考研数学二之线性代数

基于李永乐考研数学二的讲义以及讲解视频，整理相关知识点和总结，补充一些基本题型和解答思路。考研复习时整理，尽量达到全面有重点。

线性代数

1. 导学

向量是难点，重点是方程组和特征值（解答题），二次型近年多考

2. 行列式

2.1 定义

行列式是基于方阵计算的一个数，记忆二阶和三阶的计算顺序

基本定义和推广式

2.2 性质

方阵转置，行列式不变

行（列）互换，行列式变号

某行（列）公因式可提取

行列式拆解：某行（列）元素分解为两个数的和

倍加：将某行的K倍加到另一行，行列式不变

2.3. 展开公式

2.3.1 代数余子式

余子式：去掉第i行第j列

代数余子式：（-1）^(i+j)

2.3.2 行列式展开公式

按照某一行（列）展开计算：各个元素与对应代数余子式的乘积之和

2.3.3 行列式重要计算公式

三角矩阵

主对角线乘积

副对角线乘积*（-1）^k；k = (N*N-1)/2

拉普拉斯

矩阵分块：四块中至少一块为零

零块位于主对角线

副对角线分块行列式之积*(-1)^(m*n)

零块位于副对角线

副对角线分块行列式之积

范德蒙

每一列中各行元素以X_j倍递增

每两列倍数差（X_i-X_j）的乘积

2.4. 克拉默法则

行列式不为零

方程组有唯一解

齐次方程组唯一零解

行列式为零

方程组无穷解

齐次方程组有非零解

克拉默多用于齐次方程组和证明行列式为零

非齐次方程组多用加减消元求解

2.5 运用

|A| = 0

证明方法

齐次方程组有非零解

方阵的秩r(n)<n

0是方阵的一个特征值

|A| = -|A|

应用

齐次方程组求解

伴随矩阵求逆

向量线性相关

可逆证明

特征值计算

二次型正定

题型

行列式计算

三角化的技巧

计算公式

|kA| = k^N * |A|

|AB| = |A|*|B|

|A*| = |A|^(N-1)

|A^(-1)| = |A|^(-1) = 1/|A|

A ~ B --> |A+kE| = |B+kE|

抽象行列式

|A+B|型

向量拆解（提公因式+行列式拆分）

关键是构造出原来的|A|和|B|

单位矩阵E = A*A^(-1)的使用

关键是将|A+B|尽可能利用E提取公因式转为|CD|=|C|*|D|

AB=0，且B!=0

齐次方程组Ax=0有非零解，故|A|=0

3. 矩阵

3.1 基本概念

矩阵是m*n的表格

运算

加法与数乘--涉及矩阵的各个元素

乘法：限制非常多，基本不能推导

转置

矩阵和的转置等于转置的和

（AB）^T = B^T * A^T

对角矩阵

对角矩阵的k次幂（n或-1）等于各个对角的元素的k次幂

3.2 伴随矩阵与可逆矩阵

伴随矩阵

定义

原矩阵的第i行元素的代数余子式变为伴随矩阵的第i列元素

二阶矩阵的伴随：主对角线互换，副对角线变号

基本性质

A*A=AA*=|A|E

A^(-1) = A*/|A|

运算公式

伴随矩阵的倍乘

伴随矩阵的行列式

伴随矩阵的秩

伴随矩阵的转置

伴随矩阵的伴随矩阵

伴随矩阵的逆

可逆矩阵（非奇异矩阵）

AB=BA=E， B是A的逆矩阵B=A^(-1)，A是可逆矩阵【A,B都是方阵】

基本定理

A的逆矩阵B唯一

A可逆，则｜A|!=0

AB = E, 且A，B都是N阶，则BA＝E；反之不成立

计算公式

逆矩阵的倍乘

矩阵乘积的逆

逆矩阵的转置

逆矩阵的求解方法

定义法AB＝E

伴随矩阵求逆 A^(-1)=A*/|A|

初等行变换： A|E--->E|A^(-1)

