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时域分析法
控制工程原理第三章时域分析法：根据阻尼比不同，对系统进行分类：过阻尼二阶系统、零阻尼二阶系统、临界阻尼二阶系统。
编辑于2022-11-01 11:39:40- 自动控制
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时域分析法
控制系统的时域响应和时域性能指标
控制系统的时域响应
时域响应是指控制系统在输入信号作用下输出量随时间而变化的情况。 由动态过程和稳态过程两部分组成
动态过程
时域响应是指控制系统在输入信号作用下输出量随时间而变化的情况。 由动态过程和稳态过程两部分组成
稳态过程
稳态过程是指在典型输入信号作用下，当时间趋近于无穷大时，系统输出量接近输出的期望值的情况
控制系统时域性能指标
动态性能指标
上升时间
响应曲线从零首次上升到输出稳态值所需的时间
上升时间越短，响应速度越快
峰值时间
响应曲线超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间
反映动态过程的快速性
调节时间
响应曲线达到并保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间
是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标
超调量s%
指输出量的最大偏离量与其稳态值之差的百分比
h(t) 是输入r(t) 是单位阶跃函数时的输出c(t),是特定的一个符号
稳态性能指标
稳态误差
是描述系统稳态性能的一种性能指标
线性系统的动态性能分析
一阶系统的动态性能分析
典型一阶系统的单位阶跃响应 (c(0)=0)
T越小，系统的快速性越好
一阶系统的特点
s%=0，没有超调，为非振荡响应，惯性环节亦称非振荡环节。
T越小，系统快速性越好. 极点离虚轴越远，快速性越好
放大倍数K及时间常数T
典型一阶系统的单位脉冲响应(c(0)=0)
典型一阶系统的单位斜坡响应(c(0)=0)
二阶系统的动态性能分析
二阶系统的数学模型
具有该传递系统的函数都是二阶系统
典型二阶系统形式
用传递函数描述
z为阻尼比
该系统又称为无闭环零点的二阶系统
单位反馈系统
结构图
开环传递函数
特征方程
特征根（闭环极点）
根据阻尼比不同，对系统进行分类
欠阻尼二阶系统
特征根为具有负实部的共轭复根
临界阻尼二阶系统
特征根为两个重复实根
过阻尼二阶系统
特征根为两个不相等的负实根
零阻尼二阶系统
两个纯虚根
闭环零、极点分布与阻尼比的关系
典型二阶系统的单位阶跃响应
过阻尼
传递函数
单位阶跃响应
临界阻尼
传递函数
单位阶跃响应
欠阻尼
衰减系数
阻尼振荡频率
单位阶跃响应
阻尼角
零阻尼
传递函数
单位阶跃响应
欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算
上升时间
峰值时间
超调量s%
调节时间
当x£0.8时
震荡次数N
在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半
为阻尼振荡周期
二阶系统动态性能的改善
比例—微分控制（PD控制）
等效阻尼比
引入比例微分校正后，增大了系统的阻尼比，但不改变系统的无阻尼振荡频率
使系统动态过程的超调量下降，调节时间缩短，但并不影响系统的稳态精度。
比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/Td，前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比，因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td, 既可减小稳态误差，又可获得良好的动态性能。
速度反馈控制
等效阻尼比
高阶系统的动态性能近似分析
定义
高于二阶的常微分方程所描述的系统，或闭环传递函数中分母的最高次幂大于2的系统，叫做高阶系统
高阶系统的阶跃响应
分解因式，零极点形式
所有极点均为实数
若有r对共轭复数极点及q个实极点
主导极点和偶极点
主导极点
在高阶系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点，其周围没有闭环零点，且其它极点又远离虚轴，则它对系统的性能影响最大，称为主导极点
闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或是它们的组合。
偶极点
在高阶系统中，一对靠得很近的闭环零、极点，称为偶极子，它们对系统动态性能影响可忽略不计
PID控制器设计
PID控制形式及原理
PID控制器的输入输出关系
PID控制各环节的作用
比例环节
比例的反应调节系统的误差信号
增大比例系数，加快相应信号，减小稳态误差
积分环节
消除系统的稳态误差，提高控制精度
微分环节
反映误差信号的变化趋势，并在误差信号变得太 大之前，引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的响应速度，减小调节时间
PID控制是依据系统现在的表现-比例、历史的表现-积分、发展的趋势-微分，决定下一步的控制措施
