数量关系

公考行测数量关系宝典，集大成独家秘笈，让你一举成公！包括数字推理、解题思维、基础运算、赋值法、等等。

数量关系旋律老师2021年11月1号

• 基础知识
  • 整除问题
    • 概念：一个整数除以另一个非零整数，商为整数，余数为零，就说这个整数可以被另一个整数整除。
    • 判定法则 ①被3,9整除，各位数字之和是3，9的倍数 被5整除，末尾数字是0或5 被6整除，能同时被2和3整除 被11整除，从右边数，奇数项之和与偶数项之和做差能被11整除，则能被11整除，（包括0） ②因式分解法 ③拆分法
    • 应用：1、纯整除问题，出现各位数字之和 2、与倍数特性等密切相关（选项判定） 3、列方程后通过系数能明显看出
  • 质数与合数问题
    • 概念：质数（素数）：只能被1和他本身整除 合数：除了1和它本身外，还可以被其他数整除
    • 注意：1既不是质数，也不是合数 常用：2是唯一一个是偶数的质数，其他质数都是奇数 同质合性相关的题目，一般都会考到2，一般会在奇偶特性中考到
  • 公约数与公倍数
    • 概念：几个自然数公有的约数叫公约数。 几个自然数公有的倍数叫公倍数
    • 注意：数学运算中主要考查的是最大公约数和最小公倍数，计算方法为短除法 考点：周期问题、工程问题、行程问题等
  • 数列问题
    • 基本公式： 等差数列：An = A1 +(n-1) d 等比数列：An = A1* q^(n-1) 求和公式：等差数列：Sn=n*首项+n(n-1)/2 *d 等比数列：Sn =A1 (1-q^n)/(1-q)
    • 等差数列常用结论： 若是奇数项等差数列，则平均数=等差 中项:Sn=nX等差中项 对称:Am+ An = Ap +Aq (m+n=p+q) 平均数=（首项+末项）/2
  • 函数图像
    • 函数图像是平面上所有坐标（X，f(X))的点的集合，要求根据题干所描述的数据关系判断其应该满足的函数图像，主要从四个方面考虑， （1）增减情况 （2）周期变化 （3）起点，最高点，最低点代表的含义 （4）直线变化或者曲线变化 （5）突发性上升下降、缓慢性上升下降 （6）上升下降中间点大小比较 （7）斜率比较上升陡或下降陡
  • 几何问题
    • 面积常用公式
      • 长方形面积=长*宽 正方形面积=边长*边长 三角形面积=1/2 底边*高 等边三角形面积=√3/4 边长*边长 等腰直角三角形面积 = 直角边*直角边/2=斜边*斜边/4 平行四边形面积=底边*高 菱形面积=对角线乘积的一半 圆面积=π r2(圆周长=2π*半径) 梯形面积=（a+b）h/2
    • 立体图形面积和体积公式
      • 正方体表面积=6a2 正方体体积=a3 长方体表面积=2（ab+bc+ac） 长方体体积=abc 球体表面积=4π r2 球体体积=4πr3/3 圆柱体表面积=2π r2 + 2π rh 圆柱体体积=π r2 h
    • 三角函数值
      • sin0°=0 cos0°=1 sin30°=1/2 cos30°=√3/2 sin45°=√2/2 cos45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos60°=1/2 tan0°=0 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3
  • 经典结论
    • 直线分割平面：n条直线最多可以将平面划分成n(n+1)/2+1 n边形内角和：三角形的内角和为180°边数为n的凸边形的内角和为（n-2）X180° 切割正方体一角的截面：棱长为a的正方体，切割其一个角，所得截面的最大面积是√3a²/2 立方体 染 色 问题：假设将一个立方体切割成边长为原来的 1 / n 的小立方体，在表面染色，则 (1)三个面被染色的是 8 个顶角的小立方体; (2)两个面被染色的是 12(n-2)个在棱上的小正方体; (3)只有一个面被染色的是 6(n-2)^2 个位于外表面中央的小正方体。 (4)都没被染色的是(n-2)^3 个不在表面的小立方体。
