常微分方程的数值解法

这是一篇关于常微分方程的数值解法的结构思维导图，图中阐述了预测矫正方法，多步法和单步法等。感兴趣的小伙伴可以下载收藏哟

常微分方程的数值解法

• 基本问题
  • 初值问题
    • 离散化方法，转化为各个点的差分方程
      • taylor展开方法
      • 导数化为差商
      • 数值积分方法
    • 误差分析
      • 局部截断误差
        • 每个前面点都是精准的，组合时候出现了误差·
      • 舍入误差
        • 计算前面点信息时候就有误差
• 单步法
  • 只需要用到前面的一点的信息，会导致误差的积累
  • 欧拉法
  • R-K法
    • 用前一点的信息的线性组合虚拟一些点Ki
      • 其中c1 = 0.A1j = 0
    • 二级RK法
      • 误差分析
        • 利用二维函数的泰勒展开
          • 使得误差项中h的阶数尽可能的高
        • 选取不同的的系数，以c2为自由参数
          • 中点方法
          • Heun方法
          • 改进欧拉法
    • 四级RK法
    • 稳定性分析
      • 参考多步法的稳定性分析
        • 2级绝对稳定（-2，0）
        • 3级绝对稳定（-2.51，0）
        • 四级绝对稳定（-2.78，0）
• 多步法
  • 需要用到前面多点的信息
    • ai和bi不能同时为0，成为p+1步法，需要p+1个初始值
    • 显式和隐式方法
      • 隐式的误差小
  • 逼近的精度
    • 对r阶的多项式精确成立，但是r+1不能精确成立
    • p+1最高阶的2p+2
  • 误差分析
    • 对Tn展开
    • r阶
      • 充要条件为c0一直到cr为0
        • Cr+1为误差常数
      • 相容
        • c0 = c1 = 1
  • 构造方式
    • 待定系数法
      • 解cr的系数方程组
        • 选择r = 2p+2为最高阶
      • 可以选择自由参数得到多种方法·
  • 敛散性分析
    • 收敛性分析
      • 实验方程
        • 第一特征多项式
        • 第二特征多项式
      • 根条件：所有根的模都不大于1，且模为一 的根是单根
        • 收敛->满足根条件
        • 收敛->相容
        • 收敛<->相容且满足根条件
    • 稳定性分析
      • 特征多项式
        • • 相对稳定
            • r0的绝对值最大，且ri的绝对值和r0相同时为单根
          • 绝对稳定
            • 所有根的绝对值都小于1
          • ro：h趋于0，趋于1的根
        • A稳定
          • 绝对稳定区间是负无穷到0
• 预测矫正方法
  • 隐式的绝对稳定区间更大，预测一个值然后矫正
  • 4阶adams方法