分块矩阵

正交矩阵

方阵A满足A^T A = A A^T = E

性质

A的逆等于A的转置

A的行列式平方等于1

3.3 初等矩阵与初等变换

初等行（列）变换

倍乘

行（列）互换

倍加

矩阵等价：矩阵A经过有限次初等变换等到矩阵B，则A等价于B 充分必要条件：存在可逆矩阵P, Q使得PAQ = B

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

乘法意义

初等矩阵左乘矩阵A相当于矩阵A做一次初等行变换

矩阵A左乘一个初等矩阵相当于矩阵A做一次初等列变换

初等矩阵一定可逆，其逆矩阵是同类型的初等矩阵

倍加矩阵的逆是倍减矩阵

互换矩阵的逆是其本身

倍乘矩阵的逆是倍除矩阵

可逆矩阵一定可以表示为若干初等矩阵的乘积，即可逆矩阵等价于单位矩阵E

特殊矩阵

行阶梯矩阵

零行位于矩阵底部

非零行的主元位置下方元素都是零

行最简矩阵

一定是行阶梯矩阵

非零行主元为１

非零行主元所在列的其他元素都是零

分块矩阵

分块矩阵的转置

主对角线元素求转置，副对角线求转置并调换位置

分块矩阵n阶乘法

对于主对角矩阵：主对角线元素的n阶

对角分块矩阵的逆

对于主对角矩阵：主对角线元素的逆

副对角矩阵：副对角线元素求逆调换位置

矩阵的秩

矩阵的非零子式的最高阶数

矩阵的秩=行秩=列秩

矩阵经过初等变换秩不变

3.4 运用总结

n阶方阵可逆的等价形式

行列式不为零：|A| !=0

r(A) = n

行列向量组线性无关

矩阵等于多个初等矩阵的乘积

矩阵等价单位矩阵

特征值不含0

矩阵与行列式的相关公式

行列式

转置

伴随矩阵

逆矩阵

矩阵的秩

题型

矩阵的n次方

r(A) = 1-->将矩阵A分解行列向量相乘，A*A = kA

A = E + B， A^n = E + nB + n(n-1)/2 B*B

主对角分块矩阵

矩阵相似以及相似对角化，P^(-1)AP = B, P^(-1)A*AP = B*B

伴随矩阵

与逆矩阵的转换

伴随矩阵的秩

逆矩阵

伴随矩阵求逆

初等行变换求逆

定义法：利用单位矩阵

关于AB=0

B的列向量是齐次方程组Ax=0的解

r(B) <= n-r(A)

r(A)+r(B)<=0

关于（Aa）^T (Aa) = 0

Aa是一个向量，则内积||Aa||=0，即Aa=0

矩阵的等价、相似和合同

等价

存在可逆P,Q，满足PAQ = B

r(A) = r(B)

相似

P^(-1)AP = B

必要条件

行列式相等

迹相等

合同

存在可逆矩阵C，(C^T)AC = B

充分非必要条件

实对称矩阵AB相似

可相似对角化---->存在正交矩阵

4. 向量

4.1 线性表示

向量b是向量组a1,..,an的线性组合，则b可以由a线性表示

非齐次Ax=b方程组有解

r(a1, .., an) = r(a1, .., an, b)

向量组的表示

向量组等价：两个向量组可以相互表示 （各自的每一个向量都可以由另一个向量组线性表示） 与矩阵等价无关

一个向量组a1,...,an可由向量组b1,..,bn表示，则r(a1,..,an) <= r(b1,..,bn)

