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信号与系统
采样定理那些没咋搞，然后z变化可能也不太全，主要好杂好乱啊这个信号系统，饶了我吧T__T 带伙自己看着办吧，希望你有个愉悦的一天捏
编辑于2022-09-21 19:36:05 广东- 相似推荐
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信号与系统
信号与系统的基本概念
1.1 信号与系统基本概念
信号
广义上是随时间或某几个变量变化的某种物理量
携带信息的载体
分类
确定信号与随机信号
连续时间信号与离散时间信号
连续
x(t)
离散
x[n]
周期与非周期信号
连续周期信号
x(t)=x(t+mT)
离散周期信号
x[n]=x[n+mN]
奇信号与偶信号
奇信号
x(t)=-x(t)
偶信号
x(t)=x(-t)
信号都可以分解成奇偶分量之和
功率信号和能量信号
连续时间信号
x(t)为电压或电流
在1Ω的电阻上的
瞬时功率
t1~t2内消耗的能量
离散时间信号
x[n]为电压或电流
在1Ω的电阻上的
t1~t2内消耗的能量
平均功率
能量信号（能量有限信号）
0<E<∞，P=0
功率信号（能量无限信号）
0<P<∞，E=∞
系统
特点
有输入和输出，系统对输入作用产生输出
分类
用途
电力系统
通信系统
金融系统
等等
特性
连续时间系统和离散时间系统
线性系统和非线性系统
因果系统和非因果系统
可逆系统与不可逆系统
记忆系统和无记忆系统
时变和时不变系统
稳定系统和非稳定系统
1.2 基本的连续时间信号
1.2.1 连续时间复指数信号与正弦信号
连续时间复指数信号
实指数信号
C、s均为实数
周期复指数信号和正弦信号
当s=jw为纯虚数时，为周期信号
T为基波周期
正弦信号与余弦信号在相位上仅差pi/2,故统称为正弦信号
谐波关系的复指数信号的集合
一般复指数信号
1.2.2 奇异信号
定义
函数本身就有不连续点或其导数和积分不连续
连续时间函数
分类
单位阶跃信号
u(t)
=0，t<0
=1, t>0
在0处无定义
物理意义
在某一时刻接入电源，电路持续运转下去
延迟的单位阶跃信号
u(t-t0)
=0,t<t0
=1,t>t0
矩形脉冲信号
可用单位阶跃信号表示
符号函数
sgn(t)
=1,t>0
=-1,t<0
可用单位阶跃函数表示
冲激信号
用于表示一种物理现象，发生时间极短，而物理量又很大
如雷电，冲击力，电容经小电阻充电
δ——读delta
不能作为定义式
性质
面积为1
筛选性
偶函数
冲激信号是偶函数
冲激偶信号
冲激函数的微分
抽样函数
性质
高斯函数
别名钟形脉冲信号
1.3 基本的离散时间信号
单位冲激序列
单位阶跃序列
矩形序列
复指数序列
实指数
纯虚数复指数
一般复指数
1.4 信号的运算与自变量变换
信号的平移
信号的反折
信号的尺度变换
连续时间
离散时间
1.5 系统的描述
系统模型的建立
数学模型
连续时间模型
微分方程
离散时间模型
差分方程
系统的互联
1.6 系统的性质
线性和非线性
线性性质
齐次性
可加性
线性
动态线性系统的判定条件
记忆系统
与过去状态{x(0)}有关
无记忆系统
与过去状态{x(0)}无关
完全响应
y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]
零输入响应
零状态响应
满足三个条件即为线性系统
可分解性
零状态线性
零输入线性
例题
时变和时不变
时不变系统
系统输入延迟多少，零状态响应也延迟多少时间
判断
直观判断
如果有反转伸缩则为时变
线性时不变系统
简称LTI
性质
因果和非因果
因果系统指输出仅取决于当前或过去时刻输入的系统
因果系统是指零状态响应不会出现在激励之前的系统
可逆和不可逆
可逆系统指在不同输入下会导致不同输出结果的系统
当逆系统与原系统级联后，输出为第一个系统的输入
记忆和无记忆
无记忆
输出仅仅只与当前时刻的输入有关
记忆
输出可能和过去时刻有关，也可能与未来时刻有关
线性时不变系统（LTI）
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
用单位脉冲表示离散时间信号
对任何离散时间信号x[n],每次从中抽出一个点，就可以将信号拆开来，每个点表示为不同加权，不同位置的单位脉冲信号
卷积和
一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征
计算步骤
将x[n],h[n]中的自变量由n改为k
把h[k]翻转得到h[-k],再平移n
将x[k]和h[n-k]相乘，对相乘后的信号求和
