人教版五年级数学（上） 全册思维导图

思维导图涵盖人教版五年级数学上册第一至第七单元的主要知识点，可用于平时复习，亦可用于期中和期末总复习。

人教版五年级数学上

• 小数乘法 第一单元
  • 1. 计算法则
    • （1） 末位对齐，先按整数乘法算出积，再给积点上小数点。
    • （2） 当乘得的积的小数位数不够时，要在前面用 0 补足，再点小数点。点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  • 2. 运算定律
    • （1） 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。
    • （2） 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式：a×b=b×a
    • （3） 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。 公式：(a×b)×c=a×(b×c)
    • （4） 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 公式：(a+b)×c=a×c+b×c (a−b)×c=a×c−b×c
    • （5） 4×25=100 8×125=1000 8×25=200
  • 3. 乘法规律
    • （1） 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于原来的数。 字母表示：a×b=c，当b = 1时，c=a
    • （2） 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原来的数。 字母表示：a×b=c，当b < 1时，c<a
    • （3） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原来的数。 字母表示：a×b=c，当b > 1时，c>a
    • （4） 一个因数扩大多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
    • （5） 一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也扩大（或缩小）多少倍。
  • 4. 积的近似数
    • （1） 在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉。
    • （2） 四舍五入法：求一个数的近似数，主要是看它省略的最高位上的数，是小于5，大于5，还是等于5。如果省略的尾数最高位上的数是4或比4小，把尾数都舍去。如果省略的尾数最高位上的数是5或比5大，把尾数省略后向前一位进一。
• 位置 第二单元
  • 1. 行和列
    • 通常把竖排叫做列，横排叫做行。列数一般从左往右数，行数一般从前往后（或从下往上）数。
  • 2. 数对
    • 用数对表示位置时，先写列数，后写行数，两个数之间用逗号隔开，然后用括号把它们括起来。
  • 3. 确定位置
    • 用数对表示方格纸上物体的位置时，要先看物体在哪一列、哪一行，再根据列数及行数写出相应的数对。
• 小数除法 第三单元
  • 1. 除数是整数的小数除法
    • （1） 计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法法则去除，且商的小数点一定要与被除数的小数点对齐。
    • （2） 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除。同时注意商的小数点要与被除数的小数点对齐。
    • （3） 如果被除数的整数部分不够除，商“0”，点上小数点继续往下除；如果除到哪一位不够除，就在那一位上写“0”占位。
    • （4） 验算方法
      • 商×除数=被除数
      • 被除数÷商=除数
  • 2. 除数是小数的计算方法
    • （1） 看除数中一共有几位小数，先向右移动除数的小数点，使它变成整数
    • （2） 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用“0”补足。
      • 
    • （3） 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
  • 3. 商的近似数
    • （1） 求商的近似数时，计算到比保留的小数位数多一位，再将最后一位“四舍五入”。
    • （2） 四舍五入法：求一个数的近似数，主要是看它省略的最高位上的数，是小于5，大于5还是等于5。如果省略的尾数最高位上的数是4或比4小，把尾数都舍去。如果省略的尾数最高位上的数是5或比5大，把尾数省略后向前一位进一。
    • （3） 进一法：在实际问题中，有时把一个数的尾数省略后，不管位数最高位商的数是几，都要向它的前一位进1。例如：装油、装水
    • （4） 去尾法：在实际问题中，有时把一个数的尾数省略后，不管位数最高位商的数是几，都不需要向它的前一位进1。例如：包装礼盒、做衣服
    • （5） 取近似数时，一种是按照要求去取，一种是按照实际情况去取。取近似数时，近似数的末尾如果有0，末尾的0不能去掉。