判断方法

克拉默法则--系数矩阵（不是增广矩阵）的行列式是否为零

|A| = 0， 看增广矩阵

|A| ！=0，唯一解

直接看增广矩阵的自由变量（n-主元数）的个数<--->系数矩阵与增广矩阵的秩相等

4.2 线性相关与无关

线性相关定义

存在不全为0的实数使得向量组的线性组合等于0

线性判断

线性相关等价于齐次方程组有非零解

一般不确定哪些是无关组，不要使用待定方程组的思路 |A|=0的判断适用于向量已知的情况

n个n维的向量--|A|=0

n+1个n维向量一定线性相关

向量组成员

存在零向量成员必定相关

两个向量成员成比例必定相关

唯一线性表示

b可由无关向量组a1,..,an表示则必定是唯一的

无关向量组的正交化

正交向量组

施密特正交化

正交向量组的单位化

4.3 秩的概念

向量组的秩

极大无关向量组：可以表示整个向量组的最大无关子向量组

向量组的一个极大线性无关组的向量个数即为向量组的秩

向量组的极大线性无关组一般不唯一，但是向量组的秩是确定的

向量组等价则秩相等，反之不成立

求解思路

向量组矩阵行变换化简得到矩阵的秩

矩阵的秩

k阶子式：矩阵中任取k行k列交叉重叠的行列式

矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数

求解思路

计算子式（低阶矩阵时）

初等行变换计算主元

4.4 题型

相关无关判断

线性相关判断

向量组成员

存在零向量成员必定相关

两个向量成员成比例必定相关

具体向量已知

线性相关等价于齐次方程组有非零解

一般不确定哪些是无关组，不要使用待定方程组的思路 |A|=0的判断适用于向量已知的情况

n个n维的向量--|A|=0

n+1个n维向量一定线性相关

向量具体数值未知

定义法：证明ka=0时k全为零

秩的判断

技巧

定义式左乘

特征值与特征向量

线性表示

非齐次方程组的解

增广矩阵

5. 线性方程组

同解变形：行变换（不可列变换，向量组无关判断等价于齐次方程组有非零解同理） 解的判断：方程组的解的情况都是根据矩阵的秩判断

5.1 齐次线性方程组

解的判断

一定有零解

非零解（有则有无数个）

等价于系数矩阵的秩r(A)<n

对于m*n系数矩阵

m=n，|A|=0

m<n，必有非零解

解的解构

系数矩阵的秩r(A)<n，则齐次方程组有n-r(A)个无关的解

基础解系

无关解向量的任意线性组合

解向量是系数矩阵0特征值的特征向量

计算方法

系数矩阵进行行变换得到行阶梯矩阵

根据主元位置判断自由变量

根据自由变量的特解确定解向量

5.2 非齐次方程组

有解判断

等价于系数矩阵和增广矩阵的秩相等r(A)=r(A`)

唯一解：秩r=n

无穷解：r<n

无解等价于增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大1

行阶梯矩阵最后一行只有最后一个元素

非齐次方程组无解，则系数矩阵|A|=0；反之不成立

系数矩阵行向量无关即r(A)=n,则非齐次方程组必定有解；反之不成立

解的结构

性质

非齐次方程组的两个解之差是对应齐次方程组的解

非齐次方程组的一个解加上对应齐次方程组一个解的任意倍结果仍是非齐次方程组的解

结构

非齐次方程组的解等于一个特解加上对应齐次方程组基础解析的任意线性组合

计算

增广矩阵行变换化简行阶梯矩阵

判断解的情况

利用对应系数矩阵求基础解析---自由变量逐个取1

利用增广矩阵求特解---自由变量全取0

5.3 两个方程组的公共解与特解

将两个方程组联立求解

令两个方程组的通解相等

将其中一个通解代入另一个方程组

注意利用其中一个或者对比两个方程组判断解的情况

5.4 应用

无关判断与齐次方程组的非零解

线性表示与非齐次方程组的解

AP=B，求P（P的列向量为非齐次方程组的解）

A可逆，X直接可求

A不可逆，增广矩阵AB同时高斯消元

注意多个方程组的常数项是否有约束（P是否有限制）

特征向量Aa = ka, 求向量a

5.5 题型

齐次方程组求解

系数矩阵行变换

判断解的情况

解的结构

对于方阵也可以直接计算行列式判断解

非齐次方程组

增广矩阵行变换

根据秩或者自由变量判断解

求出基础解系和特解

抽象方程组

利用解的性质解的结构

关键在于利用秩确定通解形式（特解和解向量个数）

6. 特征值与特征向量

6.1特征值与特征向量

定义：Aa = ka， k是n维非零向量

a是（kE-A）x=0的非零解

|kE-A| = 0

每一个特征值都有无穷多个特征向量

求解

特征值求解：|kE-A| = 0，求出n个特征值（含重根）

将每个特征值代入(kE-A)x = 0求基础解析得对应的特征向量

不同特征值的特征向量线性无关

不含重根的特征值的特征向量也是无关的

m重根特征值ki最多有m个无关特征向量

性质

k是矩阵A的特征值，a是对应的特征向量

k+x是A+xE的特征值

寻找简单的B满足A = B + kE

k*k是矩阵A*A的特征值

A可逆，k是A的特征值

1/k是A的逆的特征值

|A|/k是A的伴随的特征值

矩阵A的所有特征值乘积等于A的行列式

矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线元素之和（迹）

6.2 相似矩阵

定义

存在可逆矩阵P，满足P^(-1)AP = B，则A与B相似

性质

自反性

传递性

利用对角矩阵做中介，证明A与B相似

其他

A～B，则A+kE ~ B+kE

A^n ~ B^n；常利用对角矩阵

相似判断（必要性）

所有特征值相同

秩相等

行列式相等

迹（主对角线元素之和）相等

矩阵等价

矩阵的转置，逆矩阵，伴随矩阵也对应相等

应用

相似求行列式

A～B，则A+kE ~ B+kE

相似求秩

A~B，r(A) = r(B)

