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初一数学
最新人教版，全面知识整理收纳，主要内容包括有理数、整式的加减、一元次方程、几何图形初步、相交线与平行线、实数，尤其适用学生党噢。
编辑于2022-10-28 08:03:05 河南- 七年级数学
- 初一数学
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初一数学
主编的话
数学应用很广泛
数学使人更聪明
逐步学会发现提出分析解决问题的能力。
勤于思考，勇于探究，善于归纳
要充分重视概念，公式，定理
巩固基础，注重运用，提高能力
开阔视野，自主学习，立足发展
有理数
1.1正数和负数

规定海平面的海拔高度为0m
0既不是正数，也不是负数
负数前面加“-”号
正数加不加“+”都可以
1.2有理数
就是数轴上的一个点
分类
整数
正的
1,2,3···
0
自然数
负的
分数
小数可以化为分数
正的
+½
负的
-½
数轴定义
三层含义
对数学的发展起了很重要的作用
更直观
是一条向两端无限延伸的直线
三要素
原点/基准点
0
正方向向右（或上）
合适的单位长度
可以用一条直线上的点表示数
相反数
在任意一个数面前添上“-”号，新的数就表示原数的相反数
特别的0的相反数是0
符号不同
a
-a
数前面加“-”
单独一个不能说是相反数
绝对值
记作| |
含义
点到原点
距离
正数
本身|5|=5
负数
相反数|-5|=5
|0|=0
大小比较
异号两数比较大小，要考虑它们的正负 同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值
左边<右边
负数
小
绝对值大
-2<-1
|-2|>|-1|
1.3有理数的加减法
加法
同号相加
符号
相同
数值
绝对值
相加
例
-3+（-1）=-（|-3|+|-1|=-4
异号相加
绝对值
相等
0
-4+4=0
不等
符号
绝对值大
数值
相减
绝对值大
绝对值小
例
-3+1=（|-3|-|1|)=-2
先定符号再算绝对值
与0相加
本身
0+（-3）=-3
运算律
交换律
两个数相加，交换加数得位置，和不变
a+b=b+a
结合律
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
（a+b)+c=a+(b+c)
可以使运算简化
减法
减去一个数，等于加这个数得相反数
加上
相反数
5-(-3)=5+3=8
混合运算
统一换成
加法运算
a+b-c=a+b+(-c)
1.4有理数的乘除法
有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值
乘法
法则
符号
同号
得正
异号
得负
数值
绝对值
相乘
0乘以
任何数
得0
倒数
乘积
1
3x⅓=1
互为倒数
3
⅓
运算律
运算律在预算中有重要作用它是解决许多数学问题的基础
交换律
两个数相乘交换因数的位置积相等
a·b=b·a
结合律
三个数相乘先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘积相等
(a·b)·c=a·（b·c）
分配律
一个数同两个数的和相乘等于把这个数分别同这两个数相乘再把积相加
a(b+c)=ab+ac
乘积是1的两个数互为倒数
分数乘分数的算法
分子相乘的积做分子 分母相乘的积做分母 能约分的要约分
axb可以写成a·b或ab
除法
法则1
乘以
倒数
法则2
两数相除
符号
同号
得正
异号
得负
数值
绝对值
相除
0
x
除数
除以
任何非0数得0
分数可以理解为分子除以分母
1.5有理数的乘方
乘方
求n个相同因数的积的运算叫做乘方
积
相同
因数
几个
2的平方等于2的2次方
2的立方等于2的3次方
的结果叫幂

正数
+
负数
指数
奇
-
偶
+
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
a的n次方，也读作a的n次幂
指数1通常省略不写
混合运算

