导图社区 《卫生统计学》第二篇 概率与推断基础（第四章到第六章）
- 163
- 12
- 3
- 举报
《卫生统计学》第二篇 概率与推断基础（第四章到第六章）
本思维导图主要是介绍卫生统计学的第二篇：概率与推断基础，为接下来学习第三篇中的各种推断方法打下基础，十分重要！
编辑于2022-08-22 15:34:06 广东
《卫生统计学》第二篇 概率与推断基础（第四章到第六章）
社区模板帮助中心，点此进入>>
- 相似推荐
- 大纲
第二篇 概率与推断基础
第四章 基本概率理论
概率
机会与不确定性
随机性
用于刻画事件的不确定性
必然性/确定性
在给定条件下某种现象的结果是必然的
随机事件
1、常常指那些尚未发生的实验结果
2、指随机实验的不同结果
3、随机事件是随机现象中的一种或一组结果，随机事件是随机现象中所有可能结果的一个子集。
定义
概率
1、度量事件发生可能性大小的数量指标，称为概率
2、随机现象中的概率可被定义为随机实验无限重复中某随机事件所占的比例
事实基础
投掷一枚硬币或从一人群中进行一次随机抽样，其结果都无法提前预测，因为当你重复投掷硬币或抽取样本时结果会发生变化。尽管如此，大量的重复结果仍会呈现出一定的规律，这个规律仅在多次重复后才会清晰地出现
确定性现象/必然现象
服从特定的因果规律，从一定的条件出发，一定可以推出某一结果，这类现象称为确定性现象
随机现象
是指在个别实验中结果不能预测，但在大量重复实验后结果展现出一定规律的现象
必然事件
在实验中必定发生的事件
不可能
在实验中不可能发生的事件
基本性质
任何概率取值为0~1
一个事件的概率为0.5意味着在长期实验中这个事件发生占了总实验次数的一半
所有可能的结局的概率加起来必须等于1
如果两个事件互斥（没有共同可能的结局），两个事件至少一个发生的概率就是两个事件单独发生的概率之和，即概率的加法原则
一个事件不会发生的概率等于1减去这个事件发生的概率
事件的概率运算
加法法则
1、事件A与事件B之和是指事件A、B中任意一个事件发生，如果A和B互斥，那么Pr（A或B）=Pr(A)+Pr(B)
互斥事件不是独立事件，因为事件A发生的对事件Ｂ的发生有影响
2、如果多个互斥事件之和，则相同
条件概率
独立事件
1、事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件称为互相独立事件
2、如果Pr（B|A）=Pr(B)，则两个事件独立
条件概率
Pr（A|B）表示条件概率，它指在知道另一个事件B发生的情况下，某一事件A发生的概率
乘法法则
1、如果事件A和事件B同时发生，则称为两个事件的积，记作{A和B}
2、乘法法则
Pr（A和B）=Pr（A）Pr（B|A）
Pr（A、B和C）=Pr（A）Pr（B|A）Pr（C|A和B）
条件概率与树状图
概率分布
随机变量
随机实验中产生的结果用数值表示的变量叫做随机变量
离散型随机变量
离散型随机变量
概率分布
1、离散型随机变量X所有可能的取值可以一 一被罗列出来，其概率分布列出了所有取值及对应的概率
eg.X 的取值范围 ： x1 x2 x3…… 概率： π1 π2 π3……
其中概率Π必须满足以下两个条件：
（1）概率π的取值范围为0~1
（2）π1+π2+……=1
计算某个事件的概率只需要将构成这个事件各个结果的概率相加即可
2、大多是情况下，随机变量取值个数都是有限的
3、在实验中，当使用简单随机抽样从一个总体中选择n个样本并用于询问答案是或否的问题时，可以考虑上述投掷硬币n次的模型
连续型随机变量
连续型随机变量
1、连续型随机变量X是取值范围充满某一数值曲线的变量，即连续型随机变量在忽略测量精度的条件下可以渠道该区间中的任意一个值
2、X的概率分布由概率密度曲线表示
3、某事件的概率可以通过概率密度曲线下对应的面积得到
4、连续型变量是一种数学上的抽象概念。在现实中，变量一般都有某种度量单位，只能在该单位下测量到一定的精度，如身高的测量，单位是厘米的话，精度一般为小数点后一位。故实际操作测量后得到的这类变量必然是离散的，但实际的情况是即使两个相等的值通常也只是近似相等，真实的情况是两者的差异受限于测量精度而无法体现
5、另一个使用连续型堆积变量的原因是其更容易进行统计处理
概率密度曲线
1、一种分配概率的方式——概率密度曲线下面积
2、定义：概率密度曲线是位于横轴上方用于描述概率分布的曲线，该曲线下面积为1，对应概率为1.某件事件在概率密度曲线下对应某一区间的面积即为该事件的概率
3、连续型概率分布中某一个具体结果的概率都趋近于0，只有在一个区间内才有概率
随机变量的均数和方差的加法法则
注意：这里用于描述概率分布特征的统计量（如均数和方差），讲的是具有某种概率分布的随机试验无限次重复后得到的特征指标，如将赌博进行10万次以上，这10万次随机试验包括输赢两种结果，其中赢的比例为6/11，输的比例为5/11，因为试验次数足够多，所以可以把这一比例看成是相应的概率，然后通过均数这个数值型指标对此分布进行描述
随机变量的均数
与第一章的均数不同
1、第一章中均数是某样本所有观测值的平均值，是描述样本数据特征的一个统计量
2、这里的随机变量是指某个随机实验的数值型结果，如果将某个随机实验大量重复足够多次并且记录这个随机变量的结果值，那么可以把这个随机变量的均数看作是一个非常大的样本量的平均值，在这里我们可以把这些结果的相对频率看成它们的概率
3、如果把全部随机实验看成是相应的总体，那么这些随机变量的均值就是这个总体的一个参数（这里的参数是指描述总体分布的特征数值）
随机变量的均数与样本均数
1、概率是对长期大量重复某实验后某个事件发生频率的理想描述，概率分布的均数同样描述的是长期大量重复实验后的平均值
2、用μ来表示概率分布均值
3、我们经常会用到μx来表示随机变量X的均值
4、对于一个特定总体而言，样本观测值会随抽取样本的不同而变化，相应的样本均数也会因样本的不同而变化，但随机变量X的均数是一个描述总体特征的参数，它是随机变量所有可能取值的平均值。
5、如要了解某地区某一年龄段青少年的平均身高，假定随机抽取100名青少年，抽样过程中导致抽出的每个青少年的身高为一个随机变量，每次抽样的样本均数会随之改变，但随机变量的均数是概率分布特征的一个参数，是一个客观存在的固定数值，并不会随着抽样样本的不同而发生改变。此时随机变量X的均数就是某地区所有青少年的平均身高，描述该总体人群的平均身高水平