• 解题思维与方法
  • 奇偶特性
    • 和差：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇 相乘：有偶则为偶，同奇则为奇 题型： 1、出现不定方程 2、出现质数问题，尤其说质数还是偶数时 3、出现平均问题 4、列方程后，有明显奇偶特征 5、已知两数和，求差，或已知差求和 注意：未知数系数的奇偶性
  • 比例特性
    • 应用：出现比例，倍数，分数，百分数时考虑运用 结论： A/B=4/7 A一定是4的倍数，B一定是7的倍数，A+B一定是11的倍数 B-A一定是3的倍数 注意，必须是最简分数，并且要求所求的都必须为整数，如人数，次数等等
  • 代入排除法
    • 应用： 1、年龄问题 2、多位数问题 3、题目选项信息充分 4、盈亏问题 5、题目复杂，可以考虑代入 6、不定方程 注意：可以先排除再代入，也可以直接代入，排除的方法有常识，奇偶性，比例特性，找因子，估算，尾数等 直接代入可以按顺序代入，有特殊问法特殊代入，先代入容易运算的等
  • 方程法
    • 步骤: 1、假设未知数 2、通过读题寻找题干中的等量或者是非等量关系，列方程； 3、快速解方程。 注意：设未知数时尽量少出现分数，可以求谁设谁，也可以设中间量
• 工程问题
  • 工程问题的概念及比例关系
    • 核心公式：工程总量=效率X时间 比例关系： 工作量相等，效率与时间成反比 效率相等，工作量与时间成正比 时间相等，工作量与效率成正比 比例法：根据比例关系，通过不变量讨论变量的关系的方法。 注意：工程问题注意赋值，比例法运用时出现不变量，讨论变量
  • 单人完工问题
    • 特点： 1、工艺发生了改变 2、人数发生改变 方法：基本公式、比例法均可
  • 多人合作完工问题
    • 特点： 1、共同开始共同结束 2、甲先干，乙后来加入 3、甲乙共同开始 中间有人休息 注意：时间不可以相加减，效率可以相加，方向一致效率相加，方向相反效率相减，题目分为给效率性，不给效率性，不同题型不同作答
  • 轮流合作问题
    • 特点：周期性完成任务 步骤： 第一步确定工作量或者工作效率，设为便于计算值， 第二步确定循环周期， 第三步求周期后剩余的量，最后计算总时间
  • 蓄水问题
    • 实质为工程问题，但是进出水效率相反 公式： 实际进水效率=进水管效率-排水管效率 实际排水效率=排水管效率-进水管效率 方法：根据基本公式列方程或者根据比例关系求解
• 行程问题
  • 行程问题基础概念及比例关系
    • 核心公式： S=VT(路程=速度X时间) 平均速度=总路程÷总时间 单位换算： N 千米/小时=(N/3.6)米/秒 比例关系： S=VT(路程=速度*时间)路程相同，速度和时间成反比，速度快用时少 V=S/T 速度相同,路程和时间成正比，时间长走得远 T=S/V 时间相同，速度和路程成正比，速度快走得远 注意：行程问题和工程问题一样，都是围绕一个类似的公式展开的，但行程问题比工程问题延伸的更远。
  • 直线相遇问题
    • 直线相遇 ：相向而行。同向而行，快的到达地点返回相遇 核心公式：S=(V1+V2)XT(路程=速度和X时间) 直线相遇相向而行时 S和=(V1+V2)XT 相遇 S和=(2n-1)S 直线相遇同向而行返回时 S和=(V1+V2)XT 相遇 S和=2nS 注意：相遇问题时间相等，时间相等，路程与速度成正比
  • 环线相遇问题
    • 环形相遇 ：从同一地点出发异向而行 环形相遇： 公式： S和=(V1+V2)XT 相遇 第一次：S和=S（一圈） 第二次：S和=2S（两圈） 第N次：S和=NS（N圈） 注意：环线相遇时间也是相等的，从开始到第二次相遇为2S，从第一次相遇到第二次相遇路程为S。
  • 追及问题
    • 核心公式：S差=(V1-V2)XT追及 注意：做题时找准路程差，追及代表时间相等，环形追及问题，每追上/超越一次，路程差为一圈（同一地点同时出发同向而行）
  • 流水问题