科学记数法
例如
-567 000 000=-5.67x10的8次方
近似数
很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数
整式的加减
2.1整式
1公顷=10000平方米
单项式
都是数或字母的积
不能含有加减和除法运算
单独的一个数字或字母也是单项式
通常把数写在前面
系数
-¼ab²系数是-¼
-x系数是-1
单项式的次数
字母的指数的和
例如
单项式a二次方h中指数和是3，次数是3
单独一个非零数字的次数是零
多项式
几个单项式的和
体现和的运算法则
每个单项式叫做多项式的项
不含字母的项常数项
例如V-2.5,2.5是常数项，v是项
一个多项式有几项就叫几项式
多项式里，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数
例如：3x四次方+2y²+1叫四次三项式
单项式与多项式统称整式
2.2整式的加减
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
所有的常数都是同类项
概念中有两个相同
字母的个数相同，字母也相同
相同字母的指数相同
合并同类项
把多项式的同类项合并成一项，叫做阿合并同类项
通常按照某个字母的指数从大到小或从小到大
合并同类项后，所得项的系数是合并前个同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变
整式的加减法
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项
一元一次方程
3.1从算式到方程
学习目标
掌握根据数量关系列方程的一般步骤
认识方程的解
会根据题意列出方程
认识一元一次方程
掌握等式的性质
方程的解的应用
一元一次方程的概念应用
从算式到方程式数学的进步
用算术解题时，列出的算式表示算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数
而方程式根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数
列方程时
先要设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系写出含有未知数的等式——方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是数学解决实际问题的一种方法
方程含有1个未知数（元），未知数的次数都是1.等号两边都是整式.这样的方程叫做一元一次方程
解方程就是求出是方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解
等式的性质
1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果乃是是等式
如果a=b那么a±c=b±c
2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的书，结果乃相等
3.2解一元一次方程（一）-合并同类项与移项
学习目标
理解移项法则，会解方程，体会等式变形中的化归思想
能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值
一般地
把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项
我们把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等式的右边
同类项的定义：所含字母相同，并且相同的字母的次数（指数）也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项
合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
移项要变号
最后要系数化为1
步骤
审：弄清题意和数量关系
设：设未知数 找等量关系
列：由等量关系列出方程
解方程
写出答案（包括单位名称）
3.3解一元一次方程（二）-去括号与去分母
去括号是常用的简化步骤
把系数为分数的数化为整数需要等式两边同时乘以最小公倍数
先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据是去括号法则和乘法分配率
去分母和去括号好分开写
合并同类项
将未知数的系数相加，常数项相加，依据乘法分配率
系数化为1
在方程的两边除以未知数的系数，依据是等式性质2
3.4实际问题与一元一次方程
学习目标
能准确分析实际问题中的数量关系和等量关系，列方程解应用题
培养独立分析问题解决问题能力
常见的几类问题中的等量关系
从题中分析出数量关系
几何图形初步
4.1几何图形
学习目标
了解基本的几何图形都是由点、线、面构成的
认识平面几何图形与立体几何图形
掌握立体几何图形的展开图
几何图形

物体除了具有
颜色
质量
材质等性质外
还具有形状
方的、圆的
大小
长度
面积
体积
位置关系
相交
垂直
平行
局部
线段
点等
圆柱
球体
各部分都在同一平面内，它们是平面几何图形
线也属于平面几何图形
各部分不都在同一平面内，它们是立体几何图形
几何体也简称体
包围着体的是面
面有平的和曲的面两种
面和面相交的地方形成线
线和线相交的地方是点
点动成线，线动成面，面动成体
点
是构成几何图形的最基本元素
在平面图形中，点是用一个大写字母来表示的
点没有大小
线
一条线
线段
射线
直线
线没有粗细
面
面没有薄厚
长方体也是柱体
正方体有11个展开面
圆柱的展开图是一个长方形与两个圆，圆锥的展开图是一个扇形与一个圆
4.2直线、射线、线段
学习目标
认识
了解三者之间的区别
理解“两点之间线段最短”
两点确定一条直线，只有一条直线
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点
中点，三等分点、四等分点
线段
有两个端点
不向任何一方延伸
可度量
射线
有一个端点
向一个方向无限延伸
不可度量
注意端点字母写在前面
直线
无端点
向两个方向无限延伸
不可度量
表示方法

