高等代数 行列式总结

详细总结了大学高等代数行列式一章的知识点，包括：排列、n阶行列式计算、矩阵、Cramer法则、n阶行列式性质、简单行列式。

行列式

• 排列
  • 逆序
    • 逆序数为奇数
      • 奇排列
    • 逆序数为偶数
      • 偶排列
  • 对换
    • 改变排列奇偶性
• n阶行列式计算
  • 利用n阶行列式定义计算
  • 利用行列式性质计算
    • 将其化成特殊行列式进行计算（例如上下三角形等）
  • 降阶法
    • 利用余子式与代数余子式（当i+j为偶数时，余子式等于代数余子式）
      • 定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和
      • 推论：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0
      • 子主题
  • 范德蒙行列式
  • 数学归纳法
    • 利用不完全归纳找出n、n-1、n-2之间的关系
  • 递推法
    • 利用行列式按行（列）展开性质，得到原行列式于同类型的低阶行列式之间递推关系式
  • 升阶法（加边法）
    • 大多添加在首行首列或末行末列，也可添加在一般行一般列的位置
• 矩阵
  • 矩阵的相等
    • 即矩阵的行数与列数分别相等且矩阵对应位置对应元素都相等
  • 矩阵的初等变换（万能变换）
    • 初等行变换
    • 初等列变换
    • 1.以数域P中一个非零数k乘矩阵的一行（列）2.把矩阵某一行（列）的k倍加到另一行（列）3.互换矩阵中两行（列）位置
• Cramer法则
  • 利用其解线性方程组
  • 两个条件
    • 方程个数等于未知数个数
    • 系数行列式≠0
  • 定理
    • 如果线性方程组的系数行列式D≠0，则其一定有解，且解为1
  • 推论
    • 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则其系数行列式值必为0
      • 与定理互为逆否命题
• n阶行列式性质
  • 不变性
    • 行列互换，行列式不变（转置不影响行列式的值）
  • 数乘性
    • 行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外
  • 可加性
    • 行列式某一行（列）的元素都是两数之和，则可按此行（列）可拆成两行列式之和
  • 必为0
    • 行列式中有两行列相同，则行列式值为0
    • 行列式某一行（列）为0，则此行列式为0
    • 行列式中某行（列）成比例，则行列式值为0（性质2、4可得）
  • 反号性
    • 对换行列式两行（列）位置，则行列式反号
  • 不变性
    • 将行列式某一行（列）的倍数加到另一行（列）则行列式值不变（性质3、6可得）
• 简单行列式
  • 一阶行列式
    • 注：是行列式符号，不是绝对值
  • 二阶行列式
    • 计算方法
      • 对角线法则
  • 三阶行列式
    • 计算方法
      • 对角线法则
      • 沙路法