与总体参数的概念对应
6、一般地，随机变量X地均数是指随机变量所有可能值的平均，但不是一般意义下的平均，是要把每一个取值都按照它的概率加权之后的平均，每个可能取值的权重就是X取这个值的概率。
随机变量的均数也称作X的期望值
我们并不期望随机抽取一个观测值就能接近X的期望值，我们强调的是随机变量X的均数或这期望值是在长期大量重复某随机实验产生的所有结果值的平均
离散型随机变量的均数
=每个可能的取值与其概率乘积之和就是X的均数；将概率作为相应取值的权重说明了均数就是长期大量重复实验下随机变量的平均值这一含义
连续型随机变量均数
需要用到微积分等高等数学知识
随机变量之和的均数计算法则
加法法则
如果X和Y是两个随机变量，随机变量X和Ｙ的和记为随机变量Ｚ，即Ｚ＝Ｘ＋Ｙ，则随机变量Z的均数μｚ可表示为μ（ｘ＋ｙ），那么随机变量X与Y之和的均数就等于Ｘ的均数加上Ｙ的均数
注意不要求相互独立，该性质与均数的求解形式有关
随机变量的方差
定义：是每个结果值与均数的差值（即离均差）的平方乘以该值的概率后再相加得到的平均值
注意与样本的方差加以区分
随机变量的方差同样是一个客观的固定值，不会随着抽样样本的不同而改变，描述随机变量X的离散程度
离散型随机变量的方差
连续型随机变量的概率分布——正态分布
方差与标准差的两条法则
概念
相关性
当随机变量之间互相不独立时，他们和的方差取决于他们之间的相关性和它们各自的变异性
如果随机变量不相互独立，他们的方差不能直接相加
独立性
如果随机变量之间相互独立，这些变量值之间的此种关联性就不存在了，那么他们的方差就可以直接相加
如果随机变量之间互相独立时，他们可以直接相加
相互独立随机变量方差的加法法则
σ２（ｂＸ）＝ｂ２σ２（Ｘ）
X是随机变量，ｂ是常数→随机变量X与常数ｂ的乘积的方差就等于X的方差乘以常数ｂ的平方
σ２（Ｘ＋Ｙ）＝σ２（Ｘ）＋σ２（Ｙ）
如果X和Y是相互独立的两个随机变量→X和Y的方差就等于X的方差加上Y的方差
离散型分布
二项分布
背景——伯努利实验
2、二项分布描述的是n次伯努利试验中”成功“次数的分布，如果n次实验中有k次成功，（n-k）次失败，则其概率为，但是k次成功可以再n次试验的任何地方出现，因此X次成功分布再N次实验中共有个不同的方式
1、伯努利实验是只有两种可能结果的单次随机实验，其结果可能为“成功”或“失败“。
2、二项分布描述的是n次伯努利试验中”成功“次数的分布，如果n次实验中有k次成功，（n-k）次失败，则其概率为________，但是k次成功可以在n次试验的任何地方出现，因此X次成功分布在N次实验中共有_______个不同的方式
二项分布
定义
将一个”成功“概率为的伯努利实验独立地重复n次，令X表示出现在这n次实验中”成功“出现地次数，X可能取的值是0、1、2、……，n，根据n次伯努利实验中”成功“总次数等于k的概率计算公式，得到X的概率分布为： Pr（X=k）=，k=0、1、2、……，n
将一个”成功“概率为π的伯努利实验独立地重复n次，令X表示出现在这n次实验中”成功“出现地次数，X可能取的值是0、1、2、……，n，根据n次伯努利实验中”成功“总次数等于k的概率计算公式，得到X的概率分布为： Pr（X=k）=, k=0、1、2、……，n
试验次数n时固定的
随机变量X服从参数为n和π的二项分布，记作X~B（n，π)
注意：本章所学的二项分布、柏松分布和正态分布都是描述总体的分布，后面学的t分布、F分布和卡方分布描述的是样本的分布
两个参数：n和π
性质
X的均数μx=nπ
X的方法σ2X=nπ(1-π)
X的标准差=根号方差
π为0.5的图形是对称的，方差最大为0.25n；π越偏离0.5，对称性越差
对于同一个π，n越大分布越趋于对称，当n → ∞，只要π不太靠近0或1（特别是nπ>5且n（1-π）>5时），二项分布接近于正态分布
适用条件
互斥性
每次随机实验只会发生两种对立的可能结果之一
来源于伯努利实验
稳定性
在相同实验条件下，每次实验产生某种结果（如成功）的概率固定不变
实际工作中，参数π往往未知，当某随机实验重复很多次时，某结果发生的频率可看作是它的概率
独立性
重复实验是相互独立的，即每次实验产生何种结果不受其他各次实验的影响
注意：通过检查二项分布的适用条件，可以区分什么情况下能用二项分布，什么情况下不能用二项分布
结合教材P95，例4-14进行理解
Poisson分布
常用于稀有事件的发生次数的概率分析
定义
若离散型随机变量X，其取值为0，1，2，……，相应的概率为： Pr（X=k）=，k=0，1，2，…… 则称此分布为服从参数为的Poisson 分布，式中e=2.71828为自然对数的底，是常数 是唯一参数，为Poisson分布的均数（>0）
相当于：二项分布在“成功”概率π很小，样本含量（试验次数）n趋向于无穷大时，近似于Poisson分布
若离散型随机变量X，其取值为0，1，2，……，相应的概率为：Pr（X=k）=_____, k=0，1，2，……则称此分布为服从参数为的Poisson 分布，式中e=2.71828为自然对数的底，是常数, μ是唯一参数，为Poisson分布的均数（μ>0）
性质
数学上可验证，Poisson分布的方差与均数相等，均为μ
是方差，不是标准差
可加性：X～P（μ1），Y～P（μ2），若X与Y独立，则X+Y～P（μ1+ μ2）
主要应用于精度问题，如水质检测中菌落总数的计数；另外柏松分布只有可加性，没有可乘性、可减性
图形分布规律：呈非对称分布，分布图的形态取决于μ，μ<5时为偏峰（只可能是正偏），μ愈小分布愈偏，随着μ的增大，分布趋于对称
μ>=20时Poisson分布近似于正态分布
常见实例
发射性物质单位时间内的发射次数
单位体积内粉尘的计数
每滴海水中浮游生物数量
某一区域内野生生物或昆虫数量
显微镜下细胞或微生物计数
自然灾害发生的次数
汽车站台的候客人数
机器出现的故障数
连续型分布
正态分布
也称高斯分布
标准正态分布
定义
标准正态分布的概率密度函数为，-∞<x<∞， 此时称随机变量X服从均数为０，标准差为１的标准正态分布，记为Ｘ～Ｎ（０，１） 其图形称为标准正态曲线 是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟形曲线