不能用两个小写的字母表示线
4.3角
学习目标
认识常见的各种角，熟练地画角，掌握角各部分的名称
角的应用
也是一种基本的几何图形
∠a：角阿尔法
四种表示方法
用三个大写用英文字母
用一个大写英文字母
用一个阿拉伯数字
用一个希腊小写字母
比较角的大小可以用
重叠比较法
量角器度量
角的大小：锐角<直角<钝角 角的大小与两边长短无关，而与张开的大小有关

平角不是一条直线：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
周角肯定不是射线：一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的的角叫周角
如果两个角的和等于90°（直角）就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
补角的性质：同角（等角）的补角相等
余角的性质：同角（等角）的余角相等
几边形就有几个角几个顶点
4.4课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒
先把这个立体图形转化为平面图形，再转化为立体图形
相交线与平行线
5.1相交线
学习目标
理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认
理解垂线段的性质
认识同位角、内错角、同旁内角
对顶角的性质
邻补角：有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角（互为邻补角包括两个角之间的位置关系与数量关系两个方面，而互为补角仅指两个角之间的数量关系）
对顶角：有一个公共顶点，并且角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线 性质：对顶角相等
a与b互相垂直，记作：a⊥b ；它们的交点叫垂足，两条直线任意一角等于90度那么这两条直线垂直；表示形式：因为角AOC=9-°所以AB⊥CD(垂直的定义）
同旁内角：截线的同侧，两被截线之间
5.2平行线及其判定
学习目标
掌握两直线平行的判定方法
了解得到两直线平行判定方法的证明过程
进一步规范几何推理语言
直线不相交的情形，只有直线互相平行记作a∥b
在同一平面内两条不重合的直线有两种位置关系：平行或相交
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，也就是说：如果b∥a.c∥a,那么b平行c

在同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
平行线的画法和测量方法

判断定理1：同位角相等，两直线平行
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行
平行线判断定理3：同旁内角互补，两直线平行
5.3平行线的性质
性质定理
1：两直线平行，同位角相等
2：两直线平行，内错角相等
3：两直线平行，同旁内角互补
判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项（只有陈述句才有可能是命题，再加上判断就是命题了）
数学中命题可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论
真命题
如果题设成立，那么结论一定成立
假命题
题设成立时，不能保证结论一定成立
定理
它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据
证明
一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理的过程叫做证明
平行线具有传递性
5.4平移
基本性质
图形的这种移动，叫做平移
图形平移的方向，不限于是水平的
前后图形对应点之间连接平行（或共线）且相等
归纳
1：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同
2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等
在平面内，将一个图形沿这样某个方向移动一定的距离，这样的图形运动，叫做平移变换，简称平移（平移过程最重要的是找准对应点）
平移定义和两个要素
方向
距离
特征：图形的形状、大小不变（对应角相等、对应线段平行且相等）
实数
6.1平方根

学习目标
理解平方根的概念及其符号表示
理解正数的两个平方根之间的关系，及在实数范围内，复数没有平方根
理解开平方和平方运算的互逆关系
理解并运用平方根的运算性质计算
如果一个正数x的平方等于a，即x²=a.那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为√a读作“根号a”，a叫做开方数，规定：0的算术平方根是0.
算术平方根√a具有双重非负性：1被开方数a本身是非负数，2算术平方根√a本身是非负数
4的平方根等于±2它的算术平方根表示它的正平方根为2，即√4=2
被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立
许多正有理数的算术平方根（√2√3√7等）都是无限不循环小数
在实数范围内，任意一个正数都有两个平方根，求出了它的正平方根，可知它的相反数就是另一个平方根
计算器求√a，正数a的位数不超过十个，如果所显示的结果其位数超过5个，那么这个结果是√a的一个近似值，否则是准确值
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数例如36的平方根就是对36进行开平方的运算，36被开方数，就是要找出满足x²=36的数，因为6²=36，（-6）²=36，所以36的平方根是±6
任何一个平方根都是非负数，所以负数没有平方根和算术平方根的
因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有两个不同的平方根，记作±√a，读作“正负根号a”
0²=0所以0的平方根是0
总结规律

