矩阵思维导图2

这是一篇关于矩阵思维导图2的思维导图。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

矩阵

• 矩阵的线性运算
  • 加法
    • A+B=(aij+bij)m×n
      • 1A,B为同型矩阵。2两矩阵对应位置元素相加
    • 负矩阵
      • -A=(aij)m×n
    • 减法
      • A－B=A+(-B)=(aij-bij)m×n
  • 数乘
    • 记作λA
• 矩阵的乘法
  • 记作AB
    • 乘积规则：对应位置元素乘积之和
    • 乘积条件：前列数=后行数
    • 乘积规模（结果）：前行数后列数
  • 注意：1不满足交换律2两个非零矩阵相乘可能结果是零3不满足消去律
  • 若AB=BA，则称A,B相乘可换。
    • 单位矩阵与同阶方阵
    • 数量矩阵与同阶方阵
    • 同阶对角矩阵
• 方阵的幂
  • 规定A的零次方=E
  • 方法
    • 1归纳法
    • 2拆分法
    • 3矩阵A各行成比例，可以分为列矩阵和行矩阵的乘积
  • 方阵的多项式
• 矩阵的转置
  • 将Am×n的行与列互换，得到n×m的矩阵，称为A的转置矩阵
    • 记为A’
    • 性质
      • 1（A’）=A
      • 2（A+B)'=A'+B'
      • 3(KA)'=KA'
      • 4(AB)'=B'A'
  • 对称矩阵：满足A'=A,即aij=aji
    • 对称矩阵的元素关于矩阵的主对角线对称
      • 例子：AA',A'A,A+A'
  • 反对称矩阵：满足A'=-A,即aij=-aji
    • 反对称矩阵主对角线上的元素全为0
      • 例子：A-A'
  • 证明A对称的方法是验证A'=A
  • 任何方阵A都可以表示为对称矩阵和反对称矩阵之和
  • AB对称的充分必要条件是AB=BA
• 逆矩阵
  • 对于方阵An,存在Bn使得AB=BA=E，则称A可逆，或者称非奇异矩阵，矩阵B叫做A的逆矩阵
    • 记为A⁻¹
    • 注意：A⁻¹≠E/A,A⁻¹≠1/A
  • 注
    • （1)如果A可逆，则逆矩阵是唯一的
    • （2）如果A可逆,则 A⁻¹A=AA⁻¹=E
    • （3)如果AX=B,A可逆,则 X=A⁻¹B
    • (4)可逆定义可以削弱为：若AB=E，则A可逆
    • （5)证明 A⁻¹= B 的方法是去验证AB=E
    • (6)如果A,B可逆,k≠0,则
      • ①kA可逆,且 (kA)⁻¹=1/kA⁻¹
      • ②AB可逆,且 (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
      • ③A′也可逆,且 (A′)⁻¹= (A⁻¹)′
      • ④A+B不一定可逆
• 分块矩阵
  • 将矩阵A用若干横线和竖线分成一些行数列数较少的矩阵，称它们为A的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
    • 把每一个子块当作元素
  • 运算规则
    • 加法，数乘，乘法，可逆
    • 设A为n阶方阵，若A的分块矩阵除在主对角线上有非零子块外，其余子块均为零矩阵，且主对角线上的子块都是方阵，则称A为准对角分块矩阵
  • 准上三角形分块矩阵
    • 准上三角形分块矩阵的逆矩阵也为准上三角形分块矩阵
      • 1主对角线上的子块取逆
      • 2用A⁻¹左乘C，B⁻¹右乘C,前面取负