标准正态分布的概率密度函数为
，-∞<x<∞
此时称随机变量X服从均数为０，标准差为１的标准正态分布，记为Ｘ～Ｎ（０，１）
其图形称为标准正态曲线
是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟形曲线
标准正态分布界值表
对于服从标准正态分布的随机变量，可根据附表１或统计软件求出任何一个取值区间的概率一找出对应百分位数的观测值
类似于第一章学习的样本百分位数，一个概率分布的ｋ分位数是一个值，随机变量小于等于该值的概率为ｋ
一般正态分布
定义
函数变换： →y向右平移μ个单位→→y的水平相对位置变宽σ倍→ 经此变换，可得到均数和标准差为任意值的正态分布，其概率密度函数为，-∞<x<∞ 我们就称随机变量X服从均数为μ，标准差为σ的正态分布，记为X~N（μ，）
正态分布是自然界最常见的一种分布，正态分布的特点是中间频数最多，两边频数渐少且对称
函数变换：→y向右平移μ个单位→→y的水平相对位置变宽σ倍→
经此变换，可得到均数和标准差为任意值的正态分布，其概率密度函数为，-∞<x<∞ 我们就称随机变量X服从均数为μ，标准差为σ的正态分布，记为X~N（μ，σ²)
正态曲线：一条高峰位于中央，两边逐渐下降并左右完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟形曲线
特点
1、曲线形状为单峰、钟形，以均数μ为对称轴，左右对称
2、x=μ时，正态分布概率密度函数f（x）取得最大值，两边逐渐减少，在μ±σ处有拐点
3、曲线尾端不与横轴相交
4、曲线由μ和σ两个参数决定，μ决定曲线的峰值位置（位置参数），σ决定曲线的形状（离散度参数）
5、曲线下面积为1，横轴上某一区间和曲线所夹面积与总面积之比，相当于变量值落在该区间的概率（概率分布）
6、可加性：X～N （μ1，σ12)，Y～N （μ2，σ22)，若X与Y独立，则X+Y～N （μ1+ μ2，σ12+σ22)
方差和方差直接相加
判断是否为正态分布的情况
1、服从或近似服从正态分布的随机变量都有一个共同的特点，它们可以看成许多微小的，独立的随机因素的综合，而每种因素在正常情况下都不会发挥绝对主导作用。
2、对于任一随机变量是否服从正态分布，我们首先需要画出它的频数直方图或频率密度曲线，当呈现出正态分布趋势后才能加以运用
一般正态分布变量的概率计算
任意正态分布变量的标准变换： 设随机变量，则  这种将变量X先减去分布的均数再除以标准差完成的变换称为标准化变换，而经标准化变换后的变量Z就是服从标准正态分布N（0，1）的标砖正态随机变量，称为X的标准化变量或称为Z分数 通过试验或调查到具体数值后，Z分数的具体取值记作小写情形，即z分数 对z分数可以理解为它与均数之间的差值是标准差的多少倍 z分数不仅可以用来解决一般正态变量的概率计算问题，还可以用来比较不同正态分布中的观测值所对应的概率的大小
任意正态分布变量的标准变换，设随机变量X~N（μ，σ2)，则Z=（x-μ)/σ ～Ｎ（０，１）
这种将变量X先减去分布的均数再除以标准差完成的变换称为标准化变换，而经标准化变换后的变量Z就是服从标准正态分布N（0，1）的标准正态随机变量，称为X的标准化变量或称为Z分数
通过试验或调查到具体数值后，Z分数的具体取值记作小写情形，即z分数
对z分数可以理解为它与均数之间的差值是标准差的多少倍
z分数不仅可以用来解决一般正态变量的概率计算问题，还可以用来比较不同正态分布中的观测值所对应的概率的大小
标准正态分布与一般正态分布的68-95-99.7法则对比
标准正态分布的68-95-99.7法则： 如果随机变量X~N（0，1），则有： 1、约68%的可能性X分布在区间(-1,1)之内 2、约95% 的可能性X分布在区间（-2，2）之间 3、约99.7%的可能性X分布在区间（-3，3）之内 一般正态分布的69-95-99.7法则 如果随机变量X~N（μ，σ^2)，则有 1、约68%的观测值分布在距离均数的1个标准差之内的范围，即（μ-σ，μ+σ） 2、约95%的观测值分布在距离均数的2个标准差之内的范围，即（μ-2σ，μ+2σ） 2、约99.7%的观测值分布在距离均数的3个标准差之内的范围，即（μ-3σ，μ+3σ） “3σ法则”（三倍标准差准则），这个准则常用于产品质量控制中 通常以样本数据的作为实验观测值的上警戒限和下警戒限，以作为实验观测值的上控制限和下控制限
标准正态分布的68-95-99.7法则： 如果随机变量X~N（0，1），则有：
1、约68%的可能性X分布在区间(-1,1)之内
2、约95% 的可能性X分布在区间（-2，2）之间
3、约99.7%的可能性X分布在区间（-3，3）之内
一般正态分布的69-95-99.7法则： 如果随机变量X~N（μ，σ²），则有
1、约68%的观测值分布在距离均数的1个标准差之内的范围，即（μ-σ，μ+σ）
2、约95%的观测值分布在距离均数的2个标准差之内的范围，即（μ-2σ，μ+2σ）
3、约99.7%的观测值分布在距离均数的3个标准差之内的范围，即（μ-3σ，μ+3σ）
“3σ法则”（三倍标准差准则）
这个准则常用于产品质量控制中，通常以样本数据的x±2s作为实验观测值的上警戒限和下警戒限，以x±3s作为实验观测值的上控制限和下控制限
标准正态分布与一般正态分布的、两者的关系、特点
任何一个一的正态变量都可以通过标准变换转化为标准正态变量，我们也可以通过简单的函数变换将标准正态分布转换为一般正态分布
正态分布的重要性
1、正态分布能够很好地描述一些实际数据的分布，比如生物的许多特性、测量误差、考试分数等
2、正态分布可以很好地近似许多随机事件的结果，如多次投掷硬币的结果
3、正常人体的很多生物学指标服从正态分布，可以利用正态分布制定这些指标的“医学参考值范围”
4、根据3σ法则，可以制定相应的质量控制线和警戒线
5、建立再正态分布基础上的很多统计推断过程也适用于其他近似对称分布
补充
蒙特卡罗模拟
第五章 统计量的抽样分布
前后联系
理解第四章中总体的μx和σ^2与本章中样本的μ（x-）和σ(x-）^2的关系，为以后的统计推断打下基础
第三章定性地阐述了抽样分布可反映样本均数推测总体均数的好坏，即通过偏倚和变异的大小来反映代表性和可靠性两个方面；