不断改变平移量n，计算x[k]h[n-k]的积分
图示法
例题
列表法
前提
为因果序列
例题
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
用冲激信号表示连续时间信号
连续时间信号可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合
单位阶跃与单位冲激信号的关系
推导过程
表明任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合
卷积积分
意义
原理
将信号分解为移位冲激信号的线性组合，借助系统的单位冲激响应，获得LTI系统对激励的响应解
LTI系统对输入信号的响应过程可以表示为两个信号相互作用的过程
卷积积分运算
LTI系统的单位冲激响应可以完全表征系统的特性
单位冲激响应给出连续时间LTI更一般的描述方法
奇异信号的卷积
如果一个系统的单位冲激响应为阶跃信号，则系统称为积分器
卷积例题
2.3 LTI系统的性质
核心性质
齐次性
叠加性
时不变性
卷积积分和卷积和的性质
交换律
分配律
结合律
奇异信号卷积的性质
延时特性
微分特性
积分特性
等效特性
LTI系统的性质
记忆性
无记忆系统
有记忆
不满足无记忆条件即为记忆系统
可逆性
可逆满足条件
因果性
因果系统满足
稳定性
稳定系统满足
LTI系统的单位阶跃响应
2.4 LTI系统的微分、差分方程描述
线性常系数微分方程（LCCDE）
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述一个因果的LTI系统。
这组条件为
该系统初始是静止的或最初是松弛的
如果一个因果的LTI系统由LCCDE描述，且该方程具有零初始条件
则它描述的系统是增量线性的
如果LCCDE具有一组不全为零的初始条件
线性常系数差分方程（LCCDE）
LCCDE具有一组全部为零的初始条件，所描述的系统是线性因果时不变的
可以改写为
当ak=0时
此时解方程不需要迭代运算
称非迭代方程
此时为卷积和的形式
h[n]有限长
称FIR系统
其余差分称
IIR系统
初始弛豫
特解完全由输入信号决定
受迫响应或强迫响应
齐次解与输入信号无关
称为自然响应
分析方法
增量线性系统
零状态响应
受迫响应，一部分自然响应
零输入响应
输入信号为0，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应
自然响应
LTI系统的方框图表示
延迟
相加
移位
例子
连续时间信号与系统的频域分析
3.0 引言
时域分析方法的基础
信号在时域的分解
LTI系统满足线性、时不变性
基本信号单元需要满足
本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到
具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号
3.1 连续时间LTI系统的特征函数
复指数信号可作为基本信号用来表示一般的输入信号
3.2 连续时间傅里叶级数
3.2.1 连续时间傅里叶级数
傅里叶的两个最重要的贡献
周期信号都可以表示为谐波关系的正弦信号的加权和
非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示
复指数和三角形式互相推算
系数ak的确定
三角函数形式的傅里叶级数可定义为
3.2.2 典型周期信号的傅里叶级数展开
正弦信号
定义
傅里叶级数系数
周期方波信号
波形
定义
傅里叶级数系数
收敛规律
周期锯齿脉冲信号
波形
傅里叶级数系数
傅里叶级数
收敛规律
周期三角脉冲信号
波形
定义
傅里叶级数系数
傅里叶级数
收敛规律
周期半波余弦信号
波形
傅里叶级数系数
傅里叶级数
收敛规律
=
3.2.3 连续时间傅里叶级数的收敛
傅里叶级数与原周期信号的等效
用有限项级数来近似
近似误差
度量近似程度
结论
傅里叶级数与原函数没有任何能量上的差别，但不能保证它们在每个时刻上一定处处相等
两类稍微有些不同的收敛条件
根据信号功率
狄里赫利收敛条件
条件一
不满足例子
条件二
不满足例子
条件三
不满足例子
吉布斯现象
当用傅里叶级数前N次谐波分量的有限项去近似周期方波时，在信号间断点两侧会存在起伏的高频信号和上冲量
N的增大并不会使起伏消失，起伏的峰值保持不变
收敛的含义
处处收敛
均方收敛
例子
方波
3.3 连续时间傅里叶变换
3.3.1 非周期信号的傅里叶变换的导出
对x(t)进行周期延拓
傅里叶变换对
频谱的极坐标形式
3.3.2 连续时间傅里叶变换的收敛
傅里叶变换的收敛条件