    • 核心公式： 顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速-水速 V 船=(V 顺+V 逆)/2 V 水=(V 顺-V 逆)/2 解题关键：流水问题考点永远离不开速度，抓住船速和水速关系即可 方法：1、比例法 2、列方程法
• 浓度问题
  • 浓度问题概念
    • 溶质溶于溶剂，形成溶液，溶质在溶液中所占的比即为浓度 公式： 溶液浓度=溶质质量/溶液质量 溶液=溶质+溶剂 常见题型：溶液混合问题：两种浓度不同的溶液混 合之后，浓度必然介于二者之间 蒸发和稀释问题：把握住溶质的量不变 重复倒出与加水问题：分析溶质与溶剂的变化情况 常用的方法：方程法：m1 c1 +m2 c2 =(m1 +m2） 线段法；线段长度之比与溶液质量的比成反比 十字交叉法 注意：浓度问题重点介绍线段法
  • 溶液混合问题
    • 多采用方程法和线段法
  • 蒸发与稀释问题
    • 重点：把握住溶质的量不变
  • 重复倒出与加水问题
    • 重点：根据溶质和溶剂的变化做题
• 经济利润问题
  • 经济利润概念
    • 公式： （1）利润=售价-进价（利润=收入-进价）。 （2）数量关系中，利润率=利润/成本（进价） （3）售价=成本*（1+利润率）。 （4）折扣=售价（折后价）/原价（折前价）。如 90%是 9 折折扣率：折扣是 8 折时，折扣率是 20%。 （5）总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量；总成本=单个成本*数量 题型：利润问题；单件商品利润问题；多件商品利润问题；销售问题；分段收费问题 方法： 赋值法：若已知条件和所求问题均以比例形式出现，未给出具体数值，我们就可以把成本或售价假设成容易计算的特殊值。 方程法：利润问题公式繁多，考法多样，直接列方程最直观易懂 线段法（十字交叉法）
  • 单件商品利润问题
    • 多用赋值法、代入法和方程
  • 多件商品利润问题
  • 销售问题
    • 第一部分销售收入+第二部分销售收入=总销售收入
  • 分段计费问题
    • 找好分段点，分段考虑
  • 补充：线段法在平均数方面应用
• 容斥原理
  • 容斥原理基本概念
    • 应用：用于处理有“重叠”的计数问题 注意：在计数时先不考虑重叠部分，先把符合条件的加在一起，最后把重复的剔除，遗漏的补上 特点：题干内容特点显著 题型：两集合问题，三集合问题 方法：公式法，画图法
  • 两集合问题
    • 公式：AUB = A+B - A∩B 两圆覆盖面积=两圆面积和-重叠部分面积
  • 三集合问题
• 排列组合问题
  • 排列组合基本问题
    • 加法原理：完成一件事情，需要划分几个类别，各类别中的方法可以独立完成这件事情。方法总数等于每一类方法数之和。（如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 M1 种不同方法，在第二类方法中有 M2 种不同方法……，在第 n 类方法中有 Mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：M1+ M2....... +Mn 种不同的方法。） 乘法原理：完成一件事，需要分为几个步骤，每个步骤内的方法刚好完成该步骤，所有步骤实施后才完成这件事。方法总数等于每一个步骤的方法数之积（如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 M1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 M2 种方法……不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 Mn 种方法，那么完成这件任务共有：M1*M2....... *Mn 种不同的方法。） 关键：确定工作完成步骤，确定是分类还是分步，有序为排列，无序为组合 分类用加法，分步用乘法 有特殊从特殊入手
  • 排队问题