本章运用第四章学习的概率知识，定量地阐述样本抽样分布的代表性和可靠性等重要问题
总体参数 ➡️（随机抽样）➡️样本统计量
在总体参数已知时样本数据的变化规律
抽样率的抽样分布
分类变量
概述
1、统计量的本质为随机变量，本章将定量地归纳统计量的概率分布规律
2、为阐明核心思想，避免复杂运算，本节按照如下思路对统计量的抽样分布进行介绍：
小样本量下抽样分布的精确计算：在总体分布已知的情形下，从样本量较小的例子开始，归纳取统计量的抽样分布规律，计算其均数和标准差，并观察统计量的抽样分布与对应总体参数的关系
大样本量下抽样分布的蒙特卡罗模拟：采用蒙特卡罗模拟方法，从已知总体中实施大量重复模拟抽样，获得大量的样本统计量，从而对得到的样本统计进行描述，计算其均数和标准差，描述其分布及绘制直方图
样本率的概率分布
样本率与样本均数
在样本量为n的简单随机样本中，“成功”的频数X服从二项分布B（n，π）。由于“成功”的样本率等于“成功”样本频率X除以样本量n（即p=X/n），所以若想了解样本率p的抽样分布，可将关于样本率p的概率计算问题转换成为“成功”频数X的概率计算问题
⚠️样本率与样本频数都是离散型随机变量（因为样本率根源于样本频数p=X/n）
应用二项分布概率公式计算样本率的分布
eg、假设投掷一枚质地不均匀的硬币，其正面朝上的概率为0.6，每次投掷的结果都是独立的，投掷这枚硬币3次朝上的频率为p，其为样本率，此时样本率p的概率分布是怎么样的？
tip：投掷硬币正面朝上的次数服从二项分布，可以把样本率的概率计算转换为样本频数的概率计算，即先计算3次投掷正面朝上次数（用X表示）的概率，X可能的取值为0、1、2、3，然后再计算出样本率并归纳样本率的概率分布
步骤
第一步：列出各种可能出现的情况
第二步：计算每一种情况出现的概率
第三步：计算每一种情况的样本率
第四步：归纳出样本率的概率分布
计算样本率的均数和标准差
记得✖️概率权重
利用统计表计算样本率的分布
可以查阅二项分布表
二项分布表只提供了π≤0.5时的值，π＞0.5时的值可以转换为求“失败”的概率，即先通过1-π查表，然后再将所得概率值对应到“成功”的情况下
应用概率公式或查阅二项分布表可得样本率p的概率分布，其可理解为：如果从总体中进行无限重复抽样，得到每个样本率p的频率恰好就是对应的概率
利用模拟实验计算样本率概率分布
用频率模拟概率
1、模拟实验的优势在于可以对样本量很大的样本进行多次重复抽样，而且抽样的次数也可以根据需要来调整
2、结论：随着样本量n的增大，样本率p的均数越来约接近总体率π，而样本率p的离散程度随着样本量的增加而逐渐变小，因此来自较大样本的样本率p一般更接近总体率π。
3、模拟实验与概率公式计算结果的比较：模拟抽样是大量有限次数的模拟实验结果；概率公式是数学上的理论解析结果
蒙特卡罗模拟实验
抽样率抽样分布的正态近似
背景
通过模拟实验发现随着样本量的增加，样本率的标准差越来越小，这就表明用样本率来估计总体绿的可靠性越来越高
我们可以通过改变模拟实验中的π和n来呈现变化规律
采用模拟实验呈现正态近似过程及条件
1、已知一个总体的总体率，现从中随机抽取n例个体，观察样本率p，用过模拟实验依次变化π和n，观察样本率的概率分布（二项分布图）
2、一般认为，在n比较大，而π不接近0和1时，可认为样本率近似服从正态分布，经验规则为nπ＞5且n（1-π）＞5时，样本率近似服从正态分布
与二项分布正态近似的条件是完全一致的
近似正态分布的连续性校正
用一个离散型的分布近似表达一个连续型分布
1、原因：由于离散型分布只能对整数计算概率，所以Pr（X≤10）=Pr（X≤10.5），但正态分布中Pr（X≤10）与Pr（X≤10.5）是不同的，所以正态近似存在误差，需要校正
2、因此，当利用二项分布的正态近似来计算累积概率时，可以对需要计算的”成功“次数的整数实施加0.5或减0.5后再采用正态分布近似法来计算，这样可以提高近似的准确性，此类方法称为近似正态分布的连续性校正
数理结论
可以利用公式计算样本率p的均数和标准差
以”成功“率为π的总体中随机抽取样本量为n 的样本，其样本”成功“率用p表示，则p的均数和标准差为： p的均数=π p的标准差= 由公式可知： 1、样本率的标准差与样本量的平方根呈反比，即可通过增大样本量来减少样本率的标准差，即减少抽样误差 2、用样本率p来估计总体Π时，估计的可靠性随着样本量的增加而增强
以”成功“率为π的总体中随机抽取样本量为n的样本，其样本”成功“率用p表示，则p的均数和标准差为：
由公式可知：
1、样本率的标准差与样本量的平方根呈反比，即可通过增大样本量来减少样本率的标准差，即减少抽样误差
2、用样本率p来估计总体π时，估计的可靠性随着样本量的增加而增强
nπ＞5且n（1-π）＞5时，样本率近似正态分布
以”成功“率为Π的总体中随机抽取样本量为n 的样本，其样本”成功“率用p表示，且nΠ＞5且n（1-Π）＞5时， p近似服从 当样本量不大时，正态分布近似法计算二项分布累积概率结果会有一定偏差，故应适用近似正态分布的连续性校正
以”成功“率为π的总体中随机抽取样本量为n的样本，其样本”成功“率用p表示，且nπ＞5且n（1-π）＞5时，p近似服从
当样本量不大时，正态分布近似法计算二项分布累积概率结果会有一定偏差，故应适用近似正态分布的连续性校正
样本均数的抽样分布
定量变量
利用概率公式计算样本均数的概率分布
1、通过例5-4，样本均数时总体均数的无偏估计 2、类似地，也可验证第一章分母为n-1的样本方差是总体方差的无偏估计量，而分母为n 的样本方差是总体方差的一个有偏估计
1、通过例5-4，样本均数是总体均数的无偏估计
当样本量很小时，例子中样本量为4（为了方便计算）
第一步：列出所有可能的样本组合
第二步：计算每种样本的概率
第三步：计算每种样本的样本均数
第四步：归纳出样本均数的概率分布
样本均数是一个随机变量，对应多个数值，可以用均数和标准差来描述样本均数的集中趋势和离散趋势
2、样本均数的概率分布呈现中间高、两边低、左右对称的形态，为样本均数的正态近似性
3、本例中，验证了样本均数的均数（根据概率分布求的）与总体均数相等，也即验证了样本均数为总体均数的无偏估计。也可验证第一章分母为n-1的样本方差s^2是总体方差的无偏估计量，而分母为n的样本方差是总体方差的一个有偏估计
