考研高数

x0邻域内函数值均小于或大于f(x0)、若可导且取得极值，的导数为0、去心邻域可导，且导数=0，或导数不存在但连续、根据左右导数符号判断极大极小，不变号则无极值、一阶导数=0，二阶导数≠0、二阶导<0，极大值；二阶导>0，极小值（函数凹凸）。

考研高数

考研数学复习规划

绪论

第一章

函数

函数概念及常见函数

函数概念

自变量x确定唯一的因变量y

函数基本要素

定义域

对应法则

常见函数

符号函数y=sgn x

子主题

取整函数

子主题

基本不等式

x-1 < [x] ≤ x

复合函数

内层函数值域与外层函数定义域有交集，此时可复合

复合函数的定义域：x属于内层函数定义域，内层函数∈外层函数值域

反函数

定义

函数：任意x，对应唯一y

反函数：任意y，对应唯一x

eg：y=x^3有反函数，y=x^2一个y对应两个x，无反函数

本质：单调函数一定有反函数，反函数不一定是单调函数（分段函数）

图像

y=f(x) 和 y=f^-1 (x)图像关于y=x对称，与x=f^-1(x)重合

基本初等函数

三角函数

sin

sinx

奇函数，周期2π

cos

cosx

偶函数，周期2π

tan

tanx

定义域：x≠（kπ+π/2） x∈( (–π/2) + kπ， (π/2) + kπ )

奇函数，周期π

图像

三角函数公式

子主题

sin^2(α)+cos^2(α)=1。

tan^2(α)+1=sec^2(α)。

cot^2(α)+1=csc^2(α)。

子主题

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα。

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα。

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα。

反三角函数

arcsinx

arccosx

、

arctanx

幂函数

μ为实数

指数函数

对数函数

运算法则

相加、相减、x方根

.lnxⁿ=nlnx

子主题

初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、 除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数,称为初等函数

