考研数学二之高等数学

基于考研数学二文都汤家凤复习讲义以及视频讲解笔记整理，主要包括一些需注意的概念定义说明，分章节的知识框架，重点在于各个章节的题型以及解题方法的整理总结（定理的完整定义和具体公式很少罗列，希望读者自行查阅记忆）。笔记中的标记多根据往年真题大致分布选定，主观性较强，请读者留意。

高等数学

• 1. 极限和连续
  • 1.1 极限
    • 三种定义
      • 极限存在 == 左右极限存在且相等
    • 性质
      • 唯一性
      • 保号性
        • 函数在某点去心邻域符号一致
        • 判断极值点
      • 存在性
        • 夹逼定理
          • N项和极限： 齐次----积分式 非齐次---夹逼定理
        • 单调有界数列必有极限
      • 有界性
        • 数列收敛则有界，反之不成立
    • 无穷小
      • 基本性质
      • 等价无穷小
      • 两个重要极限
  • 1.2 连续与间断
    • 连续
      • 函数在某点连续 == 极限值等于函数值 == 函数在该点的左右极限存在且等于函数值
    • 间断
      • 函数在间断点上不满足连续要求（极限等于函数值） 不在定义域上的点： 分段函数 分母含未知数
      • 第一类间断点
        • 左右极限都存在
        • 可去间断点
          • 左右极限相等，但是都不等于函数值
        • 跳跃间断点
          • 左右极限存在但不相等
      • 第二类间断点
        • 左右极限至少有一个不存在
    • 闭区间的连续函数性质
      • 最值定理
      • 有界定理
      • 零点定理
        • 结合罗尔中值定理
      • 介值定理
        • 考点： 函数值相加减
• 2. 导数与微分
  • 2.1 基本概念
    • 导数
      • 两种基本定义式---注意具体分子的意义 导数是极限，可导==左右极限存在且相等 可导一定连续，反之不成立 连续可导是指导函数连续 原函数与导数的奇偶性相反
    • 微分
      • 可微等价于可导
  • 2.2 求导方法
    • 基本函数求导公式
    • 四则运算法则
    • 复合函数求导---链式法则
    • 反函数求导
  • 2.3 求导题型
    • 显函数求导
    • 隐函数求导
      • 等式两边同时对自变量求导 对于幂指函数求导的两个思路： 对数化后求导 以e为底指数化后求导
    • 参数方程求导
      • 利用对参数求导进行转换
    • 分段函数
      • 注意分界点求左右导数
    • 高阶导数
      • 归纳
      • 基本公式
  • 2.4 导数应用
    • 切线
    • 法线
• 3. 一元微分学
  • 3.1 中值定理
    • 1 罗尔(Rolle)定理
      • 罗尔定理的条件仅仅是充分条件不是必要条件 罗尔定理的证明：使用最值定理和极值
    • 2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
      • 拉格朗日的证明：切线-曲线 ----罗尔定理 三种等价形式 两种应用场景
    • 3 柯西(Cauchy)定理
      • 可喜证明：构造函数---罗尔定理
    • 4 洛必达法则
      • 导数极限不存在不说明原极限不存在
    • 5 泰勒(Taylor)定理
      • 泰勒定理
      • 麦克劳林公式
      • 一些初等函数的麦克劳林公式
    • 6 四个中值定理之间的关系
  • 3.2 函数特性
    • 单调性与极值
      • 题型
        • 极值点的判断---三步骤
        • 方程组的解或函数零点
          • 零点定理
          • 单调性
          • 罗尔定理
        • 不等式证明
          • 中值定理
            • 利用中值定理将其中一个不等式求导数，统一格式再比较大小
      • 极值点判断
        • 函数在某点取极值，则该点导数为零或不存在；反之不成立 基本求解步骤： 定义域范围 求解函数的驻点和不可导点 验证判定---一阶导数左右相反；二阶导数单调
    • 凹凸点与拐点
      • 凹凸点
        • 中点函数值与左右端点的比较 判断：二阶导数的正负
      • 拐点
        • 左右凹凸性不同 判断：二阶导数等于零且三阶导数不为零
    • 渐近线
      • 水平渐近线
        • 自变量趋于无穷，函数值趋于某个值
      • 铅直渐近线
        • 自变量趋于某个点，函数值趋于无穷-----只需要左右极限有一个满足即可
      • 斜渐近线
        • 自变量趋于无穷，函数值与自变量的比值f(x)/x趋于a，f(x)-ax趋于b