利用模拟实验计算样本均数的概率分布
思想：产生1000组随机数，每组包含50个随机数，即构成一个样本含量为50的随机样本，最后计算1000个样本的样本均数，并统计它们出现的频数，即得到样本均数的概率分布
步骤
整体规划
总体已知，要了解的是”重复随机抽样得到的样本均数呈现怎么样的概率分布“
每次抽到n个个体的均数即样本均数
利用计算机模拟
计算样本均数
样本均数的每个取值对应的概率
描述样本均数的分布特征
实现从已知概率分布抽样
重复多重并综合结果
样本均数抽样的正态近似
1、样本均数的离散程度远小于总体分布的离散程度，即样本均数的标准差小于总体的标准差
2、样本的均数的取值随样本变化，但分布围绕总体均数μ基本左右对称，且中间高、两边低，呈近似对称
3、样本量不同时，样本均数的抽样分布是不同的，且样本量越大，样本均数的变异程度越小
4、实际上，无论总体分布如何，随着样本量n增加，样本均数的抽样分布都将近似正态分布
数理结论
样本均数是一个连续型随机变量，可用公式计算其均数和标准差
1、根据第四章均数加法法则：如果X 和Y是两个随机变量，则，可知样本均数的均数为：  即样本均数这个随机变量的均数等于总体均数μ 2、当总体中的个体数远远大于样本量时，认为样本之间时互相独立的，根据第四章只是，如果X和Y时相互独立的两个随机变量，则，所以可加性同样适用于方差，并且根据方差的揭发法则：如果X是一个随机变量并且a和b是常数，则，可以计算样本均数的方差为：  3、结论： 从一个均数等于μ，标准差等于σ的总体中抽取样本量为n的简单随机样本，其样本均数服从均数为，标准差为的抽样分布：  4、增大样本量可以减少样本均数的标准差，从而减少抽样误差
此处的样本均数X不是针对一个观察到的样本，而是所有可能的样本的样本均数，其为一个随机变量而非固定值，与一次抽样的样本的均数x要区分
1、根据第四章均数加法法则：如果X 和Y是两个随机变量，则μ（X+Y）=μX+μY，可知样本均数的均数为：（如右图），即样本均数这个随机变量的均数等于总体均数μ
2、当总体中的个体数远远大于样本量时，认为样本之间时互相独立的，根据第四章知识，如果X和Y时相互独立的两个随机变量，则σ^2（X+Y）=σ^(X)+σ^2(Y)，所以可加性同样适用于方差，并且根据方差的加法法则：如果X是一个随机变量并且a和b是常数，则σ^2(a+bX)=b^2×σ^2(X)，可以计算样本均数的方差为：
σ（X-）^2是样本的方差，它的值是总体方差σ^2/n，意味着通过抽样，方差减小了，相对于总体而言，这也是我们进行抽样分布的原因，为了获取更集中的数据，好进行统计推断
3、结论：从一个均数等于μ，标准差等于σ的总体中抽取样本量为n的简单随机样本，其样本均数服从均数为μX，标准差为σX的抽样分布：
获得的抽样的样本的数据没有改变总体均数与样本的统计量样本均数的位置，而缩小了它的方差，说明数据他更集中了
原始的数据比较分散，我们通过抽样可以使数据更集中，而且不改变它的集中位置
抽样的目的①
此处的方差是样本均数X这一个随机变量的方差，而不是一次抽样中样本的均数的方差，要注意区分！
4、增大样本量可以减少样本均数的标准差，从而减少抽样误差
当样本量n 很大时，无论总体分布如何，样本均数X-的抽样分布近似正态分布
1、样本均数的分布形态取决于总体分布的形态，如果总体分布是正态的，那么样本均数的分布也服从正态分布
2、现实中，许多总体分布并不是正态的，但样本均数也服从正态分布→根据中心极限定理
中心极限定理
从任意均数等于μ，方差等于的一个总体中抽取样本量为n的简单随机样本，当样本量你很大时，无论总体分布形态如何，样本均数的抽样分布近似正态分布： 近似服从正态分布
从任意均数等于μ，方差等于σ^2的一个总体中抽取样本量为n的简单随机样本，当样本量很大时，无论总体分布形态如何，样本均数的抽样分布近似正态分布：
通过抽样，获得了一个更集中、近似正态的分布，可以在样本的抽样分布的基础上进行统计推断，在很小的范围内推测出总体的参数，这是可以进行统计推断的原因
抽样的目的②
上一节的样本率也同样遵循了这个定理
样本率是一种特殊的样本均数，因此也遵循中心极限定理
根据第四章二项分布定义可知，二项分布可看成多次伯努利实验的和：用Si=1时表示第i次实验结果“成功”，Si=0表示第i次实验结果“失败”，可以将各个Si相加得到总的“成功”次数（即X=S1+S2+……+Sn),而“成功”率为p=(S1+S2+……+Sn）/n，可将其看成一个均数，即样本量为n的样本率可以用取值为0和1变量的样本均数来表示，因此其同样也遵循中心极限定理
第六章 统计推断
概述
介绍总体参数未知时如何利用观察到的样本数据推断总体参数
提供依据：第四、五章介绍了总体参数已知时样本数据的变化规律
本章将学习两类统计推断方法：置信区间估计与假设检验
基于样本数据分别刻画参数估计的不确定性和对科学假设的判断
置信区间估计
统计信心
统计推断：是基于样本统计量对总体参数作出统计学结论
需解决的问题：当我们用样本均数取直接估计总体均数时，到底有多大的信心认为该结论是正确的？
在学习这两种统计推断方法的过程中，一般会因数据类型的不同而有不同的计算公式，但核心思想是一样的。为避免繁杂的计算而掩盖统计推断的基本逻辑和核心思想，我们以总体方差已知的情形为例，叙述推断总体均数的过程
第七章将介绍总体方差未知时如何操作
如果直接用样本均数来估计总体均数而不考虑抽样误差，这种估计的意义不大。一个准确的估计值关注的重点在于样本抽样分布的集中位置，而变异则是由样本抽样分布的离散程度表示
思想
如果总体平均身高的均值为μ，标准差为σ，那么根据第五章统计量抽样分布的知识，以样本量为n重复抽样所得的样本均数X-应服从N（μ，σ^2/n）
当抽样次数很大的时候，抽样分布近似服从正态分布，意味着抽样分布其实损失了总体分布的形态
根据第四章正态分布的3σ法则：样本均数X-这个随机变量将有95%的可能性在总体均数μ±2[σ/根号n]
事件{样本均数X-这个随机变量将有95%的可能性在总体均数μ±2[σ/根号n]}等价于事件{X-±2[σ/根号n]区间有95%的概率包含μ}
点估计：直接用样本哦统计量作为总体参数的估计值
区间估计：按一定的概率或可信度（95%），用一个区间估计总体参数所在的范围，这个范围称作可信度为95%的置信区间。
95%置信度
