第六章 平面几何（考2-4题）

平面几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度，位置关系）。

第六章

• 重点考向
  • 6-01 平行直线
    • 同位角，内错角相等；同旁内角互补
    • 直线被一组平行线截得的线段成比例
      • 上/下=上/下；左/右=左/右
  • 6-02 三角形
    • 角
      • 三角形内角之和等于180度
      • 三角形的外角等于不相邻的两个内角之和
    • 边
      • ①任意两边之和大于第三边
        • a+b>c，a+c>b，b+c>a
        • 若知道c为最大边，则只需满足a+b>c即可
      • ②任意两边之差小于第三边
        • a-b<c，a-c<b，b-c<a
        • 若知道c为最小边，则只需满足a-b<c即可
      • 两个条件等价， 只需满足其一即可
    • 角与边的关系
      • 定性规律：大边对大角，等边对等角
      • 定量规律：正弦定理
    • 中线
      • 已知三角形的两边AB,AC的长度，当角A在（0°，180°）之前变化时，求BC的中线AD的取值范围
    • 面积“三公式两定理”
      • 基本面积公式
        • • 等高（共顶点，底边共线），面积之比等于底边之比
          • 同底（有重合边），面积之比等于高之比
          • 同底等高，面积相等
            • 推导出：梯形的两个翅膀相等
        • • 当a,b固定，C为直角时，面积最大（因为sin90°=1最大）
      • 两条定理
        • ①鸟头定理（共角三角形定理）
          • 共角三角形：两个三角形出现共角、等角、互补角
          • 共角三角形的面积之比等于对应角两夹边的乘积之比
        • ②燕尾定理（三角形内一点与各顶点的连线）
          • 三角形ABC内有一点O与三个顶点相连
          • 本质是等高，面积之比=底边之比
    • 特殊三角形
      • 直角三角形
        • 勾股定理
        • 已知直角三角形的直角边为a,b，斜边为c，求斜边上的高h
        • 等腰直接三角形
      • 等边三角形（设边长为a）
        • 等边三角形四心合一
      • 等腰三角形
        • 腰长为a,顶角为120°
    • 全等与相似
      • 三角形的全等
        • 定义：形状相同，大小相同
        • 判别：①边边边；②边角边；③角边角；④角角边
        • 性质：两个三角形等价
        • 应用：折叠、旋转、对称
      • 三角形的相似
        • 定义：形状相同，大小成比例
        • 判别：角角
        • 性质
          • 对应边、高、中线、角平分线、周长的比等于相似比
          • 面积等于相似比的平方
        • 应用：平行
          • 金字塔相似、沙漏相似
          • 所有的等边三角形都相似
  • 6-03 四边形
    • 任意四边形，连接各边中点所得图形的面积是原来的一半
    • 正方形
      • 圆的内接正方形面积是圆的外切正方形的面积的一半
    • 长方形
    • 菱形
      • 对角线互相垂直平分
      • 面积=对角线之积的一半
      • 拓展：凡是对角线互相垂直的四边形，面积=对角线之积的一半
    • 平行四边形
      • 面积=底*高
      • 核心：对角线
      • 如果没有其他要求，可以将平行四边形特殊为矩形或正方形
    • 梯形
      • 中位线=（上底+下底）/2
      • 面积=（上底+下底）/2 *高=中位线*高
      • 梯形的蝴性定理
        • • （交叉相乘）
        • （相似三角形面积之比=相似边比的平方）
        • (梯形的两个翅膀面积相等)
    • 不规则四边形
      • 蝶形定理
        • （根据等高三角形面积之比=底之比）
        • （交叉相乘）
        • (等比定理）
      • 分割成三角形或特殊四边形求解
  • 多边形
    • 做辅助线（一般连接对角线），分割为若干个三角形求解

第六章

• 难点考向
  • 6-04 三角形的四心五线
    • 内心
      • 位置：角平分线的交点
      • 特征：内心到三边距离相等
      • 三角形面积S，内切圆半径r
        • 直角三角形（a,b为直角边，c为斜边）
        • 等边三角形（边长为a）
    • 外心
      • 位置：三边中垂线的交点
        • AB的中垂线：过AB的中点且垂直于AB
        • 中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等
      • 特征：外心到三个顶点的距离相等
      • 三角形面积S，外接圆半径r
        • 直角三角形（a,b为直角边，c为斜边）
          • 表示直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上
          • 表示斜边是外接圆的直径
          • 拓展：直径所对的圆周角一定是直角
        • 等边三角形（边长为a）
          • 等边三角形外接圆的半径是内切圆半径的两倍
    • 重心
      • 位置：三条中线的交点
        • 中线：连接一个顶点和它对边中点的线段
        • 三角形三条中线全在三角形的内部
        • 中线把三角形分成两个面积相等的三角形
        • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（因为直角三角形外心到三个顶点的距离相等）
      • 性质
        • ①重心将中线分成长度为2:1的两段
        • ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
        • ③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均值
        • ④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
        • ⑤重心是三角形内到三边距离之积最大的点
        • ⑥过重心做三角形任一条边的平行线，将该边分为2:1
    • 垂心
      • 位置：三条高的交点
    • 中位线
      • ①连接任意两边的中点位中位线，中位线平行且=对应底边的一半
      • ②三角形中共有三条中位线，三条中位线重新组合成了一个三角形，其周长为原三角形的一半
      • ③三条中位线将原三角形分割成面积相等的4个小三角形
    • 注意
      • 内心、重心永远在三角形内部
      • 外心、垂心
        • 锐角三角形：在三角形内部
        • 直角三角形：外心（在斜边中点）、垂心（在直角顶点）
        • 钝角三角形：在三角形外部
  • 6-05 圆与扇形
    • 角的弧度
      • 角度与弧度的换算关系
    • 圆
    • 扇形
      • 弧长
      • 面积
  • 6-06 综合题
    • 直角三角形
      • 勾股定理
        • • 3,4,5
            • 6,8,10
              • 9,12,15
          • 5,12,13
            • 7,24,25
              • 8,15,17
      • 射影定理
        • 直角三角形ABC中，斜边AB上的高为CD
      • 斜高关系
    • 一般三角形
      • 正弦定理
      • 余弦定理
      • 中线定理
        • 已知三角形三边长，求中线？——中线定理
          • 设三角形ABC 中，BC边上的中线为AD，则有
          • （推导见课本P164）
      • 角平分线定理
        • 角平分线上的一点到两边的距离相等
        • 已知三角形三边长，求角平分线长？——角平分线定理
          • 已知三角形ABC中∠A的角平分线为AD，则有