微积分CII(下)

微积分下册的思维导图，主要内容有第一章向量代数与空间解析几何、第二章多元函数微分学、第三章重积分、第四章无穷级数等。

微积分(下)

• 第一章 向量代数与空间解析几何
  • 1.1向量及其运算
    • 1.1.1空间直角坐标系
      • 坐标轴 直角坐标系Oxyz O为坐标系的原点
      • 八个卦限
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      • 横坐标 纵坐标 竖坐标
      • 
    • 1.1.2向量的概念
      • 数量/标量:只有大小的量
      • 向量/矢量:既有大小,又有方向的量
      • 向量大小叫向量的模 模为0叫零向量 模为1叫单位向量
      • 如果a与b模相等 方向相同 则两个向量相等 记作a=b
      • 只讨论自由向量(与起点无关的向量)
      • 如果向量a与b同向或反向 称a与b平行 记作a//b
      • 零向量与任意向量平行
      • 原点为起点 任意点为重点的向量称为该点对于O的向径 常用r表示
    • 1.1.3向量的线性运算
      • 加法
        • 平行四边形与三角形法则
        • 交换律 结合律 a+(-a)=0
      • 数乘
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        • 定理1.1.1 设有向量a与b 且a≠0 则a ⫽ b的充要条件是存在实数入 使b=入a
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    • 1.1.4向量的坐标
      • 向量的坐标
        • 在空间直角坐标系中 记ijk分别是xyz三个轴同方向的单位向量 称为Oxyz坐标系下的基本单位向量
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      • 向量的模及方向余弦的坐标表示
        • 非零向量a与x轴y轴z轴正方向之间的夹角阿尔法贝塔伽玛称为方向角(0-180)方向角的余弦成为方向余弦
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      • 向量线性运算的坐标表示
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    • 1.1.5向量的乘积运算
      • 向量的数量积(点乘)
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      • 向量的向量积(叉乘)
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      • 向量的混合积(a叉乘b再点乘c)
  • 1.2平面与直线
    • 1.2.1平面
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      • 平面的点法式方程
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      • 平面的一般方程
        • Ax+By+Cz+D=0法向量n=(A,B,C)
          • 三元一次方程的图形是平面
        • 几种特殊情况
          • D=0 平面通过坐标原点
          • A=0
            • D=0 平面通过x轴
            • D≠0 平面平行于x轴
            • 类似可以讨论B=0 C=0
          • A=B=0 平面平行于xoy坐标面 类似地可以讨论A=C=0 B=C=0
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      • 两平面的夹角
        • 两平面的法向量夹角称为两平面的夹角 一般不取钝角
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      • 点到平面的距离
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    • 1.2.2直线
      • 方程
        • 一般方程
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        • 对称式方程
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        • 参数式方程
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      • 两直线间的位置关系
        • 两直线的夹角
      • 直线与平面的位置关系
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  • 1.3曲面与曲线
    • 1.3.1柱面与旋转曲面
      • 柱面:平行于定直线L的直线沿定曲线C移动所形成的曲面成为柱面定曲线C为柱面的准线 动直线为柱面的母线
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      • 
      • 
      • 这种曲面称为圆锥面
    • 1.3.2二次曲面
      • 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 可以用坐标面及平行于坐标面的平面与其相截 考察截痕形状 从而了解曲面形状
      • 椭球面 旋转椭球面 球面
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      • 椭圆锥面
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      • 双曲面
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      • 抛物面
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    • 1.3.3曲线方程
      • 空间曲线的一般方程
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      • 空间曲线的参数方程
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      • 空间曲线在坐标面上的投影
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• 第二章 多元函数微分学
  • 2.1多元函数的基本概念
    • 2.1.1平面点集
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    • 2.1.2多元函数
      • n元函数的定义
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      • 二元函数的几何图形
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    • 2.1.3多元函数的极限和连续性
      • 二元函数的极限
        • 
      • 二元函数的连续性
        • 
  • 2.2偏导数和全微分
    • 2.2.1偏导数
      • 偏导数的定义
        • 
      • 偏导数的几何意义
        • 
      • 函数的连续性与可偏导性的关系
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    • 2.2.2高阶偏导数
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    • 2.2.3偏导数在经济分析中的应用
      • 边际分析
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      • 弹性分析