基本控制规律
比例（p）控制器
开环传递函数
开环增益
Ⅰ型系统
阶跃输入时稳态误差为零
斜坡输入时稳态误差
闭环传递函数
结论：增加比例系数，减小阻尼比，增大超调量，稳态误差减小，调节时间不变
比例-微分（PD）控制器
开环传递函数
开环增益与系统型别不变，
闭环传递函数
增加了一个闭环零点, 增加了系统的阻尼比，超调量下降。
比例-积分（PI）控制器
开环传递函数
三阶系统
闭环传递函数
增加了一个闭环零点, 提高了系统的型别，稳态误差减小。但也提高了系统的阶数，要注意稳定性问题
PI控制主要用于改善系统的稳态性能。
比例-积分-微分（PID）控制器
开环传递函数
闭环传递函数
增加了两个开环零点，又提高了系统的型别，所以既可提高系统的动态性能,又可提高系统的稳态性能，可以全面改善系统的性能。但也提高了系统的阶数，要注意稳定性问题
PID参数整定方法
理论计算整定法
工程整定法
临界比例度法
只采用纯比例控制，逐渐增大Kp使闭环系统出现等幅振荡,得到临界比例值Kp=Km 及振荡周期Pm ；
按经验数据表求出Kp、Ti、Td 初始参数。
Km是临界稳定时的Kp，Pm是等幅振荡的周期
反应曲线法
衰减曲线法
线性系统的稳态性能分析
误差及稳态误差
定义
稳态误差的一般计算方法
若系统稳定，稳态误差可以用拉氏变换的终值定理计算
当H(s)=1时
单位反馈系统，系统的期望输出就是给定输入
E(s)和e(s)之间的关系
R(s)引起的误差
N(s)引起的误差
N(s)单独作用下的误差等于N(s)单独作用下的负输出
总误差E(s)的求取
注意
开环不稳定的系统并不一定闭环也不稳定
稳态误差无穷大的系统不一定不稳定
稳态误差与输入信号有关
系统的稳定误差的一般性分析
给定输入信号作用下的稳态误差分析
开环传递函数
系统的开环增益
n为开环传递函数G(s）中积分环节的个数，称为系统的型别
n=0,1,2,3....对应0型系统、Ⅰ型系统，Ⅱ型系统，Ⅲ型系统
典型一阶和二阶系统都是I型系统
在给定输入作用下，系统稳态误差既与系统的型别v，开环增益K 有关，也与输入信号的形式、幅值有关。
v 越大，易消除稳态误差
K增大,可减少稳态误差
增大v或K容易消除或减少稳态误差，但v，K太大容易引起系统不稳定（物理意义）
阶跃输入
斜坡输入
加速度输入
扰动作用下的稳态误差分析
扰动作用下的稳态误差与扰动作用点之前的前向通道传递函数中的积分环节的个数和增益大小有关，而与扰动作用点之后的前向通路传递函数中积分环节的个数和增益大小无关。
v大或K大均可使稳态误差减少。
积分环节越多，系统越不稳定，同时，K大也容易使系统不稳定。
利用复合控制减小和消除稳态误差
复合控制=反馈控制+前馈控制(开环控制)
在原系统结构的基础上增加一个前馈控制环节，而前馈环节是开环控制环节，不影响系统的稳定性，但可以用来减小或消除稳态误差。
按给定输入补偿的符合控制
利用梅森公式
如果要求对误差实行全补偿
令E(s)=0，(e(t)=0)
如果仅仅要求对误差实行稳态补偿
按扰动补偿的复合控制
全补偿
线性系统的稳定性分析
系统稳定性的基本概念
稳定性反应扰动消失后系统能否恢复到原来平衡点的能力
线性定常系统稳定的充要条件
设n阶线性定常系统有q个实数极点、r对共轭复数极点，其传递函数为
展开为部分分式之和的形式
系统的扰动作用以一个理想单位脉冲函数代替，当系统的脉冲响应随着时间推移趋于零，则系统是稳定的。
系统的单位脉冲响应
系统的全部特征根必须具有负实部
线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。
s平面上不同位置的特征根所对应的脉冲响应
劳斯判据
系统稳定的必要条件
设线性定常系统的特征方程为
必要条件
特征方程的所有系数必须为正，且不缺项。
若系统特征方程式的各项系数中有负或零项，则系统一定不稳定
劳斯判据
步骤
列出系统的特征方程式
判断是否满足稳定的必要条件
由特征方程式列劳斯表
特征方程按s的幂次降幂排列
劳斯表第一行元素从左往右为特征方程式中第1,3,5等项系数组成，第二行由特征方程中第2,4,6等项系数组成
从第三行起，后面元素的值等于以该元素前两行中第一列与后一列元素构成的行列式做分子，以该元素前一行第一列元素做分母的分数值
劳斯表共有n+1行，第n+1行仅有第一列有值，为特征方程的常数项
劳斯表的系数排列呈上三角形排列，空位值补零
由行列表或劳斯表中第一列各数的符号，可得系统稳定的充要条件:劳斯表中左端第一列数全为正。
若出现小于零的元素，则系统不稳定，第一列元素符号改变的次数等于正实数根的个数。
劳斯判据特殊情况
特殊情况1 劳斯表中某行的第一个元素为零，其它元素不为零或不全为零
处理方法：用任意小的正数e代替这一行的第一次为零的元素，继续劳斯表的计算判断
特殊情况2 劳斯表中出现某行系数全为零
说明特征方程含有对称与原点的根：
处理方法
用上一行的元素构成辅助方程，s的幂次依次递减2次
对辅助方程求导，用所得的方程系数代替全零行，继续完成劳斯表
解辅助方程得到关于原点对称的根
相对稳定性系统
实际应用中通常我们还希望在s左半平面的特征根与虚轴有 一定的距离，即相对稳定性的情况。
判断方法
在S左半平面做s=-s垂线
当劳斯表第一列元素都为正，说明 系统所有根在s=-s 垂线之左。