傅里叶变换对相当广泛的一类信号是适用的，特别是对一些实际有用的信号
但不是对所有信号都适用，存在收敛条件
条件一
若x（t）能量有限，即
条件二 狄里赫利条件
该条件保证了傅里叶变换除了那些不连续点外，在其它的值上都等于原信号，而在不连续点处，它等于原信号在不连续点两侧值的平均值
用傅里叶反变换近似表示原信号时，同样存在不连续信号
3.3.3 典型连续时间信号的傅里叶变换对
单边指数信号
双边指数信号
单位冲激信号
冲激偶信号
抽样函数
矩形窗函数
高斯脉冲
3.4 连续时间周期信号的傅里叶变换
周期信号反变换，就是其傅里叶级数
即
例题
3.5 连续时间傅里叶变换的性质
与离散时间傅里叶变换进行对比
线性性质
时移性质
例题
频移性质
例题
共轭及共轭对称性
共轭性
证明
共轭对称性
若x(t)为实数，即x(t)=x*(t)，则具有共轭对称性
推导出一些有用的条件
1.当x(t)为实信号时
2.当x(t)为实且偶函数
3.当x(t)为实且奇函数
因为x(t)为奇函数，所以X(jw)=-X(-jw)
根据共轭对称性有X(jw)=-X*(jw)
则得出X(jw)为纯虚数且奇
把x(t)分解成奇部和偶部
奇部
傅里叶变换
X(jw)纯虚且奇
偶部
傅里叶变换
X(jw)纯实且偶
微分与积分
微分
积分
例题
求u(t)
求三角脉冲
求符号函数sgn(t)
时间与频率的尺度变换
推导
特例
例子
对偶性
定义
延伸
证明
证明同上
例子
推广
帕斯瓦尔定理
证明
周期信号的帕斯瓦尔定理
时域卷积性质
证明
由于周期信号的卷积无穷大，故性质用另一种形式
频域卷积性质
调制性质
证明
傅里叶级数的调制性质
离散时间信号与系统的频域分析
4.0 引言
本章讨论离散时间信号与系统的重要数学工具——频域分析方法
4.1 离散时间LTI系统的特征函数
与连续时间LTI系统相似，离散时间复指数信号是所有离散时间LTI系统的特征函数
与连续LTI系统一样，我们将研究如何用复指数信号来表示一般信号
本章中
4.2 离散时间傅里叶级数(DFS)
一个基波周期为N的周期信号x[n]应满足
一个周期为N的成谐波关系的复指数信号集合为
具有性质
周期性
有限独立性
正交性
离散周期信号的傅里叶级数表示
用Φk[n]的线性组合来表示基波周期为N的任一周期信号
由于Φk[n]仅在k的N个相继值的区间上的信号是独立的，Φk[n]的线性组合形式的离散时间傅里叶级数就有如下形式
离散时间的傅里叶级数是一个有限项的级数
系数ak的确定
两边乘以Φl[n]的共轭，再对变量n在相继的N项上求和
变换式子右侧求和次序，有
又已知Φk[n]具有正交性
离散时间信号及其傅里叶级数
由于这两个方程都是有限项的级数，因此只要离散时间信号x[n]本身的取值是有界的，则其傅里叶级数也一定收敛
即离散傅里叶级数不存在收敛问题，同时也不存在吉布斯现象
表明离散时间傅里叶级数的系数ak是以N为周期的
用极坐标表示
对于任何有界的离散时间周期信号，其离散时间傅里叶系数ak总是存在且唯一的
例题
离散时间傅里叶级数的性质
相乘
差分
Paseval定理
左边是信号一个周期内的平均功率，右边是各信号的各次谐波的总功率
这表明一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和
也表明周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得
例题
分解法（分解成常见的离散序列）
4.3 离散时间傅里叶变换
4.3.1 离散时间傅里叶变换的导出
离散时间傅里叶变化与连续时间的区别
位于pi的偶数倍附近的频率的复指数信号属于低频信号，且pi的偶数倍所对应的复指数信号为最低频信号(常数信号)
位于pi的技术倍附近的频率的复指数信号属于高频信号，且pi的奇数倍所对应的复指数信号为最高频信号
例题
4.3.2 离散时间傅里叶变换的收敛
如果x[n]绝对可和或者x[n]的能量有限
那么x[n]的傅里叶变换就一定存在
4.3.3 典型离散非周期信号傅里叶变换
单位脉冲信号δ[n]
其傅里叶变换对为
表明单位脉冲信号包含了所有频率的分量，且这些频率分量具有相同的幅度与相位
单边指数衰减信号
其频谱为
图像
双边指数衰减信号
图像
矩形脉冲信号
图像
常数信号
矩形窗函数频谱
4.4 离散时间周期信号的傅里叶变换
推导
例题
4.5 离散时间傅里叶变换的性质
与连续时间傅里叶性质进行对比
周期性
离散时间信号的傅里叶变换或频谱是关于角频率变量w的周期函数，一般情况下周期为2π
这与连续时间傅里叶变换有着重要区别，一般来说，连续时间傅里叶变换是非周期的
线性性质
时域平移与频域平移性质
一般用于三角函数的傅里叶变换