    • （6） 计算钱数，保留两位小数，表示计算到分；保留一位小数，表示计算到角。若未明确说明，通常保留两位小数。
  • 4. 小数的分类（按小数位数）
    • 有限小数
      • 小数部分位数有限的小数，叫做有限小数。
    • 无限小数
      • 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
      • 循环小数
        • （1） 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
        • （2） 循环节
          • 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：5.3333…的循环节是3。
          • 写循环节时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
        • （3） 纯循环小数
          • 循环节从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数
        • （4） 混循环小数
          • 循环节从小数部分第一位以后开始的循环小数，称为混循环小数
        • （5） 循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数。
      • 不循环小数（今后会学习）：如：π
• 可能性 第四单元
  • 确定性与不确定性
    • 确定性
      • 在一定条件下，一些事情的结果是可以预知的，具有确定性，确定事件的结果可以用“一定”或“不可能”来描述。
    • 不确定性
      • 一些事件的结果是不可预知的，具有不确定性，不确定事件的结果可以用“可能”或“不一定”来描述。
  • 可能性的大小
    • 事件发生的可能性有大有小。
    • 事件发生可能性的大小与数量有关，可能性越大，在总数中所占数量越多；可能性越小，所占数量越少。
• 数学广角 植树问题 第七单元
  • 不封闭路线
    • 不封闭路线通常是指植树的路线是一条线段
    • 两端都栽
      • 棵数=间隔数＋1
      • 总距离÷株距=间隔数 总距离=株距×棵数 棵数=总距离÷株距＋1 株距=总距离÷（棵数－1）
    • 只栽一端
      • 棵数=间隔数
      • 总距离÷株距=间隔数 总距离=株距×棵数 棵数=总距离÷株距 株距=总距离÷棵数
    • 两端都不栽
      • 棵数=间隔数－1
      • 总距离÷株距=间隔数 总距离=株距×棵数 棵数=总距离÷株距－1 株距=总距离÷（棵数＋1）
  • 封闭路线
    • 封闭路线是指植树的路线是一条首尾相接的封闭曲线
    • 棵数=间隔数
    • 总距离÷株距=间隔数 总距离=株距×棵数 棵数=总距离÷株距 株距=总距离÷棵数
    • 圆
      • 正方形
• 多边形的面积 第六单元
  • 组合图形的面积
    • 由两个或两个以上的简单图形组成的图形叫做组合图形。
    • 组合图形的面积可以看成几个简单图形的面积和，也可以看成几个简单图形的面积差。
    • 求组合图形的面积时，可以先把它分割（或添补）成我们学过的简单图形，如长方形，正方形，三角形，平行四边形，梯形等，算出各个面积，然后相加（或相减），就是组合图形的面积。
    • 估算不规则图形的面积
      • 求不规则图形面积时，可以先通过数方格确定面积的范围，再将不满一格的都按半格算，估算出面积；也可以把不规则图形转化为学过的图形来估算。
      • 不规则图形的面积都不是准确值，而是一个近似值。
  • 长方形
    • 文字公式：周长=(长+宽)×2 面积=长×宽
    • 字母公式：C=2(a+b) S=ab
    • 变形公式
      • 文字公式：长=周长÷2−宽 宽=周长÷2−长 长=面积÷宽 宽=面积÷长
      • 字母公式：a=C÷2−b b=C÷2−a a=S÷b b=S÷a
  • 正方形
    • 文字公式：周长=边长×4 面积=边长×边长
    • 字母公式：C=4a S=a×a
    • 变形公式
      • 文字公式：边长=周长÷4
      • 字母公式：a=C÷4
  • 三角形
    • 文字公式：面积=底×高÷2
    • 字母公式：S=ah÷2
    • 变形公式：
      • 文字公式：底=面积×2÷高 高=面积×2÷底
      • 字母公式：a=2S÷h h=2S÷a
  • 平行四边形
    • 文字公式：面积=底×高
      • 底和高要对应
      • 单位要统一
    • 字母公式：S=ah
    • 变形公式：
      • 文字公式：底=面积÷高 高=面积÷底
      • 字母公式：a=S÷h h=S÷a
  • 梯形
    • 文字公式：面积=(上底+下底)×高÷2
    • 字母公式：S=(a+b)×h÷2
    • 变形公式：
