一元二次方程

这是一篇关于一元二次方程的思维导图，主要内容有定义、解—元二次方程、一元二次方程的根系关系、一元二次方程的应用。

一元二次方程

• 定义
  • 形如ax²+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0）的方程叫做一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数、c为常数项
  • 辨析条件
    • 只含有一个未知数
    • 未知数最高次数为2
    • 二次项系数不为0
  • 判断时注意将方程变为一般形式后再进行求值或判断
• 解一元二次方程
  • 直接开平方法
    • 理论依据为开平方
    • 适用于ax²=b或a（x+c）²=b的形式
    • 有根的条件为b为非负数
  • 配方法
    • 步骤
      • 1、二次项系数化为1
      • 2、常数项移到等号右侧
      • 这两个步骤可以互换顺序
      • 3、等号两边同时加上一次项系数的平方
      • 4、等号左侧做成完全平方形式
      • 5、利用直接开方法两边开方
    • 适用于二次项系数化为1之后，一次项系数为偶数的方程使用
  • 公式法
    • 求根公式为：
    • 步骤：
      • 先确定各项系数
      • 先求△=b²-4ac的值
      • 根据求值结果代入公式
    • 适用方程为系数为特殊形式的方程
    • 一元二次方程的万能解法
  • 因式分解法
    • 步骤
      • 1、将方程一端变为0的形式
      • 2、对等号左侧多项式进行因式分解
      • 3、令各个因式为0，求解未知数的值
    • 适用于可以进行因式分解的式子适用
    • 一元二次方程解法中效率最高的解法，优先考虑使用
• 一元二次方程的根系关系
  • 根的判别式
    • △=b²-4ac
    • 作用：判断一元二次方程根的情况
      • △＞0，方程有两个不相等的实数根
      • △＝0，方程有两个相等的实数根
      • △＜0，方程没有实数根
      • 仅限于判断根的数量
  • 韦达定理
    • 内容：
    • 使用条件：
      • 1、方程有根，即△≥0
      • 2、确定好各项系数
    • 作用：快速求解方程的根与方程中参数的值
    • 限制方程的根的值
• 一元二次方程的应用
  • 销售利润问题
    • 常用公式：总利润=单件商品利润×销售数量
    • 解题过程：
      • 设定适当未知数
      • 求出价格与数量之间的一次函数解析式
      • 利用利润公式进行求解
      • 根据题目条件对答案进行筛选
  • 面积问题
    • 解题技巧为利用平移确定长方形的长和宽
    • 再列方程进行求解
  • 解答题常考问题
  • 传染病模型
    • 设一个病人可以将病毒传染给X个人，经过2轮传播后，共有（1+x）²人感染病毒
  • 单双循环问题
  • 增长率降低率问题