共轭和共轭对称性
题目常常给出类似a2=(a-2)*这种条件，利用ak的周期性和共轭对称性求其他未知ak
时域差分和累加
例题
求符号函数的傅里叶变换可以将其转换成熟知的u[n]的一部分，即其奇部。再根据共轭对称性知u[n]傅里叶变换对的虚数部分即是所求
时域扩展
定义内插
图像
频域微分
例题
时域卷积和性质
调制性质
例题
帕斯瓦尔定理
例题
在时域上的周期性就意味着其傅里叶变换是离散谱，仅在各个谐波频率上可能出现冲激，其余地方均为零。但现在频谱不是这样，所以非周期
根据傅里叶变换的对称性知道，一个实值序列傅里叶变换的幅度谱是w的偶函数，相位谱是w的奇函数。对于所给图像，可知x[n]为实序列
4.6 对偶性
离散时间傅里叶级数的对偶性
DTFT和连续时间傅里叶级数的对偶性
连续时间傅里叶级数对偶性
例题
4.7 离散时间LTI系统的频域分析
离散时间LTI系统的频率响应
例题
系统零状态响应的频域求解
求解方法
与连续时间情况相同，在频域上也可以求解离散时间LTI系统的零状态响应
一般思路为：通过卷积性质求得输出序列y[n]的频谱，然后对该频谱作反变换求得时域解y[n]
例题
用线性常系数差分方程表征的LTI系统
注意这里的ak，bk不是傅里叶级数，而是每一项前的系数
离散时间信号的滤波与理想滤波器
一个离散时间理想低通滤波器的频率响应为
信号与系统的时域和频域特性
6.0 引言
在LTI系统分析中，由于时域中的微分(差分)方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所以利用频域分析往往特别方便
系统的时域特性与频域特性是相互制约的。在进行系统的分析与设计时，要权衡考虑系统的时域与频域特性
本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域特性进行综合分析的思想和方法
6.1 傅里叶变换的模和相位表示
因此导致信号失真的原因有两种
幅度失真
由于频谱的模改变而引起的失真
相位失真
由于频谱的相位改变引起的失真
在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的技术指标要求
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面
改变输入信号各频率分量的幅度
改变输入信号各频率分量的相对相位
线性与非线性相位
线性
信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号波形的改变，即发生失真
当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，只引起信号在时间上的平移，如
此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的
非线性
如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率分量受相位特性影响所产生的时移不同，叠加起来一定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形
对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信号的时域移位。
若相位特性的斜率不是整数，由于离散时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段实现，其含义也不再是原信号的简单移位
信号的不失真传输条件
如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视为在传输中未发生失真
如果一个系统的幅频特性是一个常数，称这种系统为全通系统
群时延
对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附加相移。相位特性的斜率就是该频率分量在时域产生的时延
对非线性相位系统，定义群时延为
对数模与Bode图
在工程应用中，往往采用对数模特性(或称为Bode图)来描述系统的频率特性。在对数坐标下，采用对数模，可以给频率特性的表示带来一些方便，这是因为
可以将模特性的相乘关系变为相加关系
利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略
对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位特性的直线型渐近线
工程中广泛应用的有两种对数模
6.3 理想频率选择性滤波器
滤波
