导图社区 考研高等数学知识点总结（数二）
利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）、消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）、利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量、连续函数的和差积商及复合仍连续、基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区域内连续。
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高等数学
第一章 函数 极限 连续
第一节 函数
内容要点
函数的概念及常见函数
函数概念
复合函数
反函数
初等函数
函数的形态
单调性
奇偶性
周期性
有界性
常考题型方法技巧
题型一 复合函数
定义域
值域
题型二 函数形态
第二节 极限
极限的概念
数列极限
函数极限
极限的性质
局部有界性
保号性
极限值与无穷小之间的关系
极限存在准则
夹逼准则
单调有界准则
无穷小
无穷小的概念
无穷小的比较
无穷小的性质
无穷大
无穷大的概念
常用的一些无穷大的比较
无穷大与无界变量的关系
无穷大与无穷小的关系
题型一 极限的概念、性质及存在准则
题型二 求极限
求极限的常用方法
1、利用有利运算法则求极限
2、利用基本极限求极限
3、利用等价无穷小代换求极限
4、利用洛必达法则求极限
5、利用泰勒公式求极限
6、利用夹逼准则求极限
7、利用定积分的定义求极限
8、利用单调有界准则求极限
9、利用中值定理求极限
求极限常见类型
函数的极限
0/0型极限
洛必达法则
等价无穷小代换
泰勒公式
∞/∞型极限
分子分母同除最高阶无穷大
∞-∞
通分 化为0/0
根式有理化
提无穷因子，然后等价代换、泰勒公式
0·∞型极限
化为0/0或∞/∞
1∞
凑基本极限
改写成指数
三步曲
∞^0和0^∞型极限
改写为指数
数列的极限
不定式
改写成函数极限
n项和的数列极限
夹逼原理 次量级
定积分定义 同量级
n项连乘的数列极限
夹逼原理
取对数化为n项和
递推关系定义的数列
题型三 确定极限式中的参数
题型四 无穷小量阶的比较
利用结论定阶
第三节 连续
连续的概念
左右连续
间断点及其类型
间断点的概念
间断点的分类
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
连续函数的性质
连续函数的和差积商及符合仍连续
基本初等函数在其定于域内连续；初等函数在其定义区间内连续
闭区间上连续函数的性质
最值性
介值性
零点定理
题型一 讨论连续性及间断点类型
题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题
第二章 一元函数微分学
第一节 导数与微分
导数概念
定义、左右导数
微分概念
导数与微分的几何意义
连续、可导、可微之间的关系
求导公式
求导法则
有利运算法则
复合函数求导法
隐函数求导法
反函数的导数
参数方程求导法
对数求导法
高阶导数
题型一 导数与微分的概念
利用导数定义求极限
利用导数定义求导数
利用导数定义判断函数的可导性
题型二 导数的几何意义
题型三 导数与微分的计算
反函数求导法
第二节 导数应用
微分中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西定理
泰勒定理（拉格朗日余项）
极值与最值
极值的概念
机制的必要条件
极值的充分条件
第一充分条件
第二充分条件
第三充分条件
函数的最值
曲线的凹向与拐点
曲线的凹向
曲线的拐点
定义
两侧凹凸性相反
判定
必要条件
曲线的渐近线
水平渐近线
铅直渐近线
斜渐近线
平面曲线的曲率
曲率的计算
直角坐标方程 计算公式
参数方程 计算公式
曲率圆与曲率半径
题型一 函数的单调性、极值与最值
题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线与曲率
题型三 方程的根的存在性及个数
存在性
根的个数
罗尔定理推论
题型四 证明函数不等式
最大最小值
凹凸性
微分中值定理有关的证明题
证明存在一个中值点ξ∈（a,b），使F[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0
分析法（还原法）
微分方程法
证明存在两个中值点ξ,η∈（a,b），使F[ξ,η,f(ξ),f(η),f'(ξ),f'(η)]=0
不要求ξ≠η
在同一区间[a,b]用两次中值定理
要求ξ＝η
将区间[a,b]分成两个子区间，分别用拉格朗日中值定理
证明存在一个中值点ξ∈（a,b），使F[ξ,f^n(ξ)]=0
用带拉格朗日余项的泰勒公式，其中x0点选题目中提供函数值和导数值信息多的点
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分
两个基本概念
原函数
不定积分
原函数的存在性
不定积分的性质
基本积分公式
三种主要积分法
第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法
分部积分法
三类常见可积函数积分
有理函数积分
三角有理式积分
简单无理函数积分
题型一 计算不定积分
题型二 不定积分杂例
第二节 定积分
定积分的概念
分段，近似，求和，取极限
定积分的几何意义
可积性
充分条件
定积分的计算
牛顿-莱布尼茨公式
换元积分法
利用奇偶性和周期性
利用公式
区间再现
变上限积分
定积分的性质
不等式
积分中值定理
题型一 定积分的概念、性质及几何意义
题型二 定积分计算
题型三 变上限积分函数及其应用
连续性
可导性
题型四 积分不等式
变量代换
柯西积分不等式
定积分不等式性质
第三节 反常积分
无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
敛散性判断
题型一 反常积分的敛散性
题型二 反常积分计算
第四节 定积分应用
几何应用
平面图形的面积
空间体的体积
曲线弧长
旋转体侧面积
物理应用
变力做功
液体压力
引力
质心、形心
题型一 几何应用
题型二 物理应用
第四章 常微分方程
第一节 常微分方程
常微分方程的基本概念
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
齐次方程齐次微分方程
一阶线性微分方程
可降阶的高阶方程
高阶线性微分方程
线性微分方程的解的结构
常系数齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
题型一 微分方程求解
题型二 综合题
题型三 应用题
第五章 多元函数微分学
第一节 重极限、连续、偏导数、全微分（概念理论）
重极限
求极限
利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）
消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）
利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量
连续
性质
连续函数的和差积商及复合仍连续
基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区域内连续
有界闭区域上连续函数的性质
偏导数
几何意义
高阶偏导数
全微分
四个等价条件
可微性判定
计算
连续、可导、可微的关系
题型一 讨论连续性、可导性、可微性
第二节 偏导数与全微分的计算
全微分形式不变性
题型一 求一点处偏导数与全微分
题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
题型三 含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分
题型四 隐函数的偏导数与全微分
第三节 极值与最值
无条件极值
极值的必要条件
条件极值及拉格朗日乘数法
题型一 求无条件极值
题型二 求最大最小值
第六章 二重积分
第一节 二重积分
二重积分的概念
二重积分的几何意义
二重积分的性质
不等式性质
二重积分的计算
利用直角坐标计算
先y后x
先x后y
利用极坐标计算
先r后θ
利用对称性和奇偶性计算
利用变量对称性计算
题型一 计算二重积分
题型二 累次积分交换次序及计算
题型三 与二重积分有关的综合题
题型四 与二重积分有关的积分不等式问题
