的问题）
      • 实质是非齐次线性方程组有无解的问题
        • 由此引出的题型的解法
          • 证明向量（组）的线性表示或线性无关性（题型）
            • 定义法
            • 定理法（秩）
              • 判断秩的个数时候可以引入秩的定义思想来快速确定（技巧）
              • 也就是化阶梯形
                • 如果遇到带参数不好化简，就化行列式，因为行列式可以边化0边展开
    • 3.向量组等价（相互版的线性表示）
      • • （1）充要条件
          • 定理
          • 推论
        • （2）必要条件
          • • B的维度一定不超过A的维度
        • 注意点
          • 向量组等价≠矩阵等价
            • 矩阵等价
              • 同型
              • 秩相等
                • 意味着维度相等
                  • 但是同等维度却不一定在同样的空间内（例如：均是二维但不是同一平面）
            • 向量组等价
              • A、B向量组的向量个数不相等也可能等价
              • 意味着可以决定同一个向量空间
            • 无法互相推理出来对方
  • 三、线性相关性（实质是齐次线性方程组有无非0解的问题）
    • 1.定义
      • • 深入理解三种情况
        • 巧记
          • 线性相关就是有不出力的“混子”
          • 线性无关就是没有“混子”
    • 2.与秩的关系
      • • 实质是未知数个数与独立方程个数的关系
        • 引申定理
          • • 巧记
              • 本来就有“混子”多一个向量也消除不了“混子”
              • 本来就没有“混子”少一个向量更是没有“混子”
          • • 实质是未知数个数与（独立）方程个数的关系
        • 特殊情况
  • 四、向量组的极大无关组与秩
    • 1.极大无关组
      • 定义
      • 推论
      • 注意点
        • 极大无关组不一定唯一
        • 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0
    • 2.向量组的秩（三秩相等）
      • 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
  • 五、线性方程组解的结构与解的判定
    • 1.基础解系（实质是通解的极大无关组）
      • 注意点
        • 基础解系不一定是唯一的
    • 2.解的结构
      • • 典型例题
  • 六、向量空间
    • 基
      • 向量空间的极大无关组
        • 部分
        • 无关
        • 个数=向量空间的维度
    • 坐标
    • 过渡矩阵（可逆矩阵方程）
    • 坐标变换