100次抽样结果的100个95%置信区间中，平均而言有95个置信区间包含了真实的总体均数
置信区间
估计值±误差范围
估计值是对未知总体参数的推测；误差范围与估计值的变异程度有关，反映了估计的准确程度
实际上我们并不知道μ的真实值，但是经过大量的抽样，可以推断这些抽样的置信区间中有多大比例包含了总体均数μ
特点
置信区间（a，b）中的a与b均由样本数据计算而得
置信区间包含未知总体参数的可能性可以理解为置信度
已知σ时μ的置信区间
1、前提：当总体分布服从时，样本均数服从正态分布 2、对于一个观察到的样本，μ的置信度为C的置信区间为，其中为μ的估计值，为误差范围 3、z'与C的关系为C越大，则z'越大。不同的z'所对应的C： z’-- C 1.64 -- 90% 1.96 -- 95% 2.58 -- 99%
1、前提：基于样本均数的抽样分布（第五章），当总体分布服从N（μ，σ^2）时，样本均数服从正态分布N（μ，σ^2/n）
2、对于一个观察到的样本，μ的置信度为C的置信区间为（x-）±（z'σ/根号n），其中x-为μ的估计值，（z'σ/根号n）为误差范围
3、z'与C的关系为C越大，则z'越大。不同的z'所对应的C：
z’-- C 1.64 -- 90% 1.96 -- 95% 2.58 -- 99%
在3σ法则中，计算95% 置信区间时z'为2，而此处使用了更为精确的数字1.96
置信区间的误差范围
1、当确定了置信度时，误差范围也随之改变
2、高置信度与较小的误差范围是较为理想的结果
3、高置信度=结果的准确性高，误差范围较小是指结果精确性高
注意：单纯追求高置信度时没有意义的，要兼顾误差范围
4、当所得到的置信区间误差范围（z'σ/根号n）较大时，可使用以下方法来减小：
选择较低的置信度，从而得到更小的z’（当n和σ不变时）
选择更大的样本量n（当置信度固定）
减小σ
σ反映的时总体的变异程度，可以在进行仪器测量时，通过调整仪器的精度从而得到更加精准的测量值
有时在实际应用中，可以通过限定研究总体来减小σ，如只研究某个亚群
置信区间与样本量
1、合理的研究设计应该在收据收集前先确定好统计推断方法，确定足够的样本量可使后期置信区间的误差范围较小
2、如果预期得到的误差范围为m，则可得简单随机抽样的样本量计算公式如下
3、实际应用中，样本大小的选择，除了上述公式计算结果外，还应考虑其他因素：数据收集过程所花费的成本等，确保研究方案实施的可行性；部分被调查者不配合导致无应答率，数据质量不合格等
注意事项/适用条件
1、公式不适用所有抽样方法，不同的抽样方法需采用不同的均数置信区间估计方式 2、数据须来自相应总体的简单随机抽样，个体间相互独立是使用上述估计公式的前提 3、对于来自随意收集且偏倚较大的数据，没有恰当的方式进行统计推断，统计分析无法拯救糟糕的数据 4、由于样本均数的稳定性不高，易受到异常值影响，所以相应置信区间的计算会受到较大影响。因此，在计算置信区间之前需要找出异常值，并尝试校正或剔除。如异常值无法剔除，可应用对异常值不太敏感的方法（如第一章第五节的方法） 5、如果样本量较小且总体并非正态分布，实际得到的置信度可能与理论置信度不同，因此，在计算前应先检查数据是否服从正态分布 6、公式是事先假定总体标准差σ已知，实际研究中很可能无法得到总体标准差σ。当样本量较大时，可选用样本标准差s估计σ，对应置信区间可用公式近似估计（详见第七章） 7、实际操作中的问题（如失访与无应答）会给抽样研究带来额外的误差，这些误差可能比随机抽样误差大得多，并且研究结果中这些误差并不能被误差范围所影响 8、基于上述简单随机抽样得到学生身高的95%置信区间为168.24至168.76，但并不意味着总体均数有95%的概率在168.24至168.76之间。在一次特定抽样与置信区间计算完成后，随机性就不存在了。真实的总体只能是在或不在168.24至168.76之间。统计推断的概率是指该方法重复进行的正确频率，即100次抽样中，平均而言95%置信区间有95次包含了总体均数，但不知道某一次结果的正确性 9、置信区间还需考虑所有统计方法均需注意的问题
1、公式（x-）±（z'σ/根号n）不适用所有抽样方法，不同的抽样方法需采用不同的均数置信区间估计方式
2、数据须来自相应总体的简单随机抽样，个体间相互独立是使用上述估计公式的前提
3、对于来自随意收集且偏倚较大的数据，没有恰当的方式进行统计推断，统计分析无法拯救糟糕的数据
4、由于样本均数的稳定性不高，易受到异常值影响，所以相应置信区间的计算会受到较大影响。因此，在计算置信区间之前需要找出异常值，并尝试校正或剔除。如异常值无法剔除，可应用对异常值不太敏感的方法（如第一章第五节的方法）
5、如果样本量较小且总体并非正态分布，实际得到的置信度可能与理论置信度不同，因此，在计算前应先检查数据是否服从正态分布
6、公式（x-）±（z'σ/根号n）是事先假定总体标准差σ已知，实际研究中很可能无法得到总体标准差σ。当样本量较大时，可选用样本标准差s估计σ，对应置信区间可用公式（x-）±（z's/根号n）近似估计（详见第七章）
7、实际操作中的问题（如失访与无应答）会给抽样研究带来额外的误差，这些误差可能比随机抽样误差大得多，并且研究结果中这些误差并不能被误差范围所影响
8、基于上述简单随机抽样得到学生身高的95%置信区间为168.24至168.76，但并不意味着总体均数有95%的概率在168.24至168.76之间。在一次特定抽样与置信区间计算完成后，随机性就不存在了。真实的总体只能是在或不在168.24至168.76之间。统计推断的概率是指该方法重复进行的正确频率，即100次抽样中，平均而言95%置信区间有95次包含了总体均数，但不知道某一次结果的正确性
总体待估计参数以一定的概率落在置信区间内（×）
总体待估计参数是确定值，是客观不变的，落在某个区间内的概率非0即1
理解概率的含义
度量事件发生可能性大小的数量指标
未发生的事件
大量重复试验
置信区间描述的是方法的准确性
9、置信区间还需考虑所有统计方法均需注意的问题
假设检验
定义：假设检验中的假设是指我们对总体特征（如参数、分布）的某种推测，从而用概率来判断样本数据所提供的信息和我们对总体特征猜想的一致性，进而结合专业只是判断这一猜想的正确性
假设检验的基本思想
关键点