6.2立方根
学习目标
理解立方根的概念及其符号表示
会用计算器求任意一个数的立方根，并能按指定精确度求近似值
立方根与平方根的区别和联系
理解开立方和立方运算的互逆关系
理解³√a³和（³√a）³=a的含义，并能运用它们解决问题
理解任意实数都有立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，用³√a表示读作“三次根号a”其中a叫做被开方数，3是根指数
求一个数a的立方根的运算叫做开立方
依次按键³√“被开方数”=
被开方数的小数点的小数点每向右（或左）移动三位，开方后立方根的小数点就向右（或左）移动一位
立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，0的立方等于0，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0，任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根
平方根与立方根有哪些区别于联系

如果a>0，则³√-a=-³√a
6.3实数

学习目标
了解实数的概念
认识无理数
了解实数的分类
实数的性质及运算
辨别有理数和无理数
实数的运算
有理数的概念：有限小数（包括整数）和无限循环小数（有理数就是分数）
√2不能表示为分数，也就是说，它不是有理数，那么不能是有限小数，也不能是无限循环小数，于是√2只能是无限不循环小数 比如：π√3√5√6等此外0.101001000100001……等都是无限不循环小数
无限不循环小数叫做无理数，也有正负之分，只有符号不同的两个无理数互为相反数
无理数和有理数统称为实数
在数轴上是可以找到无理数的
实数与数轴上的点是——对应的，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合与实数

实数之间可以加减乘除（除数不为0 ）乘方运算，正数及0可以开平方运算，任意一个实数可以开立方运算进行实数运算时，有理数的法则及运算性质同样适用
要从高级到低级，先算乘方再算乘除最后加减有括号先算括号里面的
平面直角坐标系
7.1平面执教坐标系

学习目标
理解平面直角坐标系，有序数对、直角坐标平面等
掌握构建方法并写出坐标
会表示点的位置
理解点与有序数对之间——对应的关系
例如前面表示“排数，后面表示”号数“，这两种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数记作（a，b）
在平面内每一点都有唯一的有序实数与它对应
规定x轴，y轴不属于任何象限
  
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上点的横坐标相同，第一三象限叫平分线上点的横、纵坐标相同；第二四象限平分线上点的横、纵坐标互为相反数
7.2坐标方法的简单应用
学习目标
了解表示地理位置及意义主要过程
会用平面直角坐标系来描述地理位置
了解点的平移变换
绘制过程
选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向
根据具体问题确定单位长度
在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和个地点的名称（可以用代号，在图外加注释）
二元一次方程组
8.1二元一次方程组
学习目标
能说出二元一次方程，二元一次方程组的概念
会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解
能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系
定义：方程组有两个未知数（两边的系数不能为0），含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，方程左右两边都是整式

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解

8.2消元-解二元一次方程组
学习目标
能用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组
认识消元法的基本思想及解题步骤
例如

消元思想：二元一次方程组有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想
代入法：上面的解法，是吧二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法
代入消元法的一般步骤

过程

加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，简称加减法（系数是相反数要用加法）
特点：同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路：二元变一元
主要步骤
加减
求解
写解
过程

方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元，对方程进行变形，成为某个系数的最小公倍数
整体消元法