    • 站一排：几个人就是A几几 站一起：捆绑法 不相邻：插空法 站一圈：A几几除以几
  • 相同元素分配问题
    • 将 n 个相同小球分成 m 份(n，m 为正整数),每份至少一个球,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个球排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 C(n-1)(m-1)；插板法使用前提条件：一是元素相同，二是每份至少一个元素。 方法：插板法
  • 错位重排问题
    • 结论：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。只需要记住结论，进行计算就可以
• 概率问题
  • 概率问题概念
    • 表征随机事件发生可能性大小的量 题型：古典概率 分类事件概率 分步事件概率 独立重复试验概率
  • 古典概率
    • 公式：目标事件概率=目标事件情况数/所有情况总数
  • 分类事件概率
    • 公式：目标事件概率=目标事件的所有不同情况的概率之和
  • 分步事件概率
    • 公式：目标事件概率=完成目标事件的每个步骤的概率之积
  • 独立重复事件概率
    • 公式：目标事件概率= C(k,n)Xp^kX(1-p)^(n-k)
• 极限问题
  • 最不利情况问题
    • 概念：保证某件事情一定发生，必须首先确定最不利于这件事情发生的情况，然后再这样的基础上实现这件事。 注意：首先确定最不利于事情发生的次数 题型：至少......才能保证 思路：看到至少......保证考虑最不利+1
  • 和定最值问题
    • 相等型：题干中未对各组数据提出明确要求，首先考虑相等 不等型：题干有明确要求各组数据互不相等 思路：一个最少，其余尽可能多；一个最多，其余尽可能少； 解题技巧：问什么设什么为 N、其他则为 N-1、N-2、N-3 或 N+1、N+2……列方程，方程右侧为总和
  • 容斥类极限题
    • 解题思路：符合条件的元素最少，即不符合情况的元素尽量相斥利用容斥思想，即是重合的面积最小，不重合的面积尽量大
• 经典问题
  • 鸡兔同笼问题
    • 解题思路：假设全是鸡或者假设全是兔，看理想情况与现实情况差值，同时看单个差值 主要题型：工资报酬、考试对错题得分
  • 牛吃草问题
    • 原有草量+新增草量=牛吃草量 原有草量+新增速度X天数=牛吃速度X天数 天数=原来草量/（牛吃速度-新增速度） 关键；求出长草速度和原有草量 常见情景：人挖沙/开采、牛吃草、水池进出水、排队、电梯
  • 周期循环问题
    • 日期循环问题： 平年和闰年问题，平年 365 天（过一年星期数加1），闰年 366 天（过一年星期数加2）每年包含 52 个星期，每个月包含 4 个星期（平年2月28天，闰年2月29天） 星期数每7天循环一次 注意每隔 N 天的表述，例如每隔 7 天，是每八天的意思 此类问题一般解题步骤： 第一步算出题中给定日期和所问日期之间的间隔；第二步：去掉此间隔内的完 整周期，将此间隔等价于几天；第三步，根据问题求解
    • 其他循环类问题 关键在于找循环周期
  • 时钟问题
    • 时针每分钟走0.5° 分针每分钟走6° 每分钟分针比时针多走5.5°
  • 植树问题
    • 基础公式 两端植树：总长=间隔X（棵数-1） 两端不植树：总长=间隔X(棵数+1) 环形植树：总长=间隔*棵数
  • 年龄问题
    • 重点：无论时间如何改变，年龄差不变时间改变，年龄增量相同 爷爷奶奶年龄多在60+，父母在 30-40，儿女在 0-10 常见年龄平方数：64、36、49 注意：年龄问题首先考虑带入排除
  • 盈亏问题
    • 基础概念： 把一定数量的物体分给若干个对象，按某种标准分，结果刚好分完，或多余(盈)，或不足(亏)，再按另一种标准分，又出现分完、多余或不足的结果，根据每次的结果来求物体以及分配对象的数量的问题，就称为盈亏问题。 人数=盈亏数差/分配数差