数字逻辑基础

数字电子技术第二版第一章数字逻辑基础，适用于课前复习课后预习，其中有数制、码制、逻辑运算、逻辑函数及描述方法……

数字逻辑基础

• 绪论
  • 信号的分类
    • 模拟信号
      • 指在时间和数值上都连续变化的信号
      • 模拟信号在传输过程中失真
    • 数字信号
      • 指在时间和数值上均具有离散性的信号
      • 数字信号仍然可以保持0、1
  • 电路的分类
    • 根据研究型号的不同可以划分为
      • 模拟电路
        • 模拟电路是指分析、处理或产生模拟信号的电路。模拟电路的分析常采用等效电路分 析法。
      • 数字电路
        • 数字电路是指对数字信号进行传送、逻辑运算、控制、计数、寄存、显示以及脉冲信号的产生与变换等的电路。
  • 数字电路的特点
    • 1)电路结构简单，容易制造，便于集成及系列化生产，成本低，使用方便。 2)由数字电路组成的数字系统，工作可靠，精度较高。 3)数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和逻辑运算，这在控制系统中是不可缺少的，因此，常把数字电路称为“数字逻辑电路”。 4)易于纠错
  • 什么是数字系统
    • 数字系统是一个能对数字信号进行加工、传递和存储的实体，它由实现各种功能的数字电路器件相互连接而成。例如，数字计算机。
    • 数字系统中处理的是数字信号，当数字系统要与模拟信号发生联系时，必须经过模/数(A/D)转换和数/模(D/A)转换电路，对信号类型进行变换。
• 数制
  • 常用进位制
    • 基数R：每种进位制中允许使用的数码总数称为基数或底数
    • 位权：不同数位上的固定常数称为位权值，简称位权。 某一个位数的数值是由这一位数码的值乘上处在这位的固定常数。
    • R进制N的两种表示方式
      • 并列表示法（位置计数法）
      • 多项式表示法（以权展开式）
    • 十进制
      • 以十为基数的计数体制
      • 表示数的十个数码：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0
      • 遵循逢十进一的规律
      • 一个十进制数数N可以表示成：
      • 若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个计数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济
    • 二进制
      • 以二为基数的计数体制
      • 表示数的两个数码：0、1
      • 遵循逢二进一的规律
      • 二进制的优点：用电路的两个状态---开关来表示二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。
      • 二进制的缺点：位数较多，使用不便；不合人们的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。
    • 八进制
      • 八进制数的进位规则是逢八进一
      • 其基数R=8
      • 采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7,每位的权是8的幂
    • 十六进制
      • 逢十六进一
      • 十六进制数可用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)共16个数码表示
      • 以16位基数的计数体制
  • 不同数制间的转换
    • 二-十六转换
    • 十六-二转换
  • 二进制数的算术运算
• 码制
  • 二进制码
    • 码制：是指用不同数码表示不同事物时遵循的规则。 编码：利用一定的规则，将文字符号或者数码表示为信息的过程。 解码：编码的逆过程 典型编码： 学号，身份证号，运动员号
  • 二-十进制（BCD）码
    • 常见的BCD码有 有权码 8421码 5211码 2421码 无权码 余3码 余3循环码
    • 二—十进编码必须用四位二进制码元表示一位十进制数的编码方式。BCD的本质是十进制，但表现形式为二进制代码
    • 一位十进制的数，需用4位BCD码表示
    • 多位十进制数，需用多位BCD码表示
    • • 8421码运算调整原则：有进位或出现冗余码时，加法+6调整，减法-6调整
  • 字符、数字代码
    • ASCII码----英文字母符号的编码
      • ASCII（美国信息交换标准码）是由7位二进制数表示一个常用符号的编码。
      • 1位数码有2种组合，i位数码可以有 2i种组合; 英文字母+符号<=128个 所以英文字母及符号用7位数码表示。
      • 扩展ASCAII码：一个符号用8位来表示 其最高位始终为0：表示标准ASCII码 B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0 0 x x x x x x x 其最高位始终为1：表示扩展的特定的ASCII码(汉字内码） B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0 1 x x x x x x x
      • ASCII码基本规律如下
        • 每8位为一个字符 41H--5AH: “A”-- “Z” 61H--7AH: “a”-- “z” 0AH: 换行符号LF 0DH: 回车符号CR 30H--39H: “0”-- “9”
    • 子主题
  • 校验码和纠错码
    • 问题：信息在传输过程中受外界干扰而出错， 且绝大多数为单错。
      • 解决方法：① 增加校验位（P）； ② 通过异或运算⊕；
    • 偶校验
      • 校验码P的取值使校验码中“1”的个数是偶数
    • 奇校验
      • 校验码P的取值使校验码中“1”的个数是奇数
    • 奇偶校验码：具有发现一位错的能力。
    • 校验码格式：
• 逻辑运算
  • 基本概念
    • 逻辑： 事物的因果关系。
    • 数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）
    • 在二值逻辑中的变量取值： 0/1（代表事物矛盾双方的两种对立的状态）。
  • 1.“与”运算
    • “与”运算又称“与”逻辑、“逻辑乘”
    • 与运算：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。把这种因果关系称为与运算。
    • 规定: 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑“0”
      • • • 真值表
          • 该真值表的特点: 任0则0, 全1则1
    • 图形符号：
    • 逻辑式：Y=A·B =AB
    • 与逻辑运算规则：0 • 0=0 0 • 1=0 1 • 0=0 1 • 1=1
  • 2.“或”运算
    • “或”运算又称“或”逻辑、“逻辑加”
    • 或运算：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。把这种因果关系称为或运算。
    • • • 该真值表的特点: 任1则1, 全0则0
    • 图形符号：
    • 逻辑式：Y= A+B
    • 或逻辑运算规则：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
  • 3.“非”运算
    • “非”运算又称“非”逻辑、“反相运算”、“逻辑否定”。
    • 非运算：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。我们把这种因果关系称为非运算。
    • • • 该真值表的特点： 1则0, 0则1
    • 图形符号：
    • 逻辑式：
    • 非逻辑运算规则:
  • 4. 几种常用的复合逻辑运算
  • 异或
  • 同或
  • 1.3.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
    • 若干常用公式
    • （A+B=A+C ） ≠ （B=C ）（逻辑加与代数加不同 ）
    • （AB=AC）≠（B=C）（逻辑乘与代数乘不同）
  • 1.3.4 逻辑运算法则
    • 代入法则
      • 在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。
      • 应用举例：
      • 注意：在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。
    • 反演法则
      • 即求Y的反函数Y'