函数性质

单调性

定义

奇偶性

定义域关于原点对称

图形

奇函数原点对称，且若x=0有定义，则f(0)=0 偶函数y轴对称

奇函数 × 偶函数=奇函数，其余均=偶函数

周期性

有界性

区分有界和有极限

无穷大一定无界，但是无界不一定无穷大

常考题型

函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；

复合函数；

极限

数列极限

与前n项无关

函数极限

存在准则

夹逼

单调有界

无穷大极限

区分正负极限

x趋于无穷极限

x趋于有限值极限

x在x0处的极限与f（x0）无关 x趋近但不等于x0

区分左右极限

分段函数、e无穷型、arctan无穷型 区分左右

性质

有界性

数列：数列收敛，一定有界

函数：函数在x0处极限存在，则x0某去心邻域有界（局部有界）

保号性

数列

函数

极限值＞或<0，则存在去心邻域，使得去心邻域内函数值＞或<0

x0去心邻域内函数值≥0或≤0，则x0极限≥或≤0

极限值与无穷小的关系

极限值与函数值之间差了一个无穷小

极限结论

x趋向0，|x|趋向于0

极限存在准则

夹逼

常用在n项和，对式子进行合理放缩，使得符合夹逼准则 缩小时可以直接去掉某项

单调有界

单调有界，必有极限 单调增，有上界或单调减，有下界

用在递推关系式

无穷小

比较

高阶

低阶

同阶

极限之比=常数C

等价

无穷小的阶

性质

有限个无穷小的和、有限个无穷小的积、、无穷小*有界，均为无穷小

无穷大

概念

常用无穷大的比较

函数：对数＜＜幂函数＜＜指数

数列：对数＜＜幂函数＜＜指数新＜＜阶乘＜＜n的n次方

无穷大的性质

有限个无穷大之积、无穷大与有界变量之和，仍为无穷大

无穷大之和不一定为无穷大，n+（-n）

注意无穷大不一定是正数，而是绝对值的无穷大（分正负）

无穷大≠无界

无穷大与无穷小

同一极限过程，无穷大倒数为无穷小，无穷小倒数为无穷大（分数有定义）

内容概要

（一）极限的概念

（二）极限的性质

（三）极限存在准则

（四）无穷小

（五）无穷大

题型

题型一 极限的概念性质及存在准则

题型二 求极限

基本极限

子主题

例题

等价无穷小代换

代换原则

乘除随意

加减代换后不能为0

子主题

子主题

有理运算法则

子主题

洛必达法则

泰勒公式

夹逼原理

单调有界准则

1.证极限存在

单调有界

平均值结论

算术平均值

2ab <= a^2+b^2

几何平均值

3√(abc) = (a+b+c)/3

2.假设极限为a，等式左右取极限解方程

定积分定义

可爱因子

题型三 无穷小量阶的比较

连续

概念

某点极限值=函数值：连续 左极限=函数值：左连续 右极限=函数值：右连续

间断点

定义：函数在x0某去心邻域有定义，但不连续，则称间断点

分类

第一类： 左右极限均存在

可去间断点：左极限=右极限

跳跃间断点：左极限≠右极限

第二类： 左右极限至少一个不存在

无穷间断点 eg：x→0 ：1/x

振荡间断点 eg：x→0 ：sin（1/x）

判断分类

分段函数分界点，e无穷，arctan，需要左右极限

找出可能的间断点，逐个判断类别

运算与性质

连续函数的和差积商（分母≠0）仍为连续函数

连续函数复合仍为连续函数

基本初等函数定义域内连续

初等函数定义区间内连续

闭区间性质

有界性定理

闭区间连续则有界

最值定理

闭区间连续则必有最大值和最小值

介值定理

闭区间a b连续且a b函数值不等， 则a b函数值之间的值必可以由ab之间值取到

推论：最大值与最小值之间的值必可以取到

零点定理

ab连续且ab函数值异号，则ab之间必有函数值为0

间断点及其类型的判定

第二章导数与微分

第三章 微分中值定理与导数应用

微分中值定理

将导数与函数连接起来

中值定理

费马引理

fx在x0处可导且极值，则x0导数为零

罗尔定理 （最特殊）

[a,b]连续，(a,b)可导，a=b，则存在ab中数使得导数为0

拉格朗日中值定理

柯西中值定理 （最一般）

泰勒公式

皮亚诺型余项泰勒公式

余项极限趋于0，研究局部性质，极限，极值

麦克劳林公式

子主题

拉格朗日型余项泰勒公式

余项区间内趋于0，研究整体性质，最值，不等式

常用泰勒公式

使用方法

什么时候用：出现函数n阶导数时

用什么：看研究局部还是研究整体

怎么用：哪个点信息更多，在哪个点上用

导数应用

单调性

极值

x0邻域内函数值均小于或大于f(x0)