8.3实际问题与二元一次方程组
学习目标
了解常见题型
掌握列方程解应用题的一般步骤
探索事物之间的数字关系，建立方程模型
列二元一次方程解决实际问题的常见方法
会分析题意，不要只注重题中的数字，而忽视对题意的分析
会抓住关键性词语，弄清楚题目中每一个词语的真实含义，是正确进行思维的必要条件，重在领会数学意义，以及它所赋予的数量关系
抓住不变量和等值量列方程
会触类旁通，可从不同角度，对不同的解题方法加以比较，在有的应用题中，虽然问题提法不同，但实质一样
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足1、方程两边表示的是同类量；2、同类量的单位要统一；3、方程两边的竖直要相等
寻找等量关系的方法有：1、画出示意图分析；2、列表分析；3、信息的分类处理等等
“设”“答”两步都要写清单位名称
最后的结果必须使实际问题有意义
实际问题中常见的基本等量关系
1、行程问题：常用等量关系：路程=速度X时间 相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离 追及问题：同地不同时出发：前者走的路程=追着走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追着走的路程
2、水流问题：顺流速度=净水速度+水流速度 逆流速度=净水速度-水流速度 水流速度=½（顺流速度-逆流速度）
3、工程问题：工作效率×工作时间=工作总量
4、储蓄问题：利息=本金×利率×期数 本金和=本金+利息（1+利率×期数）
5、销售中的盈亏问题 利润=售价-成本（进价 利润率=售价-进价分之进价×100% 利润=成本×利润率 标价=成本（进价）×（1+利润率 实际售价=标价×打折率
8.4三元一次方程组的解法
学习目标
了解本节主题概念
掌握本题解法
用代入法或加减法
掌握本题消元
定义

都含有三个未知数
含未知数的项的次数都是1
共含有3个方程
解三元一次方程先化成二元一次方程来解
特殊三元一次方程要用特殊简便的方法去解
不等式与不等式组
9.1不等式
学习目标
会用数轴表示不等式的解集
了解不等式的性质及其应用
定义：用不等符号表示大小关系的式子叫做不等式，例如a>2,a≠，a<2等；有些等式不含未知数
数轴表示形式

步骤
画数轴
定界点
定方向
规律
大于画右，小于向左画；有等号（≥，≤）画实心点，无等号（<,>)画空心点
例

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式
不等式性质
1不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变
2不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变
3不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变
9.2一元一次不等式
学习目标
会解，并在数轴表示解集
列一元一次不等式解决实际问题
定义：不等号的左右两边都是整式，每个不等式只有一个未知数，并且含有未知数项的次数是1
解法

解不等式可以移项，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向
例如

注意事项

意义：有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的答案
9.3一元一次不等式组
学习目标
掌握解法的一般步骤
在数轴上表示不等式组的解集
会求本题解集
两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解
一元一次不等式组的解集

数据的收集、整理与描述
10.1统计调查
学习目标
学习统计调查的意义
了解统计调查的方法
会用图形描述数据
全面与抽样调查的区别
学习从统计图表中提取有效信息
子主题

扇形统计图按照项目占的百分比来乘以360°
数据收取
普查：全面调查
抽样
有必要性和有特殊意义的必须要用普查
10.2直方图
学习目标
认识频数分布直方图
了解频数分布直方图的画法
从频数分布直方图中提取有效信息
第一步求极差；取组距
频数分布表

直方图

频数分布直方图与一般条形统计图的区别

10.3课题学习 从数据谈节水
学习目标
认识我国水资源的现状
了解节约用水的重要意义
掌握分析数据的能力
中国是贫水国
小学公式
时间x速度=路程
梯形的面积公式
（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+c）×h÷2。变形：h=2S÷（a+c）；变形2：a=2s÷h-c；变形3：c=2s÷h-a。公式中a，c分别为梯形上下底，h为梯形的高，S为梯形的面积。
圆柱体体积公式
“圆柱体体积=底面积×高，表达式：V=sh=πR²h。1、计算圆柱体的体积时，首先计算圆柱体圆形底面的面积S，S=π*(d/2)=πR²；(π表示圆周率，r表示半径，d表示直径)。2、然后找出圆柱体的高h，把其两个底面之间的距离作为圆柱体的高。
本息和=本金x（1+利率）