通过改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波
滤波器的分类
频率成形滤波器(改变各分量的幅度与相位)
频率选择性滤波器(去除某些频率分量)
理想频率选择性滤波器的频率特性
理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个(或几个)频段内，频率响应为常数，而在其它频段内的频率响应等于零
通带和阻带
通带
滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带
阻带
滤波器完全不允许信号通过的频段称为阻带
图像
理想滤波器的时域特性
缺陷
6.4 非理想滤波器
理想与非理想比较
非理想滤波器的容限
matlab应用
6.5 一阶与二阶连续时间系统
一阶系统
二阶系统
例子
6.6 小结
采样
7.0 引言
研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要包括
在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息
如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号
如何对一个连续时间信号进行离散时间处理
对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插
7.1 用样本表示连续时间信号：采样定理
7.2 利用内插从样本重建信号
7.4 欠采样的效果-频谱混叠
7.5 离散时间信号采样
7.6 小结
拉普拉斯变换
9.1 拉普拉斯变换
双边拉氏变换的定义
例题
拉氏变换的ROC及零极点图
9.2 拉普拉斯变换的收敛域
收敛域ROC的性质
ROC是S平面上平行于jω轴的带形区域
在ROC内无任何极点
绝对可积的x(t)拉氏变换的ROC包含jω轴
时限信号的ROC是整个S平面
右边信号的ROC位于S平面内一条平行于jω轴的直线的右边
左边信号的ROC位于S平面内一条平行于jω轴的直线的左边
双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行于jω轴的带形区域
例题
有理函数的ROC总是由X(s)的极点分割的
满足下列规律
右边信号的ROC一定位于X(s)最右边极点的右边
左边信号的ROC一定位于X(s)最左边极点的左边
双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带形区域
例题
9.3 拉普拉斯反变换
定义
拉普拉斯变换的求法
部分分式展开法
步骤
将X(s)展开为部分分式
根据X(s)的ROC，确定每一项的ROC
利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质对每一项进行反变换
例子
查表法
对照常用的拉普拉斯变换对，求反变换
常用拉普拉斯变换对
拉普拉斯变换的性质
留数法
步骤
复习
洛朗级数
留数定义
留数的计算
例题
待定系数法
将X(s)写成部分部分分式展开形式
求出待定系数
拉普拉斯反变换即可
例题
9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
不同情况
一阶系统
全通系统
最小相位系统
9.5 拉普拉斯变换的性质
线性
例子
时移性质
S域平移
例子
时域尺度变换
例
共轭对称性
卷积性质
例
时域微分
S域微分
例子
时域积分
初值与终值定理
初值定理
证明
终值定理
证明
极点在S平面的分布与信号终值的关系
常用拉氏变换对
双边拉氏变换性质回顾
9.6 用拉氏变换分析与表征LTI系统
系统函数的概念
用系统函数表征LTI系统
因果性
稳定性
例题
结论
由LCCDE描述的LTI系统的系统函数
系统特性与系统函数的关系
Butterworth滤波器
9.7 系统函数的代数属性与方框图表示
系统互联时的系统函数
级联
并联
反馈连结
LTI系统的级联和并联型结构
级联结构
并联结构
9.8 单边拉普拉斯变换
定义
例题
单边拉氏变换的性质
大部分与双边拉氏变换相同，但也有几个不同的性质
时域微分
时域积分
时延性质
利用单边拉氏变换分析增量线性系统
单边拉氏变换特别适合于求解由LCCDE描述的增量线性系统
例题
9.9 小结
例题
z变换
10.1 双边z变换
定义
收敛域
例题
结论
几何表示
10.2 z变换的ROC
ROC的特征
例题
10.3 z-反变换
反变换的求取
部分分式展开法
步骤
例题
幂级数展开法(长除法)
步骤
例题
留数法
对有理函数的X(z)由留数定理有
例题