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线性代数知识总结，包括线性方程组有解判定、行列式、矩阵、向量、相似矩阵与二次型、线性空间与线性变换等内容。
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线性代数
线性方程组有解判定
非齐次
唯一非0解
矩阵
r(A)=r(Ab)=n
行列式
D！=0
向量
唯一线表
图像
相交 不过原点
无数非0解
r(A)=r(Ab)<n
D=0
无数线表
重合
无解
r(A)!=r(Ab) r(A)<r(Ab)= r(A)+1
不能线表
平行
齐次
唯一0解
r（A）=n
线性无关
相交于原点
r(A)<n
线性相关
二阶行列式
三阶行列式
排列
逆序数
n阶行列式
对角阵
三角形行列式
转置行列式
性质
转，调，加，倍，提，零，同，比，和
余子式
代数余子式
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等 于零
范德蒙行列式
克拉默法则
如果线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组一定有解，且解是唯一的；反过来也成立。
如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
运算
线性
加法
数乘
矩阵与矩阵相乘
条件：左行等于右列 纯量阵
同型矩阵 矩阵相等
零矩阵
线性变换
单位矩阵
对角矩阵
共轭矩阵
转置
定义：同序数行列互换
对称矩阵：可转置的方阵，元素以对角线为轴对应相等
反对称矩阵：对角线元素全为0
方阵
数量矩阵
上下三角矩阵
方阵行列式
伴随矩阵（二阶矩阵求伴随矩阵：主对角线互换，负对角线变号）
逆矩阵
定义：AB=BA=E 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
A可逆<=>｜A｜！=0 非奇异矩阵
分块矩阵
矩阵多项式
初等变换
等价：如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价。
反身性，对称性，传递性
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0。
标准型：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零。
初等矩阵：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
对调，数乘，倍加
秩
求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵。
转置行列式不变
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。
矩阵方程 AX=B 有解的充要条件是 R(A)=R(A,B)
设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式D，且所有 r+1 阶子式全等于 0，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)，零矩阵的秩等于 0。
求解线性方程组
对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵 B 化成行阶梯形，从 B 的行阶梯形可同时看出 R(A)和R(B)，若 R(A)<R(B)，则方程组无解。若R(A)=R(B)，则进一步把 B 化成行最简形，
对于齐次线性方程组，则把系数矩阵 A 化成行最简形，写出通解。
向量组
线性相关（齐次）
在向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示
向量组a1,a2,…am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充要条件是 R( A）= m
小关大关，大无小无
设向量组A：a1,a2,…am线性无关，而向量组B: a1,a2,…am,b线性相关，则向量b 必能由向量组 A 线性表示，且表达式是唯一的。
如果向量组 A 是向量组 B 的一部分，这时称 A 组是 B 组的部分组。
一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。
含零向量的向量组必线性相关。
一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。
线性表示（非齐次）
向量组等价：A 与 B 能相互线性表示
向量 b 能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A=（a1,a2,…am)的秩等于矩阵B=（a1,a2,…am，b)的秩。
向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A=（a1,a2,…am)的秩等于矩阵(A,B)=（a1,a2,…am,b1,b2,…,bl)的秩，即R（A）=R（A，B）
向量组A与向量组B等价的充要条件是：R（A）=R（B）=R（A，B）
向量组B能由向量组A线性表示，则R（B）<=R（A）
向量组B能由向量组A 线性表示⇔ 有矩阵 K，使 B=AK⇔ 方程 AX=B 有解。<=>R(A)= (A,B )
向量组的秩
最大无关组：线性无关，且一般不唯一
向量组和自己的最大无关组等价
向量组 A 的任一向量都能由向量组 A0 线性表示，那么向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组。
最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩
线性方程组的解的结构
齐次线性方程组（向量方程 Ax=0）
若x=§1,x=§2为解，则 x = §1+ §2也是解。
若x=§1为解，k为实数则 x = k§1也是解。
齐次线性方程所有解所组成的集合S的最大无关组S0，任一解都可由最大无关组S0线性表示。
最大无关组 S0 的任何线性组合x=k1§1+k2§2+…+kt §t都是方程的解，也称为通解
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。 要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系。
非齐次线性方程组（向量方程 Ax=b）
设 x =η1及 x =η2 都是 Ax=b 的解，则 x= η1-η2为对应的齐次方程组 Ax=0的解。
设 x =η 是方程 Ax=b 的解， x = ξ 是方程 Ax=0 的解，则 x=ξ+η 仍是方程Ax=b 的解。
若求得 Ax=b 的一个解η* ，则 Ax=b的任一解总可表示为x= ξ+ η* 。
方程Ax=b 的任一解总可表示为方程Ax=0的通解➕η*
向量空间
基，维数
若把向量空间 V 看作向量组，则 V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩。
基变换公式（b1 , b2,b3 ) =( a1, a2, a3) P
过渡矩阵P=Ａ逆Ｂ
坐标
自然基
坐标变换公式
相似矩阵与二次型
向量内积
施瓦茨不等式
长度（范数）
单位向量
正交向量组
规范正交基
V中任一向量 a 应能由规范正交基线性表示
两两正交，且都是单位向量
坐标计算公式
规范正交化
施密特正交化
正交矩阵
逆等于转置
方阵 A 为正交阵的充要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交
若A为正交阵，则其逆矩阵和转置都是正交阵，且行列式等于1或-1。
若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵。
若 P 为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。正交变换后线段长度保持不变。
特征值
设 A 是 n 阶矩阵，如果数λ 和 n 维非零列向量 x 使关系式 Ax= λx成立
特征向量
非零向量 x 称为 A 的对应于特征值λ 的特 征向量。
特征方程
(λE−A)=0
|λE−A|=0
相似矩阵
若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值亦相同
n 阶矩阵 A 与对角阵相似（即 A 能对角化）的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。
如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角阵相似。
对称矩阵对角化
对称阵的特征值为实数
设 λ1，λ2是对称阵的两个特征值，p1 p2 是对应的特征向量。若λ1≠ λ2 ，则p1,p2正交。
二次型
标准形
配方法
正交变换
规范形
正定二次型
二次型的标准形不是惟一的，标准形中所含项数是确定的（即二次型的秩）
正惯性指数
二次型的标准形中正系数的个数
负惯性指数
对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值为正。
二次型正定的充分必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正，即它的规范形的 n 个系数全为 1，亦即它的正惯性指数等于 n。
对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正
线性空间与线性变换
线性空间
定义
定义两个代数运算（加法，数乘），并满足八条运算规律
任一元素的负元素是惟一的，α 的负元素记作-α
零元素是惟一的
0α=0;(-1)α=-α;λ0=0
λα=0⇒ λ=0 ∨ α=0
维数
基
基变换
(β1, β2, …,βn)=(α1, α2,…, αn)P
由于β1,…βn线性无关，故过渡矩阵 P 可逆
坐标变换
保持加法和数乘运算
