集合

必修一数学集合的思维导图，主要内容有集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算。

集合

• 集合的概念
  • 集合的概念与几种常见的数集
    • 1.概念：一般，把研究对象统称为元素，用a.b.c表示， 把一些元素组成的总体叫做集合，用A.b.C表示
    • 2.特征
      • 确定性
      • 无序性
      • 互异性
    • 3.元素与集合的关系
      • 属于：如果a是A的元素，就说a属于集合A，用a∈A表示
      • 不属于：如果a不是A的元素，就说a不属于A，用a∉A表示
  • 集合的表示方法
    • 1.列举法：集合所有元素列举出来，并用括号括起来
      • （1）元素与元素之间需用，隔开
      • （2）集合中的元素必须是确定的
      • （3）列举法一般适用于有限集合
    • 2.描述法：设A为一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素所组成的集合表示为｛x属于A/P（x）｝
• 集合间的基本关系
  • 1.子集与真子集（Venn图）
    • 子集：对于两个集合A.B，如果集合a中任意一个元 素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集。
      • （1）用A∈B或B∈A表示
      • （2）性质
        • 任何一个集合是它本身的子集，即A∈A
        • 对于集合A.B.C，如果A∈B，且B∈C，则A∈C
      • （3）理解
        • 任意x∈A，能推x∈B
        • 若A∈B，则①A是空集 ②A是B的部分元素组成 的集合 ③A是B的全部元素组成的集合
    • 真子集：对于两个集合A.B，存在x∈B，且x∉A，就 称集合A是集合B的真子集
      • （1）用A∉B或B∉A表示
      • （2）性质
        • 对于集合A.B.C，如果A∉B，且B∉C，则A∉C
      • （3）理解
        • 若集合A是集合B的真子集，则集合A一定是集合B 的子集
        • 任何集合都一定有子集，一个集合的真子集的个数 ＝子集的个数-1
  • 2.集合相等
    • 集合A的元素都是集合B的元素，同时集合B的元素也都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B
  • 3.空集
    • 一般把不含有元素的集合叫做空集，记作Ø
      • ①集合A的子集个数为2ⁿ ②集合A的真子集个数为2ⁿ-1 ③集合A的非空子集个数为2ⁿ-1 ④集合A的非空真子集个数为2ⁿ-2
• 集合的基本运算
  • 1.交集和并集
    • 并集：由x属于集合A，x属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集
      • （1）A∪B=｛x/x∈A，x∈B｝
      • （2）A∪B=B∪A，A∪Ø=A，A∪A=A ，（A∪B）∪C=A∪（B∪C） 若A∪B=B，则A⊆B ，A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）
    • 交集：由集合A.B共同拥有的元素组成的集合，称为集合A与B的交集
      • （1）A∩B=｛x/x∈A且x∈B｝
      • （2）A∩B=B∩A，A∩Ø=Ø，A∩A=A，（A∩B）∩C=A∩（B∩C），（A∩B） ∪C=（A∪C）∩（B∪C），（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C） V若A∩B=A，则 A⊆B （A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B
  • 2.补集及其应用
    • （1）全集：如果一个集合含有研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记住U
    • （2）补集：对于一个集合A，由全集U中包含集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集 U的补集，简称为集合A的补集，记作CuA
      • （1）CuA=｛x/x∈U，且x∉A｝
      • （2）（CuA）∪A=U，（CuA）∩A=Ø，Cu（CuA） =A CuU=Ø，CuØ=U，Cu（A∩B）=（CuA）∪（CuB） Cu（A∪B）=（CuA）∩（CuB）
    • （3）求补集的方法
      • ①定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解
      • ②Venn图法：借助图可直观的求出全集及补集
      • ③数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题