      • 注意： 原来的运算顺序不变，需要增加括号，并遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。 不属于单个变量上的反号应保留不变。
    • 对偶法则
      • 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。
      • Y的对偶式标记为YD
• 1.4 逻辑函数及其描述方法
  • 逻辑函数的表示方法
    • 真值表、表达式、 逻辑图
      • 各种表示方法之间可以相互转换
    • 真值表
      • 若以1表示开关闭合，0表示开关断开；以1表示灯亮，0表示灯暗
    • 表达式
      • 将输入/输出之间的逻辑关系用与、或、非的运算式表示就得到逻辑函数表达式。
    • 逻辑图
      • 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应
      • 若要求只能用与非门实现时，先将逻辑函数式化为“与非-与非式”，再用与非门实现。
• 公式法化简逻辑函数
  • 逻辑函数“最简”的标准与函数本身的类型有关。类型不同，“最简”的标准也有所不同
  • 一般而言，“与或型”逻辑函数需要同时满足下列两个条件，方可称为“最简”
    • 注意：逻辑函数的化简结果不是唯一的
    • (1)乘积项最少
    • (2)每个乘积项中的变量数最少
  • 1、并项法
  • 2、吸收法
  • 3、消项法
  • 4、消因子法
  • 5、配项法
    • 利用A+A’＝1
  • 例: 化简逻辑函数
  • 例: 化简逻辑函数
  • 由这两例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的
• 卡诺图法化简逻辑函数
  • 卡诺图
    • 将n个变量的全部最小项（2n ）用小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列起来，所得的图形称为n变量最小项的卡诺图。
  • 逻辑函数的最小项
    • 逻辑函数的两种标准形式
      • 最小项之和
      • 最大项之积
    • 最小项 m
      • m是乘积项（与式）
      • 包含n个因子
      • n个变量均以原变量或反变量的形式在m中仅出现一次
      • 两变量A, B的最小项
      • 三变量A,B,C的最小项
      • 对于n变量函数 有2n个最小项
    • 最小项的性质
      • 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1
      • 全体最小项之和为1
      • 任何两个最小项之积为0
  • 逻辑函数的卡诺图表示
    • 实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来
    • 以2的n次方个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图
    • 最小项的逻辑相邻
      • 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子
      • 逻辑相邻：仅一个变量不同的最小项
      • 如
    • 表示最小项的卡诺图
      • 二变量卡诺图
      • 三变量卡诺图
      • 四变量的卡诺图
      • 五变量的卡诺图
      • 为了保证卡诺图中几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制数从小到大的顺序排列，而必须按图形中的排列方式排列，以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的
    • 用卡诺图表示逻辑函数
      • 将函数表示为最小项之和的形式
      • 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余地方填0
      • "与或"式的卡诺图表示
        • 直接将表达式的"与项"或"最小项"所对应的方格标以1
      • 其它形式函数的卡诺图表示要转换成"与或"式再在卡诺图上表示
      • 逻辑函数的最小项表达式
        • 一个全以最小项组成的与－或式逻辑函数式就是最小项表达式
      • 求最小项表达式的方法
        • ①逻辑函数→真值表→最小项表达式
          • 例:将F(A,B,C)= AB+AB’C展开为最小项表达式
            • 由逻辑函数列出真值表
        • ②逻辑函数→代数法→最小项表达式
      • 观察法—填图技巧—寻找变量的公共部位
        • F(A,B,C)=A·C
      • 例题
        • 例1：
        • 例2 :
        • 例 3: 已知逻辑函数的卡诺图如下图所示，试写出该函数的逻辑式
  • 卡诺图化简逻辑函数的规则和步骤
    • 依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子
    • 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来
    • 合并最小项的原则：
      • 两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
      • 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子。
      • 八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子
    • 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子
    • 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中只包含公共因子
    • 若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子
    • 用卡诺图化简逻辑函数的步骤
      • 画出逻辑函数的卡诺图
      • 合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈
      • 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式
    • 用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）
      • 尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性
      • 圈的个数尽量少
      • 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项
      • 在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的
    • 用卡诺图化简逻辑函数
      • F(A, B, C, D)=Σm(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15)
        • 解
      • F(A, B, C, D)=Σm(2, 3, 8, 9, 10,12, 13)
        • 解
          • 本题说明逻辑函数的最简结果不唯一
      • F（A，B，C，D）=∑m(1,5,6,7,11,12,13,15)
        • 解
  • 含无关项的逻辑函数化简
    • 1. 约束项
      • 恒等于0的最小项
    • 2.任意项
      • 有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能
      • 任意项：在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项
    • 3.无关项
      • 约束项和任意项统称为无关项
    • 注意
      • 1.在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0，所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为1时，函数值是1还是0无所谓
      • 2. 在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入1。既然可以认为无关项包含于函数式中，也可以认为不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上就可以填入1，也可以填入0。为此，在卡诺图中用×表示无关项。在化简逻辑函数时既可以认为它是1，也可以认为它是0