初中八上数学轴对称mindmap

轴对称思维导图八年级上册人教版初中 ⑴轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形就叫做轴对称图形. ⑵两个图形成轴对称︰把一个图形沿某一条直线折叠,如果它...

轴对称

• 20.1.1轴对称
  • 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，支个图形就叫做轴对称图形
    • 这条直线就是它的对称轴
  • 关于直线成轴对称：如果一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与另一个头型重合，那么就说这两个图像关于这条直线成轴对称
    • 这条直线叫做对称轴
      • 折叠后重合的点是对应点叫做对称点
  • 相同与不同与之间的联系：1和2都是沿某条直线折叠后能重合（都有对称轴） 1拆分得2 2结合得1（可互相转化） 1是一个图形2是两个 2是两个图形之间的对称关系1是具有特殊形状的图形 1的对称轴不止一条2的的对称轴只有一条
  • 轴对称是一种全等变换，类似于平移，旋转（可由轴对称推全等）
  • 垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（由全等得出）
    • 性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（这几条线之间平行或在同一直线上)
  • tips：1，角的垂直平分线是这个角的平分线所在直线，2.线段是轴对称图形，线段的中垂线和它自身所在直线也是对称轴
• 20.1.2线段垂直平分线的性质
  • 性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等（可利用全等和尺规作图证明）
    • 几何语言：方法一：∵ ⊥，= ∴= 方法二：∵ 垂直平分 ∴ =
  • 判定1：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（用全等做垂直做中线做角平分线都可解决）
    • 几何语言：∵ = = ∴点，点在线段的垂直平分线上（两点才能确定一条直线） ∴ 是 的垂直平分线
  • 由性质一和判定一可知：那条直线可以看成与两点 的距离相等的所有点的集合
  • 尺规作图
    • 经过已知直线外一点做这条直线的垂线（也就是做垂直平分线用判定）：任取一点K，使点K和点C在AB两旁（使相交能出现两点） 以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于D和E（使CD=CE） 分别以点D和点E为圆心，大于二分之一DE（使相交）的长为半径作弧，两弧相交于点F（使DF=FE） 直线CF即为所求
    • 点A和点B关于某条直线成轴对称，做这条直线（做垂直平分线，中线，用判定）：以A，B为圆心，大于二分之一AB长为半径画弧 两弧相交于点C，D 直线CD即为所求
  • 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对对应点，做出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴
  • 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点倒三角形三个顶点距离相等（根据性质和判定可证明，两条边的垂直平分线）
• 20.2画轴对称图形
  • 又一个平面图形可以得到与他关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状大小完全形同，新图形上的每一个点都是原图形的某一点关于直线的对称点，连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分
  • 画法：量——作垂——连接
  • 对称点坐标：若（x，y）关于x轴对称那么对称点坐标为（x，-y），y轴为（-x，y） （互为相反数） 关于原点对称都为相反数（-x，-y）
• 基本型
  • 含三十度角的直角三角形（369△）
    • 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的角的直角边等于斜边的一半
      • 几何语言：在Rt△ABC中，∠=90° ∠=30° ∴ =½
  • 十字型
  • 共底双等腰
    • ∠左1左2=∠右1右2 ∠左右2=∠左右1
  • 错位角平分线
    • 一边一角构全等（给边给角都行） 平行八字——等腰 双垂
  • 做平行出等腰知二推一
• 20.3.2等边三角形
  • 三边都相等的三角形（特殊的等腰，正三角形）
  • 性质：1三边都相等（∵ △ABC是等边三角形∴ = = ） 2三个角都相等且每个角都是60°（∵ △ABC为等边三角形∴∠=∠=∠=60°） 3每条边上都有三线合一 4有对称性，是轴对称图形且有三条对称轴
  • 判定：1∵ = = ∴△ 2∵∠=∠=∠∴△ 3有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形(底角和顶角为60°时都成立） ∵∠=60° ， = ∴△
• 20.3.1等腰三角形
  • 有两边相等的三角形叫做等腰三角形
  • 性质1：等腰三角形两个底角相等（等边对等角）
    • 几何语言：在△ABC中 ∵AB=AC ∴∠ =∠
  • • 性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（三线合一）
      • 几何语言：在△ABC中 ∵ = ，⊥ ∴∠=∠ ， =
  • 性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是（三线合一那三条线）所在直线
  • 顶角为36°的等腰三角形，它的底角的平分线把这个三角形分成两个小等腰
  • 判定1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
  • 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形
  • 尺规作图1：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，做这个等腰三角形 做线段AB=a 做线段AB的垂直平分线MN与AB相交于点D 在MN上取点C，使DC=h 连接AC，BC，则△ABC即为所求三角形
  • 尺规作图2：过直线上一点作已知线段垂线：可用全等，三线合一，垂直平分线判定，或者倒角
  • 证明等腰三角形
    • 可用判定和定义
  • Tip：是底边上的中线与底边上的高重合时，判定三角形为等腰（根据的是垂直平分线的性质不是根据三线合一！且三线合一无判定不可逆用）
  • 等腰三角形存在性问题：两圆一线法
    • 腰相等：两圆 底相等：一线（垂直平分线）
      • 舍点：1重合点 2共线点
• 20.4最短路径问题
  • 两点之间线段最短（在线段异侧时，连接两点。即为最短）
  • 在同侧时，做其中一点对称点转移到异侧，再连接
  • 造桥选址：通过平移，转移在连接