    • 其他
      • 弧微分
      • 曲率与曲率半径
• 4. 不定积分
  • 4.1 基本定义
    • 原函数
      • 某个导数的原函数如果存在，必定有无数个 连续函数一定存在原函数，反之不成立
    • 不定积分
      • 导函数的不定积分==原函数+C
  • 4.2 求解工具
    • 4.2.1 基本公式
      • 三角函数积分公式
        • si, cos是基础，tan与cot可以利用换元积分法
      • 平方和平方差公式
    • 4.2.2 积分法
      • 换元积分法
        • 第一类换元积分法
          • 从式子中等到f(x)的表达式，再使用t替换
          • 将出现最多的函数变量替换
          • 将函数与对应导函数共存的变量替换
          • 将最复杂的函数变量替换
        • 第二类换元积分法
          • 寻找一个函数f(x)，再将式子中的变量替换
          • 根式替换
          • 三角替换
          • 倒数替换
      • 分部积分法
        • 关键找到易积分的V和易求导的U
        • 基本类型
          • 幂函数（多项式）== U
            • 与三角和指数函数相乘
          • 幂函数（多项式）== V
            • 与反三角和对数函数相乘
        • 表格法
  • 4.3 有理函数不定积分
    • 转化为部分和形式独立求积分
    • 因式分解或待定系数法+部分和独立积分
    • 分母配方+基本不定积分公式
  • 4.4 三角有理函数的不定积分
    • 万能公式替换： sinx = 2u/(1+u^2) cosx = (1-u^2)/(1-u^2) u = tan(x/2)
  • 4.5 分段函数的不定积分
    • 分段求积分，利用分界点统一C
• 5. 定积分
  • 5.1 背景
  • 5.2 定义
    • 积分与区域划分方法无关，但取极限时最大分片趋于零而不是份数趋于无穷 函数有界是函数可积的必要条件 定积分在[0, 1]上积分与n项和的转换 函数可积不一定存在原函数
  • 5.3 定理
    • 积分基本定理
      • 积分上限函数的导数等于被积函数
    • 牛顿莱布尼兹公式
    • 积分法
      • 换元积分法
      • 分部积分法
  • 5.4 一般性质
    • 基本性质
    • 积分中值定理
    • 积分最值定理
    • 积分第一中值定理
  • 5.5 特殊性质
    • 对称区间
    • 三角函数
    • 周期函数
  • 5.6 广义积分（反常积分）
    • 区间无限，函数连续
    • 区间有限，函数无界
  • 5.6 几何应用
    • 面积
    • 体积
    • 曲线长度
• 6. 多元函数微分学
  • 6.1 基本概念
    • 多元极限
    • 多元连续
    • 可导与可偏导
    • 可微
  • 6.2 基本理论
    • 连续可偏导（偏导数连续）--->可微
    • 可微---> 连续; 可微--->可偏导；
  • 6.3 题型
    • 6.3.1 求偏导
      • 显函数
      • 复合函数
        • 重点在于区分一元还是多元：g = f(x, y) 区分符号的个数以及函数变量的个数----使用变量替换 只有含多个变量（不是多个符号）的函数可以求偏导
      • 隐函数
        • 约束条件的个数确定函数的个数 对于多元函数（多个变量的）需要求偏导，同时注意二阶连续可偏导 求多元微分微分先求偏导：du = f_x*dx + f_y*dy
      • 变换求偏导
        • 将f关于x.y的函数方程变为关于u,v的方程
    • 6.3.2 代数应用
      • 无条件极值
        • 无条件极值都是在开区域内部的，出现区域D<=的条件都是求条件极值和无条件极值的综合
        • 一元
        • 多元
          • 定义域 z = f(x, y)
          • 偏导数为零求驻点
          • 判别法
            • f_xx*f_yy-f_xy*f_xy > 0， 是极值点
              • f_xx > 0，极小值点
              • f_xx <0，极大值点
      • 条件极值
        • 函数 z = f(x, y)在条件g(x, y)=0的条件约束下极值（最优解）
        • 法一：拉格朗日乘数法
          • F = f(x,y) - k*g(x, y)， 关于x, y, k的偏导为零
        • 法二：参数方程
        • 法三：一元函数代入
• 7. 二重积分
  • 7.1 定义
  • 7.2 性质
    • 对称性