      • 文字公式：下底=面积×2÷高−上底 上底=面积×2÷高−下底 高=面积×2÷(上底+下底)
      • 字母公式：a=2S÷h−b b=2S÷h−a h=2S÷(a+b)
• 简易方程 第五单元
  • 1. 用字母表示数
    • （1） 用字母表示加减的数量关系
      • 用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系
      • 用字母表示数时，字母可以代表不同的数，但在同一问题中，不同的量必须用不同的字母表示。
      • 当字母的取值确定时，对应的含有字母的式子的值也随之确定。
    • （2） 用字母表示乘除的数量关系
      • 在含有字母的式子里，字母的取值要符合实际情况。
      • 用字母表示数量关系的一般步骤
        • 找出文字表示的数量关系
          • 用相应字母替换文字
            • 检验是否正确
      • 易错
        • 字母与字母、字母与数字中间的乘号可以省略不写；中间的加号、减号、除号不能省略，省略乘号时，一般把数字写在字母前面。
    • （3） 用字母表示运算定律
      • 用字母表示运算定律，简明易记，便于应用。
        • 要注意运算定律中相同的量用同一个字母表示。
      • 在含有字母的是式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。例如：4×a=4·a=4a
      • 加法交换律
        • a＋b=b＋a
      • 加法结合律
        • （a＋b）＋c=a＋(b＋c)
      • 乘法交换律
        • ab=ba
      • 乘法结合律
        • (ab)c=a(bc)
      • 乘法分配律
        • (a+b)c=ac+bc (a−b)c=ac−bc
    • （4） 用字母表示计算公式
      • 计算公式也可以用字母表示
        • 长方形周长公式：C=2(a+b) 长方形面积公式：S=ab
        • 正方形周长公式：C=4a 正方形面积公式：S=a×a
      • 将数据代入字母公式求值的方法
        • 先写出字母公式，再代入数据计算，结果要写上单位名称，最后写出答语。
    • （5） 用字母表示较复杂的数量关系
      • 用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系时，可以先把字母看成一个实际的数，找出问题中的数量关系，再用含字母的式子表示出来。
      • 用形如“ax±bx”的式子表示数量关系时，可以运用乘法分配律将其简化，即ax±bx=(a±b)x。（其中x是字母，a、b既可以是字母，也可以是数）
  • 2. 方程的意义
    • （1） 含有未知数的等式叫做方程。
      • 方程必须具备两个条件，两个条件缺一不可
        • 1||| 必须是等式
        • 2||| 必须含有未知数
    • （2） 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。如：x=6是方程4+x=10的解。
  • 3. 等式的基本性质
    • （1） 等式的性质一
      • 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
    • （2） 等式的性质二
      • 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
    • （3） 所有方程都是等式，但等式不一定是方程。
  • 4. 解方程
    • 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
      • 方程的解指的是一个数值
    • 求方程解的过程叫做解方程。
      • 解方程指的是一个计算过程
    • 解方程的依据是等式的性质
    • 检验
      • 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求未知数的值就是原方程的解，否则就不是。
  • 5. 常用数量关系
    • （1）单价×数量＝总价（2）速度×时间＝路程（3）工作效率×工作时间＝工作总量 总价÷数量＝单价 路程÷时间＝速度 工作总量÷工作时间＝工作效率 总价÷单价＝数量 路程÷速度＝时间 工作总量÷工作效率＝工作时间
  • 6. 解决问题
    • （1）分析，列数量关系；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）答
      • 列方程解应用题的结果中不写单位名称，在答中所求数值后面写单位名称。
      • 实际问题中的单位不统一时，要先统一单位后再列方程。
    • 方程解法与算术解法的区别
      • 列方程解应用题时，未知数用字母表示，参加运算；算术解法中未知数不参与运算
      • 列方程解应用题是根据题中等量关系列出含有未知数的等式，求未知数由解方程来完成。算术解法是根据题中已知数和未知数之间的关系来确定解答步骤，再列式计算。