1、都是从总体均数是否存在差异这个问题开始。均试图回答两个总体均数是否存在差异，换言之，即两个总体均数差值是否等于0
2、都是用样本均数差值与假设总体均数相差0（即两个总体均数没有差异 ）进行比较
3、都是用概率来表示比较的结果
基本思想
假设检验采用了小概率反证法思想
小概率思想：是指小概率事件（一般指概率小于等于0.05）在一次实验中基本不会发生
反证法思想：是先提出待检验的假设，如果样本信息不支持该假设，就拒绝该假设
结合抽样分布
假设检验过程中，概率是在假设两个总体均数没有差异的前提下利用样本数据得到的
当结论未否定假设时，不能说明假设一定成立，只能说明根据抽样数据所计算出来的概率没有达到事先规定的小概率事件（检验水准）
类似司法实践中的无罪推定原则：在证实被告有罪之前先假定被告无罪，如果在合理的推测下，没有足够的证据证明被告有罪，则认为被告无罪，但认为被告无罪并不意味着被告一定无辜，而只是表示目前尚没有足够的证据证明其有罪
基本步骤
建立检验假设，确定检验水准
零假设与备择假设
零假设
1、假设检验中，被用来检验的假设称为零假设。通常表述为”没有差异“或”无效“，常用符号H0表示
2、零假设时在我们没有证明某现象之前作出的保守推测
3、在假设检验过程中，被检验的假设H0或者被拒绝，或者未被拒绝。如果未被拒绝，这意味着样本信息没有提供足够的证据拒绝H0；如果被拒绝，则说明样本信息不支持H0。从逻辑上讲，这就更有利于另一个与零假设有联系而相互对立的”假设“，通常称其为”备择假设“，常用符号H1表示
备择假设
1、与零假设有联系而相互对立的”假设“，通常称其为”备择假设“，常用符号H1表示
2、在现实研究中，H1描述的往往是我们希望看到的结果。但是，正确描述H1常常是比较困难的，特别是在确定H1应该是单侧还是双侧检验问题的时候，经常需根据研究目的和专业知识加以确定
3、单侧检验不仅考虑有无差异，而且还考虑差异的方向。对同一数据作单侧检验时，比双侧检验更容易获得拒绝H0的结果。因此，在实际研究中，如果没有专业背景知识说明的情况下，采用双侧检验较为保守
α与P值
检验水准
1、它是人为规定的。表示拒绝实际上成立的H0的最大允许概率。常用符号α表示
2、α=0.05时，表示如果真实情况是H0成立，我们根据样本信息错误拒绝H0的概率不超过5%
3、表示如果真实情况是H0成立，我们根据样本信息错误拒绝H0的概率不超过5%
P值
1、定义：在H0成立的条件下，计算现有样本统计量以及更极端情况的概率，称为假设检验的P值
条件概率
2、计算P值的关键是检查检验统计量的抽样分布，其更详细的讨论见第五章，而对于本节所讨论的问题，只涉及服从标准正态分布Z的统计量
检验统计量的选择与计算
根据样本均数的抽样分布来确定
1、假设检验是根据检验统计量对设立的待检验假设作出判断，通常情况下检验统计量与利用置信区间估计总体参数所采用的统计量相同
2、为了方便讲述，我们将H0所假设的总体参数称为假设检验值。如果根据样本得到的参数估计值（简称估计值）与假设检验相差很远，则样本信息与H0不一致程度很高
3、检验统计量是对估计值与假设检验值之间的差异进行标准化转化，从而评估总体参数之间是否存在差异，通常情况下，在两组均数的差异性检验中，检验统计量的计算形式如下：
（估计值的标准误就是样本的抽样误差）
本章值只涉及标准正态分布的Z统计量
4、如果比值较大，说明样本抽样误差不足以解释总体参数估计值与假设检验值差异的原因，因此推断总体参数与假设检验值存在差异，因而拒绝H0。如果比值较小，表明总体参数估计值与假设检验值的差异在样本抽样误差可以解释的范围内，因此不能推断总体参数与假设检验值存在差异，因而不拒绝H0
5、检验统计量用来测量H0与样本信息的一致性，它是一个随机变量，其分布是已知的，我们根据这个分布来计算其概率
计算P值，作出统计推断
1、若P≤α，按照α水准拒绝H0，接受H1，可以认为总体参数之间的差异有统计学意义
2、若P＞α，按照α水准不拒绝H0，尚不能认为总体参数之间的差异有统计学意义。 （但不能说接受H0），对于两总体均数相同这一结论无任何概率保证
注意
教材中的说法不严谨：两总体参数要么相同要么不同，差异是否有统计学意义，指的是两样本之间的差异
不拒绝H0不等于接受H0，因为证据不足！
假设检验与置信区间的区别与联系
联系
1、都属于统计推断方法
2、通常情况下，置信区间估计总体参数所采用的统计量与假设检验的检验统计量相同。对于同一个样本数据，若假设检验的结果是P≤α，则其按照相应置信度C的置信区间必定不包括H0所定的参数范围，反之亦然
都是基于同一个抽样分布
3、双侧检验时，置信区间确定的z'与检验水准α确定的检验统计量分布的界值相同，因此，在双侧检验时C=1-α
区别
1、置信区间估计用于推断总体参数所在范围，而假设检验用于推断总体参数之间是否不同
2、置信区间还可以提供假设检验所不能提供的信息，置信区间在回答差别有无统计学意义时，还可以提示差别是否具有实际意义
相应差异具有统计学意义
（a）提示差异具有实际意义
（b）提示可能具有实际意义
（c）提示实际意义不大
相应差异无统计学意义
提示可能样本量不足
误差范围过大
属于可以接受零假设的情况
3、置信区间与假设检验相辅相成。两者结合，可以提供更为全面的统计推断信息，因此，研究论文在报告假设检验结论的同时，需要报告相应的置信区间估计结果。
假设检验的正确使用（补充）
选择合适的检验水准
1、假设检验需要给出一个”明确“的结论，拒绝或是不拒绝零假设H0
2、如果拒绝H0，P值其实衡量了基于样本所提供的证据来拒绝零假设的可信程度
3、但是”有统计学意义“和”无统计学意义“之间没有严格的界限。同时报告P值和是否拒绝H0，可以基于数据下一个更好的结论。如P=0.0512时，该值没有达到检验水准α=0.05，但是基于P值提供的信息可知，该结果仅和这个标准有毫厘之差。这就提示，如果该研究问题很重要，我们应再设计一个更加科学的研究来进一步探索或验证它
4、根据研究目的确定
统计学意义并不意味着具有实际的专业意义
1、当一个零假设（”无差异“或”无效应"）在常用的检验水准α=0.05情况下被拒绝，这表明是有效应存在的。但是这个效应可能十分微弱。在大样本条件下，有时尽管只有十分微小的差异，但该差异也会有统计学意义
2、为避免过分关注P值，我们还需注重结果的专业意义
不要忽略无统计学意义的结果