A~B，求P

一般利用相似对角化

相似对角化

存在可逆矩阵P，P^(-1)AP是对角矩阵

等价于A有ｎ个线性无关的特征向量

充分条件

A有n个不同的特征值

A是对称矩阵

目标对角矩阵各列元素和P的各个列向量是矩阵A的特征值和对应特征向量

求满足相似对角化的可逆矩阵P

求解矩阵A的特征值与特征向量

6.3 实对称矩阵

基本定理

特征值必定是实数

不同特征值的特征向量必定正交

必定可以相似对角化

正交矩阵实现

求解特征值

求解特征向量

无重根

直接单位化

不同特征值的特征向量必定正交

有重根

将重根的特征向量进行施密特正交化

构造正交矩阵

可逆矩阵实现

6.4 题型

特征值与特征向量计算

数字型：|kE-A|直接计算以及A＝B+xE转化

抽象型：某行之和为常数，方程组的通解， A的方程式

无关列向量-->矩阵P，转化相似矩阵求特征值

相似矩阵

求行列式

求秩

相似判断

相似对角化判断

求解可逆矩阵P（特征向量）

7. 二次型

7.1 基本概念定理

二次型及其矩阵表示

f(x) = x^T A x

函数的元数等于矩阵A的阶数

矩阵A对称

标准型

只有平方项，没有混合项

矩阵A是对角矩阵

规范型

系数只能是0, 1, -1的标准型

正负惯性指数

标准型正负系数的个数

二次型的秩

矩阵A的秩

坐标变换

存在可逆矩阵C，使得x = Cy

坐标变换一定存在无穷多个，即变换矩阵C不唯一

任意二次型经过坐标变换可以得到标准型

合同

存在可逆矩阵C，满足C^T A C = B，则A与B合同

合同矩阵C不唯一

合同具有自反性，传递性等基本性质

两个二次型矩阵合同，则正负惯性指数相同

基本定理

二次型A经过矩阵变换x=Cy等到关于y的二次型B且C为A与B的合同矩阵

所有的二次型都可以经过坐标变换得到标准型

基于变换矩阵C，原二次型矩阵A与标准型矩阵B合同

惯性定理

二次型经过坐标变换得到的二次型正负惯性指数唯一确定（对于任意的坐标变换）

7.2 标准型

配方法

配方结束需检查变换矩阵C是否可逆（行列式不为零）

正交变换法

利用特征值和特征向量求解正交矩阵Q

基于正交矩阵Q做坐标变换

x^T A x = y^T B y = k_i y_i， B是对角矩阵

正交矩阵Q的逆等于转置

原二次型矩阵A与对角矩阵B合同且相似

7.3 正定二次型

定义

矩阵A与任意非零向量构成的二次型ｆ满足f>0

正定二次型f 的二次项系数必定大于零即正定矩阵A的对角线元素大于零

定理

必要条件（正定判断）

矩阵A的对角线元素大于０

｜A|>0

充分必要条件

正惯性系数p = n

矩阵A与单位矩阵E合同

矩阵A的特征值都是正数

A的各阶顺序子式（以原对角线元素个数为阶）大于0

7.4 题型

二次型的表示与坐标变换

二次型矩阵A一定是对称的，计算得到的非对称矩阵需要调整非对角线的值

坐标变换矩阵C一定是可逆的，使用配方法需要注意检查

标准型

正交变换法

配方法

原二次型没有平方项需要先转换得到平方项

正交变换得到的标准型对角矩阵B与原矩阵A相似且合同（B的对角线元素是A的特征值）

A与B相似

迹相等

行列式相等

规范型

规范型对角矩阵不是原矩阵A的特征值

规范型与标准型的正负惯性指数一致

正定性

判断--必要条件

矩阵A的对角线元素大于０

｜A|>0

正惯性系数p = n

矩阵A与单位矩阵E合同

矩阵A的特征值都是正数

A的各阶顺序子式（以原对角线元素个数为阶）大于0

证明-充分条件

先证明对称性A^T = A

进一步证明正定

特征值都是正数

与E合同

利用已知正定矩阵C进行坐标变换

证明与已知正定矩阵B合同