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    • 2.2.4全微分
      • 定义
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      • 函数可微性条件
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      • 全微分在近似计算中的作用
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  • 2.3复合函数和隐函数微分法
    • 2.3.1复合函数的微分法
      • 链锁规则
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        • 由于函数可微的充分条件是其偏导数连续 所以可以在函数有连续偏导数的条件下来应用锁链规则
        • 可以通过反复运用锁链规则来求复合函数的高阶偏导数
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      • 一阶全微分的形式不变性
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    • 2.3.2隐函数的微分法
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  • 2.4多元函数的极值问题
    • 2.4.1多元函数的极值问题
    • 2.4.2条件极值问题
• 第三章 重积分
  • 3.1二重积分
    • 3.1.1二重积分的概念
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    • 3.1.2二重积分的性质
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    • 3.1.3在直角坐标系下计算二重积分
    • 3.1.4在极坐标系下计算二重积分
    • 3.1.5反常二重积分
  • 3.2三重积分
    • 3.2.1三重积分的概念和性质
    • 3.2.2在直角坐标系下计算三重积分
      • 先一后二法
      • 先二后一法
    • 3.2.3在柱面坐标系和球面坐标系下计算三重积分
      • 利用柱面坐标计算三重积分
      • 利用球面坐标计算三重积分
  • 题型
    • 多元函数的极值问题
    • 条件极值问题
• 第四章 无穷级数
  • 无穷级数是表示和研究函数乃至进行数值计算的重要数学工具 与微积分一起构成高等数学的基础 包括常数项级数与函数项级数两大类
  • 4.1常数项级数及其性质
    • 4.1.1常数项级数的概念
      • 定义4.1.1设给定数列｛un｝将表达式u1+u2+...+un+...称为常数项无穷级数 简称常数项级数或级数 记作如图 其中un成为级数的第n项或通项
      • 级数是一种无限项和的形式 如果按着普通加法的规律 把它一项不漏地从头到尾加起来是办不到的
      • Sn=u1+u2+...+un称为级数前n项部分和 数列{Sn}称为部分和数列
      • 随着n的增大 Sn中un的项也就跟着增多 所以当n趋于无穷大时 Sn的变化趋势也就反映了无穷多项相加的变化趋势 这样就可以通过级数的部分和的极限来研究无穷多项相加的变化趋势
      • 定义4.1.2如果级数的部分和数列{Sn}有极限S即limn→∞Sn=S 则称级数收敛 S为级数的和 如果Sn的极限不存在 则称级数发散 发散的级数没有和
      • 当级数收敛时 其部分和Sn是级数的和S的近似值 此时称S-Sn为级数的余项记作rn 即rn=S-Sn=[U(n+1)]+...+[U(n+k)]+...
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    • 4.1.2无穷级数的基本性质
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  • 4.2常数项级数收敛性判别法
    • 4.2.1正项级数及其判别法
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    • 4.2.2交错级数及其判别法
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    • 4.2.3绝对收敛与条件收敛
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    • 比较判别法 比值判别法
  • 4.3函数项级数
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  • 4.4幂级数
    • 4.4.1幂级数及其收敛域
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    • 4.4.2幂级数的运算与性质
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  • 4.5函数的幂级数展开
    • 4.5.1Taylor级数
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    • 4.5.2函数的幂级数展开步骤
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  • 4.6Taylor级数的应用
    • 4.6.1函数值的近似计算
    • 4.6.2求积分的近似值
  • 题型
    • 级数敛散性判定
• 第五章 微分方程
  • 5.1 微分方程的基本概念
    • 5.1.1几个具体例子
    • 5.1.2微分方程的概念
  • 5.2 一阶微分方程
    • 5.2.1可分离变量的微分方程
    • 5.2.2齐次方程
    • 5.2.3准齐次方程
    • 5.2.4一阶线性微分方程
  • 5.3 可降阶的高阶微分方程
  • 5.4 高阶线性微分方程及其通解结构
    • 5.4.1二阶齐次线性微分方程的通解结构
    • 5.4.2二阶非齐次线性微分方程的通解结构
  • 5.5 二阶常系数齐次线性微分方程
    • 5.5.1特征方程具有两个不向等的实根
    • 5.5.2特征方程具有两个相等的实根
    • 5.5.3特征方程具有一对共轭的复根
  • 5.6 二阶常系数非齐次线性微分方程
  • 5.7 Euler方程
  • 5.8 常系数线性微分方程组的解法举例
  • 5.9 微分方程在经济学中的应用举例
• 第六章 差分方程
  • 6.1 差分的概念
    • 6.1.1差分的概念
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      • 定义6.1.1设函数y=f(x) 当自变量x依次取遍非负整数时 相应的函数值可以排成一个数列f(0),f(1),f(2),···f(x),f(x+1)将其简记为y0,y1,y2,···,yx,yx+1,···即yx=f(x)(x=0,1,2,···)当自变量从x变到x+1时 相应的函数改变量yx+1与yx的差称为函数y在x点的步长为1差分 简称为差分 记作Δyx即Δyx=yx+1 -yx(x=0,1,2,···)Δyx也称为y在x点的一阶差分
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    • 6.1.2高阶差分
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      • 对于n次多项式 它的一阶差分是n－1阶多项式 它的n阶差分为常数 而n阶以上的差分为0
  • 6.2 差分方程的概念
    • 6.2.1差分方程
    • 6.2.2常系数线性差分方程通解的结构
  • 6.3 一阶常系数线性差分方程
    • 6.3.1一阶常系数齐次线性差分方程的求解方法
    • 6.3.2一阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法
  • 6.4 二阶常系数线性差分方程
    • 6.4.1二阶常系数齐次线性差分方程的求解方法
    • 6.4.2二阶常系数非齐次线性差分方程的求解方法