1、如一项易减低HIV-1感染为目的的随机干预试验中，干预组与对照组HIV-1感染率之比为1，该参数的95%置信区间为（0.68，1.58），假设检验的结果无统计学意义。基于该结果得出干预对HIV-1感染没有结果的结论可能时一种误导。置信区间提示该干预可能达到了降低37%感染的作用，同时也提示该干预可能是有害的，且可能导致58%的感染上升。我们显然需要更多的研究和数据来区别这两种可能性
2、在某些领域的研究，可能只在大样本条件下才得到很小的效应，但这个小效应可能具有很大实际意义。例如在下结论说某种新药对少部分人有危及生命的后果之前，需要从大量服用这种药的病人中收集更多的 数据，由此需要发表一些没有统计学意义的结果
3、另一方面，有时一些有实际意义的结果并没有统计学意义。有的时候，当需要花费很高的成本来收集样本时，研究者通常使用类似的小样本研究作为预实验。当条件成熟时，研究者可以再进行一个更大规模的研究
统计推断并非对所有数据有效
1、不正确的调查设计或实验设计通常无法获得有效的数据或结果，统计推断无法纠正设计本身的缺陷
2、一个常见的设计缺陷是除了研究因素的设置不同外，对比的两组不具有可比性，即存在混杂因素的影响
3、假设检验和置信区间估计是以概率理论为基础的，随机抽样或这随机化实验确保了这些规律的适用性，但通常分析的数据并非来自随机抽样或者随机实验。要对这样的数据进行统计推断，我们必须了解相应的统计分析方法
谨慎追求统计学意义
1、由于研究者对研究做统计推断的本身意义不清楚而造成
2、由于不能正确区分探索性研究和验证性研究的性质而造成
检验效能与基于决策的推断
决策推断（拒绝或接受假设）的思维方法，这将有助于理解如何保证假设检验具有足够的能力发现错误的零假设，并有助于理解统计决策理论
检验效能
检验效能：检验水准为α，H1为真时，假设检验能够拒绝H0的概率称为能发现该H1的检验效能
检验效能又称把握度，指两总体确有差异，按α检验水准能发现他们有差别的能力。用1-β表示其概率的大小
概述
1、假设检验本质上是一个决策的过程，要么拒绝H0，要么不拒绝，两种情况都有可能发生，但其可能正确也可能不正确
2、如以0.05为检验水准且H0成立，重复进行实验将会有5% 拒绝H0的决策，这5%的决策是错误的，检验水准α的意义是在此情况下提高正确决策的能力，即防止过多拒绝真实的H0
3、若H1成立，研究者还关心使用假设检验方法能够拒绝H0的能力。检验效能的意义是在此情况下提高正确决策的能力，即尽量拒绝错误的H1
计算检验效能
确定H0、H1以及检验水准
找到能拒绝H0的样本均数的取值范围（也被称为拒绝域）
μ=0
计算H1为真时样本均数位于拒绝域的概率，即发现该H1的检验效能
μ=具体值，条件概率
影响因素
检验水准α
检验水准越小（如α＜0.05），检验效能越小
即H0成立时，能提高正确决策的能力，但是假设此时H1成立，则将降低正确的决策能力
H1与H0的差异大小
差异增加，检验效能更大
样本量
样本量越大，检验效能越大
σ
σ越小，检验效能越大
假设检验水平与检验效能关系
基于决策进行推断
概述
1、在假设检验的推理框架中，由于假设检验的结论不可能接受H0，所以不存在“H0本身不成立而假设检验的结论认为其成立”这种情况。如果检验结论错误，也只可能时“H0本身成立而假设检验认为其不成立”这种错误
2、基于决策进行推断，此时决策有两种：接受H0或接受H1，必须在二者中接受其一，H0与H1的地位对等。通过抽样数据进行质量控制是基于决策推断的经典应用
两类错误的含义及关系
与本章的第二节中只有一种错误不同
1、两类错误：
Ⅰ类错误：当H0为真拒绝H0（接受H1）
Ⅱ类错误：当H1为真接受H0（拒绝H1）
2、第Ⅰ类错误的概率和第Ⅱ类错误的概率可用于评价决策过程正确的可能性
关系
α与β是反向的，当样本量一定时，α越小，β越大
反之亦然
若想同时减少α和β，只能增大样本含量
α：根据研究者要求确定 β：只有与H1结合才有意义，β值很难确切估计
α、β根据研究要求适当控制：
当n↑，α一定，β也相应减少
当n一定，选定α来控制β
若重点减少α，可取α=0.1,；若重点减少β，可取α=0.05，α也可取其他水准
实际应用中，常常通过增加n 来减少β
3、Ⅰ类错误和Ⅱ类错误是负相关的，有时我们需要考虑哪一类错误后果更严重，从而选择合适的显著性水平和检验能力
检验水准和第Ⅰ类错误
检验水准α就是犯第Ⅰ类错误的概率。也就是说，α是当零假设H0为真时，假设检验拒绝零假设的概率
检验效能和第Ⅱ类错误
固定检验水准下的检验效能就是1减去犯第Ⅱ类错误的概率。常用β表示犯第Ⅱ类错误的概率，1-β表示检验效能
两类错误其实是两回事（两种条件概率），不犯一种错误不能等于就会犯另一种错误
假设检验与基于决策的推断的区别与联系
假设检验与基于决策的推断的区别不在于计算过程，而在于推理思想
对于前者我们关注单一假设（H0），而对于后者我们关注两种假设（H0和H1）
前者的目的是衡量拒绝H0的样本证据的强弱。如果不能拒绝H0，我们的结论仅仅是尚无充分证据证明H0是错误的，而不是H0为真。此时计算检验效能是衡量假设检验的敏感性。而后者的目的是基于样本证据给出在两种假设中做抉择的依据，必须选择其中一个假设，并且不能以证据不足为由放弃选择
前者我们只关注单一概率（P值），而后者我们必须同时关注两类错误的概率，且控制两类错误的概率处于同等重要的地位
实际应用中检验的一般策略混合了基于决策的推断和假设检验的推理方法
1、使用假设检验的H1和H0的术语
2、考虑实际问题时使用基于决策的推断思想，从而可使用第Ⅰ类错误和第Ⅱ类错误的概念
3、第Ⅰ类错误的概念更加严谨，选择了α（检验水准）后假设检验的第Ⅰ类错误概率不会大于α
4、基于上一点产生的所有可能检验规则，从中选择一个使得β尽可能小的检验（即效能尽可能大的检验）（常用的方法史增加样本量）
理解统计分析的逻辑
理解能够进行统计分析的前提：样本统计量的抽样分布已知，且能够在一定程度上代表总体参数
分布形态可以求解，如Z分布、t分布、F分布、卡方分布等
呈现单峰聚集形式
理解统计分析的目标：估计总体参数（而不是总体的分布形态）
区间估计与假设检验
每一个置信区间都可以对应一种假设检验方法
进行假设检验的两种方法
1、根据检验统计量Z先计算P值，再与α进行对比
2、根据α计算拒绝域，再与检验统计量Z进行对比