线性代数第二章

线性代数第二章矩阵及其运算知识梳理，包括线性方程组和矩阵、矩阵的运算、逆矩阵、克拉默法则、矩阵分块法等等。

矩阵及其运算

• 线性方程组和矩阵
  • 矩阵的概念：m*n个数排列成的m行n列的一个表格，简记为A
  • 零矩阵：如果一个矩阵的所有元素都是零，则称这个矩阵为零矩阵，简记为O
  • 同型矩阵：行数和列数相等
  • 矩阵相等：同行矩阵且各元素相等
  • 特殊矩阵
    • 对角矩阵
    • 单位矩阵
    • 上三角矩阵
    • 下三角矩阵
• 矩阵的运算
  • 矩阵的加法：对应元素相加
    • A+B=B+A
    • (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C
    • A+O=O+A=A
    • A+(-A)=O
  • 数乘矩阵：数乘上矩阵的每个元素
    • k(mA)=m(kA)=(mk)A
    • (k+m)A=kA+mA
    • k(A+B)=kA+kB
    • 1A=A,0A=O
  • 矩阵的乘法：Cij=A的第i行与B的第j行元素对应相乘后累加
    • （AB)C=A(BC)=ABC
    • A(B+C)=AB+AC
    • (A+B)C=AC+BC
    • AE=A,EA=A
    • k个A连乘=A的k次方
    • 注意
      • AB不等于BA
      • AB=0不能推得A=0或B=0
      • AB=AC且A不等于0，不能推得B=C
  • 矩阵的转置：将A的行列互换得到A的转置矩阵
    • A与B和的转置等于A与B转置的和
    • kA的转置等于k乘上A的转置
    • AB的积的转置等于B的转置与A的转置的乘积
    • A的转置的转置=A
    • 对称矩阵与反对称矩阵
  • 伴随矩阵:取各个元素的代数余子式后转置
    • AA*=A*A=|A|E
  • 方阵行列式公式
    • A的转置的行列式=A的行列式
    • kA的行列式=A的行列式乘以k的n次方
    • AB的行列式=A的行列式乘以B的行列式
    • A的k次方的行列式等于A的行列式的k次方
• 逆矩阵
  • 定义：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵
  • 命题：如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的
  • 性质
    • 如果A可逆，则A的逆矩阵也可逆
    • 如果A可逆且k不为0，则kA也可逆，kA的逆矩阵=k分之一乘以A的逆矩阵
    • 如果A与B均可逆，则AB可逆
  • 定理：如果A可逆，则A的行列式不为零
• 克拉默法则
  • 在第一章中由求解线性方程组引入
    • |A|=0：没有解或有两个及以上的解，|A|不等于0则有唯一解
    • 使用条件：A为n阶方阵
    • 逆否命题同样成立：若Ax=b，则|A|=0
    • 克拉默法则常用于求解特殊的抽象矩阵，在求解具体线性方程组时不常用
• 矩阵分块法
  • 目的：简化矩阵的运算
  • 分块矩阵的运算（选择适当的分块，使其出现一些特殊矩阵从而简化运算）
    • 常见特殊矩阵：零矩阵、单位矩阵、对角阵、A\-A
    • 加法
      • 对应子块相加
      • 要求：两个矩阵为同型矩阵，对应子块为同型矩阵
    • 数乘
      • 对应子块乘上常数
    • 转置
      • 先大转，后小转
    • 乘法
      • 与矩阵乘法规则相同
      • 可实施条件
        • A矩阵的列型=B矩阵的行行
        • A行型——C行型
        • B列型——C列型
      • 分块矩阵乘对角阵
        • 左乘变行
        • 右乘变列
    • 分块对角阵
      • 分块矩阵行列式的运算
        • 对角线上的行列式相乘
      • 同型号对角矩阵乘积
        • 对应子块相乘
      • 分块矩阵的方幂
        • 对应子块方幂
      • 分块对角阵的可逆条件
        • 任意子块的行列式不为零
      • 两种重要的分块法
        • 按行分块
        • 按列分块
    • 课本第51页
      • 矩阵A=O的充分必要条件是方阵ATA=O
      • 列向量a=0D充分必要条件为aTa=0
• 2253246王策
• 9.28线代作业