导图社区 考研数学线代基础04学霸笔记
这是一篇关于考研数学线代基础04学霸笔记的思维导图，主要内容有一、向量及向量空间二、线性表示(实质是非齐次线性方程组有无解的问题)三、线性相关性（实质是齐次线性方程组有无非0解的问题)四、向量组的极大无关组与秩五、线性方程组解的结构与解的判定六、向量空间。
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考研数学线代基础04学霸笔记
第四讲 向量组的线性相关性
一、向量及向量空间
1.向量、向量运算
向量
特殊向量
零向量
一定是“混子”般的存在且一定可以被其他向量表示
向量运算
线性运算
数乘
加法
向量的线性组合
2.向量空间、子空间
二、线性表示（实质是非齐次线性方程组有无解的问题）
1.线性组合
2.线性表示
定义
定理（向量组变换成矩阵的秩的问题）
实质是非齐次线性方程组有无解的问题
由此引出的题型的解法
证明向量（组）的线性表示或线性无关性（题型）
定义法
定理法（秩）
判断秩的个数时候可以引入秩的定义思想来快速确定（技巧）
也就是化阶梯形
如果遇到带参数不好化简，就化行列式，因为行列式可以边化0边展开
3.向量组等价（相互版的线性表示）
（1）充要条件
定理
推论
（2）必要条件
B的维度一定不超过A的维度
注意点
向量组等价≠矩阵等价
矩阵等价
同型
秩相等
意味着维度相等
但是同等维度却不一定在同样的空间内（例如：均是二维但不是同一平面）
向量组等价
A、B向量组的向量个数不相等也可能等价
意味着可以决定同一个向量空间
无法互相推理出来对方
三、线性相关性（实质是齐次线性方程组有无非0解的问题）
1.定义
深入理解三种情况
巧记
线性相关就是有不出力的“混子”
线性无关就是没有“混子”
2.与秩的关系
实质是未知数个数与独立方程个数的关系
引申定理
本来就有“混子”多一个向量也消除不了“混子”
本来就没有“混子”少一个向量更是没有“混子”
实质是未知数个数与（独立）方程个数的关系
特殊情况
四、向量组的极大无关组与秩
1.极大无关组
极大无关组不一定唯一
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0
2.向量组的秩（三秩相等）
矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
五、线性方程组解的结构与解的判定
1.基础解系（实质是通解的极大无关组）
基础解系不一定是唯一的
2.解的结构
典型例题
六、向量空间
基
向量空间的极大无关组
部分
无关
个数=向量空间的维度
坐标
过渡矩阵（可逆矩阵方程）
坐标变换
