数学思维导图

高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分，中学的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。

函数、连续与极限

1. 集合与函数

集合

概念

NÌZÌQÌR

自然数集N

整数集Z

正整数 Z+

负整数Z-

有理数集Q

实数集R

邻域

设a与d为两个实数，且d>0，数集{||x-a|<d}称为点a的d邻域

区间

区间的长度为有限的线段

分类：有限集、无限集、空集

运算：

并、交、差、补

余集性质：对偶性质

（AUB)c=Ac交Bc (A交B)c=AcUBc

直积

直积结果是矩形

函数

定义域

值域

特殊函数

绝对值函数

符号函数

取整函数

设x为任意实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作{x}，定义域为D=负无穷到正无穷。eg：{0.5}=0，{-0.5}=-1

基本初等函数

y=secx=1\cosx,y=cscx=1\sinx

幂函数

指数函数

对数函数

运算性质



三角函数



反三角函数



2. 数列的极限定义与计算

计算

极限的定义只能用来验证极限，而不能计算数列的极限

概念

对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。 证明：对任意的c >0，解不等式 | 1/ Vn|=1/ Vn<ε 得n>1/ ε2，取N=[1/ ε2]+1。 于是，对任意的ε >0， 总存在自然数取N=[1/ ε2]+1。 当n>N时，有| 1/n| <ε 故1im(n->∞)(1/ J n)=0。

类型

等差数列



等比数列

3. 函数的极限定义与计算

定义

无穷大

x>0且|x|无限增大

x<0且|x|无限增大

x既可正也可负，且|x|无限增大

固定值

计算

方法

1. 同除最高次幂

2. 因式分解法

3. 根式有理化

4. 公式法则

4. 极限的证明与性质

函数极限性质

唯一性

局部有界性

局部保号性

数列极限性质

1||| 极限的唯一性

数列{Xn}不能收敛于两个不同的极限；可收敛于两个相同的极限

2||| 收敛数列的有界性

如果数列收敛，则该数列一定有界；若数列无界，则数列一定是发散的

3||| 收敛数列的保号性

4||| 如果数列{Xn}收敛于a，则它的子数列{Xnk}也收敛于a

定义证明

放缩法

定义法

浮动主题