必要条件

若可导且取得极值，的导数为0

充分条件

第一充分条件

去心邻域可导，且导数=0，或导数不存在但连续

根据左右导数符号判断极大极小，不变号则无极值

可判断无导数点

第二充分条件

一阶导数=0，二阶导数≠0

二阶导<0，极大值；二阶导>0，极小值（函数凹凸）

方便，但无法判断无导数点

驻点

导数=0

寻找：导数为0，导数不存在

最值

内部极值+端点

若连续函数在（a，b）之间唯一极值，则此点为最值

应用题

建立函数

曲线凹凸性

凹凸定义

子主题

判断方法

二阶导＞0，凹

二阶导＜0，凸

二阶导正凹负凸

拐点

凹凸分界点

(x0，f(x0)) 是图像上的点，具有x和y值

类比极值，导数阶数提高

渐近线

水平渐近线

子主题

垂直渐近线

子主题

斜渐近线

子主题

y=ax+b+α(x) α(x)→0

函数作图

不怎么考

经济学应用（数三）

曲线的弧微分与曲率

子主题

子主题

根据导数的几何意义，计算出弧微分

题型

题型二 函数的极值和最值，曲线的凹向与拐点

找极值：驻点，不可导的点

二阶导数

数形结合

题型三 曲线的渐近线

定义

斜渐近线写为线性函数+无穷小形式

基础

题型四 方程的根

存在性

罗尔定理

零点定理

个数

单调性：最多一个

题型五 不等式的证明

拉格朗日

导数单调性，0

较难

题型六 中值定理的证明题

要证某点<0，则找右端点值<左端点值 反之则找右端点值＞左端点值

难

第四章 不定积分

第五章 定积分与反常积分

定积分

定积分概念

定义：和式的极限

λ：每个小区间最大值

可以提出可爱因子将和式极限转为定积分计算

存在充分条件

子主题

有界是可积的必要条件，可积是有界的充分条件，可积必有界，有界不一定可积

几何意义

函数与X轴围成的面积，有正负号，X轴上方正，下方负

定积分性质

不等式

子主题

子主题

子主题

中值定理

子主题

子主题

积分上限函数

微积分基本定理

子主题

奇偶性质

奇函数积分为偶函数，下限可以为0

定积分计算

牛顿莱布尼茨公式

子主题

不需要回代

子主题

子主题

子主题

考试

定积分概念、性质、几何意义

定积分计算

技巧

积分上下限对称

利用函数奇偶性

奇函数×偶函数=偶函数 其余运算=奇函数

特殊形式

圆形

变上限定积分

子主题

反常积分

无穷区间

定义



正无穷，负无穷，正负无穷

判断方法

比较判别

子主题

大的收敛，小的一定收敛；小的发散，大的一定发散

收敛则放大，发散则缩小

极限形式比较判别



常用结论

P函数，无穷区间型反常积分P函数，

因为求积分后，若P≤1，积分后指数为正，递增 若P＞1，积分后指数仍负，递减

无界函数

定义

左瑕点、右瑕点、左右瑕点

子主题

定义判别

子主题

比较判别的极限形式

子主题

常用结论

P函数

同理：积分后，P＜1时，指数为正，底数趋近0时，函数值=0

P＞1时，积分后指数为负，底数=0时，函数值无穷

题型

敛散性判断

根据分子分母的次数大小估计敛散性，然后有目的的放缩 若估计收敛→放大，大的收敛，小的必收敛 若估计发散→缩小，小的发散，大的必发散

根据分子分母次数，判断P函数中P的值，直接用极限形式进行判断

反常积分计算

第六章 定积分应用

几何应用

平面图形面积

直角方程

子主题

极坐标方程

子主题

旋转体体积

绕X轴

子主题

绕Y轴

子主题

曲线弧长

子主题

旋转体侧面积

子主题

微元法、二重积分

子主题

物理应用

压力

压强公式：p=ρgh（液体密度*重力加速度*液体深度）

压力公式：P=pS

eg

变力做功

eg：

微元法

引力（极少考

第七章-常微分方程

第八章：多元函数微积分

重极限、连续、偏导数、全微分

多元函数极限

子主题

子主题

存在：任意趋近，存在且相同

性质

子主题

求法

子主题

夹逼定理放缩

y以不同方式趋近极限不同

多元函数连续性

子主题

子主题

偏导数

子主题

子主题

全微分







多元函数微分法

复合函数微分法

定理





微分形式不变性

子主题

隐函数

子主题

通过方程确定谁是谁的函数

两边求导

利用微分形式不变性

公式法

多元函数极值、最值

无约束极值

子主题

必要条件

子主题

充分条件

子主题

条件极值 与拉格朗日乘数法

最值

子主题

由全微分得原函数

偏积分

凑微分

混合积分交换次序不变

边界问题

拉格朗日乘数

通过参数方程化条件为无条件

化条件为无条件，直接带入

