第四章 机械振动 机械波

大学物理简明教程（第4版）第四章 机械振动 机械波 主要有机械波的形成和传播、平面简谐波的波动方式、波的能量、惠更斯原理 波的叠加和干涉以及驻波。

第四章 机械振动 机械波

• 机械波的形成和传播
  • 振动在空间的传播过程叫做波动 机械振动在连续介质内的传播叫做机械波
  • 常见的波
    • 机械波
    • 电磁波
    • 物质波（微观领域）
  • 各类波在传播中具有共性
    • 各种类型的波有其特殊性，但都具有: 叠加性，都能发生干涉和衍射现象类似的波动方程
  • 机械波的产生条件
    • ①有作机械振动的物体，即波源 ②有连续的介质
  • 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。
    • 弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力； 液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。
  • 机械波向外传播的是波源(及各质点)的振动状态和能量
  • 横波和纵波
    • 横波：振动方向与传播方向垂直的波（只能在固体中传播 ） 特征：具有交替出现的波峰和波谷
    • 纵波：质点振动方向与波的传播方向平行的波（能在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部
    • 横波在介质中传播时，只有固体能承受切变，因此横波只能在固体中传播 纵波在介质中就形成稠密和稀疏的区域，故又称为疏密波。纵波可引起介质产生容变固体、液体、气体都能承受容变，因此纵波能在所有物质中传播
  • 波线和波面
    • 波场: 波传播到的空间
    • 波线(波射线) : 代表波的传播方向的射线
    • 波面: 波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹
    • 波前(波阵面): 某时刻波源最初的振动状态传到的波面
    • 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直 沿波线方向各质点的振动相位依次落后
  • 简谐波
    • 波源以及介质中各质点的振动都是谐振动 任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加
  • 描述波动的几个物理量
    • 1.波速 u
      • 振动状态(即位相)在单位时间内传播的距离，波速又称相速
      • 在固体媒质中横波波速为
      • 在固体媒质中纵波波速为
      • G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 ρ为介质的密度
      • 在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些
      • 在弦中传播的横波波速为:
        • T为弦中张力，μ为弦的线密度
      • 在液体和气体只能传播纵波，其波速为：
        • B为介质的容变弹性模量 ρ为密度
      • 理想气体纵波声速:
        • γ为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量， T为热力学温度， R为气体的普适常数，ρ为气体的密度
    • 2.波动周期和频率
      • 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示
      • 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用ν表示
    • 3.波长λ
      • 同一波线上相邻的位相差为2π 的两质点的距离
• 平面简谐波的波动方式
  • 在平面简谐波中，波线是一组垂直于波面的平行射线，因此可选任一波线上任一点的振动方程来研究平面波的传播规律
  • 一、平面简谐波的函数
    • 1、一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播
    • 2.沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数
  • 二、波函数的物理意义
• 波的能量
  • 一、波的能量和能量密度
    • 平面简谐波
      • 在x处取一体积元dV, 质量为 dm=ρdV
        • 质点的振动速度
        • 体积元内媒质质点动能为
        • 体积元内媒质质点的弹性势能为
    • 1.波的能量
      • 体积元内媒质质点的总能量为：
      • 说明
        • (1) 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零
        • (2)在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒
      • • 横波在绳上传播时 体积元在平衡位置Q时，相对形变量最大，弹性势能也为最大；此时动能也最大。 体积元在最大位移P时，相对形变为零 ，弹性势能亦为零；此时动能等于零。
    • 2.能量密度
      • 单位体积介质中所具有的波的能量
      • 平均能量密度: 一个周期内能量密度的平均值
  • 二、波的能流和能流密度
    • 1.能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量
      • 平均能流：在一个周期内能流的平均值
    • 2. 能流密度(波的强度)
      • 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量
      • 单位：瓦·米－2
    • 3.平面波和球面波的振幅
      • 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
      • 对平面波
        • 在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
        • • 所以,平面波振幅相等
      • 对球面波
        • • 所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A 则距波源r 处的振幅为A/r
          • 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：
  • 三、波的吸收
    • 波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱
• 惠更斯原理 波的叠加和干涉
  • 一、惠更斯原理
    • 介质中波阵面(波前)上的各点都可以看做是发射子波的波源。其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面
  • 二、波的叠加原理
    • 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性(频率、波长、振动方向、传播方向等)不变，与各波单独传播时一样；而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成
    • 说明
      • (1) 波的叠加与振动的叠加是不完全相同的 (2) 波的叠加原理与波动方程为线性微分方程是一致的
  • 三、波的干涉
    • 两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则在合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱(或完全抵消)，这种现象称为波的干涉
    • 1.相干条件
      • 频率相同 振动方向相同 位相差恒定 相干波源: 满足相干条件的波源
    • 2.波场中的强度分布
• 驻波
  • 驻波是两列振幅相同、相向传播的相干波的叠加称为驻波
  • 一、驻波方程
    • 设两列相向传播的波在原点位相相同
    • 两波相遇，其合成波为
      • • • 函数不满足
            • 不具备传播的特征,它不是行波
              • 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。
  • 二、驻波的特点
    • 1.波腹与波节　驻波振幅分布特点
      • 振幅极大: 波腹位置
      • 振幅为0: 波节位置
      • 相邻波节(波腹)间距 λ/2
    • 2.驻波位相的分布特点
      • 相邻两波节间各点振动位相相同 波节两边各点振动位相相反
  • 三、半波损失
    • 波阻(波的阻抗): 是指介质的密度与波速之乘积 z =ρu
      • z大 — 波密媒质 z小 — 波疏媒质（相对而言）
    • 1.若 ρ1u1 > ρ2u2 ,即波密->波疏
      • 若忽略透射:
        • 反射波和入射波同相
    • 2.若 ρ1u1 < ρ2u2 ,即波疏->波密
      • 若忽略透视：
        • 反射波有相位突变π——半波损失