不定积分

高等数学同济第七版上册第四章不定积分（部分内容）思维导图，包括不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法等。

不定积分

• 原函数 F'(x)=f(x),则F(x)为f(x)的原函数
  • 不是一个函数， 是一组函数
    • 一个原函数
    • 不定积分：一族原函数
  • 原函数的集合：∫f(x)dx
    • 积分号
    • 被积函数
    • 不定积分
    • dx: x是函数的变量
      • 不定积分∫2axdx中, 函数的变量是 x, 而在 ∫2axda中, 函数的变量是a.
  • F(x) 和 G(x) 均为函数 f (x) 的原函数, 则存在一个常数 C,使得F (x) – G (x) = C.
• 简单运算
  • 互逆运算 积分-导数
  • 基本公式
    • • 2.改成n≠-1（与3.的关系）
  • 补充
    • 7.∫sinxdx=-cosx 8.∫cosx=sinx
• 初值问题
  • 确定常数，确定原函数
    • 因为这个任意常数C的存在, 使得我们无法确定 f 的具体形式. 然而若知道函数在一点 x 处的取值, 则可以将常数值确定下来, 进而将函数 f 的形式确定下来
    • 函数 f 在某点 x 处的取值条件 f (1)=4, 又被称为初值条件. 求满足初值条件的函数的问题, 又称为初值问题.
  • 求出不定积分，代入已知点，解出C
• 分部积分（必考）
  • 两个函数乘积的求导法则的逆转运用.
  • 两个式子相乘，有两种选择， 一般指数函数放在微分里更好 对数函数和多项式？多项式函数优先与微分相结合
    • 需要在做题中总结 课件中对应例题
• 变量替换（必考）
  • 变量替换
    • x表示一个函数，不定积分也成立
      • 疑问26-29
  • 注意观察
    • 倍数关系
  • 微分
• 套公式不行， 变量替换也不行
• 复合函数
• 几何意义
• ∫1dt=∫ dt=t+C
• "C"不定 不定积分
  • 如果F '(x) = f (x), 则∫f(x)dx=F(x)+C,其中C为任意常数
• 常数求导得0
• 逆向思维