导图社区 线代总结
这是一篇关于线代总结的思维导图，主要包括线性方程组与矩阵和矩阵的计算两部分内容。希望对你有所帮助。
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线代总结
线性方程组与矩阵
线性方程组的消元法
数域F：对四则运算封闭且包含0和1的数列
线性方程组
消元法
矩阵和矩阵的初等行变换
矩阵定义 （aij)m×n
系数矩阵、增广矩阵
几种常用矩阵
零矩阵、行（列）矩阵、方阵、对角矩阵、 单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、（反）对称矩阵
初等行变换
交换i，j两行
第i行变为k倍
第i行k倍加到第j行
阶梯形矩阵
零行（元素全为0）排在非零行下方
非零行的第一个非零元（主元）的列标号，从上到下严格递增
简化阶梯形（标准形）
属于阶梯形
主元均为1
主元所在列其他元素均为0
任何一个矩阵都可以经初等行变换华为阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵
线性方程组解的判别及求法
判别
高斯消元法
线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为（简化）阶梯形求解
线性方程组的高斯消元法得到的新方程组与原方程组同解
m×n的线性方程组，增广矩阵化成的阶梯形 矩阵有r给非零行系数矩阵部分s个非零行
有解 <==> s=r
s=r=n 唯一解
s=r<n 无穷多解
s<r 无解
m×n的齐次线性方程组，系数矩阵的阶梯形的非零行数为s
有唯一零解 <==> s=n
无穷多解（既有非零解） <==> s<n
若m<n，则必有非零解
求解
转化为阶梯形求解
矩阵
矩阵的运算
线性运算
数乘
加减
乘法
C=AB，C的行数与A相等，列数与B相等
性质
EA=A，AE=A
A(BC)=(AB)C
(kA)B=A(kB)
A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA
若AB=BA，则称A，B相乘可换
方阵的幂
k A =A×A×……×A（k个A）
转置
定义
T A
T T (A ) =A
T T T (B+C) =B +C
T T (kA) =kA
T T T (AB) =B A
T m m T 若A为方阵，则（A ） =（A ),m为正整数
T T A为对称矩阵<==>A =A，A为反对称矩阵<==>A =-A
方阵的迹
tr(A)
tr(A+B)=tr(A)+tr(B）
tr(kA)=ktr(A)
tr(AB)=tr(BA)
T tr(A )=tr(A)
方阵的行列式
预备定义
余子式：划去aij所在的行与列后形成的行列式，记为Mij
i+j 代数余子式：Aij=（-1) Mij
n阶行列式
|A|=∑a1kA1K
T |A|=|A |
交换一个方阵的某两行，则它的行列式的值改变符号
A的某一行所有元素乘k得到B，则|B|=k|A|
行列式中某行元素都是两个元素的和，则它可 分解为两个行列式的和
A的某行k倍加到零一行得到B，则|A|=|B|
n |A|=∑aikAik,i=1,2,...n
可逆矩阵
n阶方阵A，，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E， -1 称A可逆，A =B
若A可逆，则其逆矩阵唯一
伴随矩阵A* （A为n阶方阵）
AA*=A*A=|A|E
-1 A可逆<==>|A|≠0 且此时A |A|=A*
克拉默法则
n×n线性方程组An×nX=B，若方程组的系数行列式D=|A|≠0，则AX=B有唯一解且xj=Dj/D，其中Dj为D中第j列换成b所得到的行列式
子主题
∑aikAjk=0(i≠j）
行列式中某两行对应成比例，则其值为0
如果一个方阵有两行元素相同，则其行列式值为0