第九章：二重积分

概念性质

概念

几何意义

性质

不等式

中值定理

计算

直角坐标计算

极坐标计算

子主题

利用对称性和奇偶性计算

子主题

利用变量对称性计算

子主题

第十章无穷级数

常数项级数

性质概念

概念

子主题

子主题

性质

子主题

子主题

加括号使级数趋于收敛

审敛准则

正项级数（不变号

比较法

比较法判别

比较法极限形式

基准级数

p级数

等比级数

判断通项

比值法

后项比前项

根植法

通项开n次方

积分判别法

子主题

交错级数

莱布尼茨准则

通项单调减且极限为0，则交错级数收敛

任意项级数

绝对收敛

加了绝对值仍然收敛，则原级数必收敛，称绝对收敛

条件收敛

原本收敛，加了绝对值发散，称条件收敛

条件收敛的级数的所有正项（负项）构成的级数发散

加绝对值使级数趋于发散

幂级数

定义

子主题

定理

阿贝尔定理

子主题

敛散性分类

任何x均收敛

仅在x = 0 处收敛

存在正数R，|x| < R 时绝对收敛，|x| > R 时发散

若幂级数在x=x0处条件收敛，则x0为收敛区间端点

求收敛半径

比值法

子主题

根式法

子主题

性质

有理运算性质

分析性质

连续性

子主题

可导性

和函数在（-R，R）上可导，且逐项可导，半径不变

子主题

可积性

和函数在（-R，R）上可积，且逐项可积，半径不变

子主题

函数的幂级数展开

定义

特别的，当x=0时，称麦克劳林级数

子主题

方法

直接展开

求出fx在x=0处的各阶导数

写出麦克劳林级数，并给出收敛区间

证明在收敛区间内余项=0

？

可证明数列递减而大于0，即极限=0

写出展开式，收敛区间

间接展开

常用展开式

根据函数展开的唯一性，从已有的展开式出发，利用幂级数的各种性质，以及变量代换方法，得到所给函数的展开式

常用

求导

拆项

缺项的幂级数

x2n看作(x^2)^n

傅里叶级数

傅里叶系数和傅里叶级数

傅里叶系数

子主题

收敛定理（狄利克雷

子主题

子主题

子主题

子主题

周期为2π的函数展开

子主题

f(x)奇函数

子主题

f(x)偶函数

子主题

展开正弦

子主题

展开余弦

子主题

周期为2l的函数展开

子主题

子主题

子主题

奇函数

子主题

偶函数

子主题

子主题

正弦

子主题

余弦

子主题

第十一章：向量代数与空间解析几何 及多元微分学在几何上的应用

第十二章：多元积分学及其应用

三重积分

定义：

体积微元法

计算

直角坐标

先一后二

先单积分，后重积分

先二后一

先重积分，后单积分

柱坐标

参数方程

子主题

子主题

体积微元：

球坐标

参数方程

子主题

ｚ轴夹角为φ，ｘ轴夹角为θ

体积微元　：

利用奇偶性

积分域关于xoy面对称，则看关于z的奇偶性，同理xoz，yoz

利用变量对称性

积分域x，y，z变量可互换，则积分函数同理

曲线积分

第一类线积分

定义

子主题

对弧长积分，由求不规则曲线质量问题引出

性质

路径方向无关，A到B等同B到A

计算方法

直接法

参数方程

直角坐标

极坐标

利用奇偶性

积分曲线关于y轴对称

则看函数关于x的奇偶性

积分曲线关于x轴对称

则看函数关于y的奇偶性

利用对称性

关于y=x对称，则

空间曲线

第二类线积分

定义

对坐标的积分，由求曲线变力做功引出

性质

与路径方向有关，反方向则变号

计算

直接法

参数方程

格林公式

、

补线用格林公式

正向：积分区域逆时针，积分域在边界左侧

利用线积分与路径无关

判断：

单连通：没有洞的区域

改变路径

改变路径连成的区域中，要求偏导数存在

利用原函数：

偏积分；凑微分

上下限代入原函数

两类线积分的联系

cosα，cosβ即弧段切线的方向向量

空间曲线

直接法

类比平面二类积分，参数方程式

斯托克斯公式

cosα，cosβ，cosγ 分别为平面法线向量的方向余弦

类比格林公式，将空间曲线积分转为曲面积分，右手法则取正向

二维形式即格林公式

斯托克斯公式化为曲面积分

化空间为平面

将z(x,y)代入方程，积分区域取xoy投影，利用格林公式求解

曲面积分

第一类面积分

与积分曲面的方向无关

计算

直接法

子主题

利用奇偶性

曲面关于xoy对称，则看函数对z的奇偶性，偶倍奇零

利用对称性

第二类面积分

与积分曲面的方向有关

计算

直接法

将曲面方程z=z(x, y)代入，然后将曲面投影到xoy面，根据曲面方向与z轴正向夹角加正负号

子主题

高斯公式