      • 二重积分代表面积 定义域关于x轴或y轴对称，被积函数的奇偶性 定义域关于y = x或y = -x对称，则被积函数的x, y可以进行对应的互换
  • 7.3 计算方法
    • 直角坐标法
      • 根据定义域确定一个方向的积分范围
      • 借助辅助线，利用函数式确定另一个方向的积分范围
    • 极坐标法
      • 题型特征--被积函数和定义边界含有x*x+y*y
      • 极坐标变化（注意新变量的积分范围）
      • 微分替换
  • 7.4 计算题型
    • 直角坐标变换次序
      • 有的积分不直接可求，需先变换次序
      • 根据积分区间画出定义域草图
        • 注意变换积分次序只会改动积分区间，不影响被积函数
    • 直角坐标与极坐标变换
      • 先换被积函数，再根据定义域转为直角坐标/极坐标
    • 代数应用
      • 普通二重积分
        • 两大计算方法以及对称性的应用
      • 分段函数的二重积分
        • 定义域拆分或重组
      • 被积函数含偏导数
        • 分部积分法
• 8. 微分方程
  • 有可能微分方程不符合标准分类---->使用变量代换转换为标准的微分方程 可分离：f(y) = g(x) 齐次：y` = h(y/x) ---> u = y/x替换 齐次线性：y` + p(x)*y = 0 ----> 公式 非齐线性：y` + p(x)*y = q(x) ---->公式 可降阶： y^(n) = f(x) f(y``, y`, x) = 0 --->y` = p替换，p = h(x) f(y``, y`, y) = 0 --->y` = p替换, p = h(y) 二阶齐次线性：y`` + py` + qy = 0 ---->三种情况三种公式
  • 8.1 一阶微分方程
    • 可分离变量微分方程
      • a. 分离变量（xy分到左右）
      • b. 两边同时积分
    • 齐次微分方程
      • 关键是代入法u = y/x， dy/dx = f(x, y) = g(u)
      • 先求du/(g(u)-u) = dx/x，得到u = h(x)，则y = x*h(x)
    • 一阶齐次线性微分方程
      • dy/dx + P(x)*y = 0；注意与可分离变量以及齐次也可能满足
      • 分离出dy/y = -p(x)*y；两边积分ln|y| =...
    • 一阶非齐线性方程
      • dy/dx + p(x)*y = Q(x)
      • 通解公式
  • 8.2 可降阶的高阶微分方程
    • 普通高阶
      • y^(n) = f(x)---多次积分可求
    • 二阶缺y型
      • 利用p = dy/dx，分别转化y`和y``，目标方程变为关于x和p
      • 求出p的函数式，p = g(x)
      • 两边积分可得 y = {g(x)
    • 二阶缺x型
      • f(y, y`, y`` ) = 0
      • 同理使用 p = y`替换，得到p和y的函数关系式
      • 对p = g(y)两边积分可求
  • 8.3 高阶微分线性方程
    • 二阶常系数齐次微分方程
      • 形如 y`` + py` + qy = 0
      • 特征方程 k^2 + pk +q = 0
      • 特征根的个数
        • p*p -4q > 0
          • 通解公式
        • P*P - 4q =0
          • 通解公式
        • p*p - 4q <0
          • 共轭虚根
    • 二阶常系数非齐次微分方程
• 中值定理应用题型
  • 证明中值的n阶导数=0
    • 关键是找到f(a) = f(b)： 两次零点定理 介值定理
  • 证明不含参数的中值导数等式
    • 一般只差一阶，如导数与原函数；二阶导数与导数
    • 构造函数
      • 还原法
        • 构造f`(x)/f(x)--->lnf(x)
      • 分组法
        • 构造分组g(x）将原式化为g`(x)+g(x)形式
  • 证明含参数的中值导数等式
    • 分离参数a,b
      • 转为拉格朗日导数
      • 转为柯西导数
    • 参数不可分离
      • 构造辅助函数还原，等式转为导数形式
  • 证明含两个或以上的中值导数等式
    • 两个一阶中值导数
      • 三点---两次拉格朗日
    • 其他
      • 构造还原
• 求极限的基本方法
  • 基本工具
    • 注意使用限制条件必须满足，不可随意套用
    • 等价无穷小
      • 只有满足乘除关系
    • 麦克劳林公式
      • 可以直接代入使用
    • 洛必达法则
    • 极限运算法则
  • 题型分类
    • 基本不定型
    • N项和极限
    • 含参数极限条件
    • 含变积分项---洛必达