子主题

注意方向，补的面和原方向要对应，计算补面同样注意方向

补面用高斯公式

两类面积分联系

子主题

注意点

线面积分可将方程代入，重积分不可代入

多元积分应用

子主题

场论初步

多元积分学及其应用

三重积分

定义

计算

利用直角坐标

先一后二【先单后重】

拓展

先二后一【先重后单】

体积微元

利用柱面坐标计算

ρ为常数

圆柱面

θ为常数

半平面

z为常数

平面

柱坐标与直角坐标的关系

体积微元

底面积（极坐标）x高

利用球面坐标计算

r为常数

球面

φ为常数

圆锥面

θ为常数

半平面

球坐标与直角坐标的关系为

体积微元

近似看成长方体：长x宽x高

对称性

W关于xOy面对称【上下对称】

类似

轮换对称性

若x，y互换后【W中的x和y】，W区域不变

若x®y,y®z,z®x【【W中的x、y和z】，区域W不变

例题

李永乐复习全书基础版 135 例2 法二

李永乐复习全书基础版 136 例3 法一

做题方法

选择适宜坐标系和累次积分顺序

积分域的形状

分块少，表达简便

边界

直角坐标面

直角坐标

柱坐标面

柱坐标

球坐标面

球坐标

被积函数的形式

柱坐标

球坐标

利用对称性、轮换对称性等等化简计算

曲线积分

第一类线积分

对弧长的线积分

定义

f(x,y)在光滑曲线段L上对弧长的曲线积分

在分段光滑的曲线段上的积分=各光滑曲线段.上的积分之和

存在条件

必要条件、充分条件

同重积分、 定积分

性质

其他与定积分相同

与积分路径方向无关

计算

基本方法(直接法) [参数法]

找到 L的单参数方程，将曲线积分化为对该参数的定积分

设L为xOy面上的平面光滑曲线段

ds

ds

ds

设L为空间光滑曲线段

ds

ds

主义

对弧长的曲线积分化为定积分后，恒有上限>下限

对称性

若积分曲线L关于y轴对称

若积分曲线L关于x轴对称

若L关于x，y具有轮换对称性

即x，y互换后,L不变

L关于y=x对称

做题步骤

首先考虑代入化简

然后考虑对称性

再用公式

例题

李永乐复习全书基础版 139 例2

第二类曲线积分

对坐标的曲线积分

定义

性质

与积分路径方向有关

计算

平面

基本方法(直接法或参数法)

格林公式

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y) ,Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有

其中L为D取正向的边界曲线.

如何取正向

曲线L的正向:当观察者沿边界行走时，区域D总在左边

用法

直接用

补曲线

挖去奇点用格林公式

利用积分与路径无关

前提 【四条等价】

某个函数的全微分

即有原函数

计算

改换路径计算

利用原函数计算

求原函数的方法

偏积分

凑微分

空间 【了解】

直接法

设分段光滑的曲线L由参数方程x = x(t),y= y(t),z= z(t),t∈[a,β]给出,其起点 和终点分别对应参数t=a和t=β, P,Q,R在L上连续,则

斯托克斯公式

降维法

将空间线积分化为平面线积分用格林公式

两类线积分的联系

L正方向上的单位切向量

曲面积分

第一类面积分

对面积的面积分

定义

性质

与积分曲面的方向无关

计算

直接法

直角坐标

类似的

若曲面由方程x=x(y,z)或y=y(z,x)给出，也可类似地把对面积的面积分化为相应的二重积分

步骤

一投

投影到对应面

Dxy

二代

z=z(x,y)

三换

换dS为dxdy的东西

对称性

关于xOy面对称

例题

李永乐复习全书基础版 143 例1

轮换对称性

若x，y互换后【å中的x和y】，曲面S不变

例题

李永乐复习全书基础版 144 例6

若x®y,y®z,z®x【å中的x和y】，曲面S不变

第二类曲面积分

对坐标的曲面积分

概念

双侧曲面

如

函数曲面z= z(x,)、 y=y(,x)、x=x(v,z)

双侧曲面的一侧

称为有向曲面

有向曲面的投影

定义

第二类曲面积分存在的充分条件

连续

性质

与积分曲面的方向有关

计算

直接法 （投影法）

图像

注意

上侧+下侧-

注意

前侧+后侧-

注意

右侧+左侧-

高斯公式

封闭区域内测要加负号

用法

直接用

补曲面用

挖去奇点用高斯公式

两类面积分的联系

多元积分应用

一览表

变力做功

通量

向量场

通量

环流量

场论初步

方向导数

定义

定理

梯度

散度

旋度

浮动主题