线性代数第四章

这是一个关于线性代数第四章的思维导图，向量组的线性相关性：向量组A线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵小于向量个数。

向量组的线性相关性

• 向量组及其线性组合
  • 
    • n维向量
      • n个有次序的数所组成的数组
      • 这n个数称为该向量的n个分量
      • 第i个数称为第i个分量
      • n维向量写成一行或一列，分别称为行向量、列向量（看做两个不同的向量），也就是行矩阵、列矩阵
    • 实向量
      • 分量全为实数的向量
    • 复向量
      • 分量为复数的向量
    • 向量组
      • 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合
    • 向量组的线性组合
    • 向量组的线性表示
      • 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是R（A）=R（A，b）
        • 方程Ax=b有解
      • 向量组等价
        • 向量组A和向量组B可以相互线性表示
      • 向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件是R（A）=R（A，B）
        • 方程AX=B有解
        • 推论：向量组A和向量组B等价的充分必要条件是R（A）=R（B）R（A，B）（其中A，B是向量组A，B所构成的矩阵）
      • 向量组B能由向量组A线性表出的充分不必要条件是R（B）≤R（A）
        • 等价于AX=B有解
• 向量组的线性相关性
  • 线性相关与线性无关的定义
    • 线性相关的推论：向量组中至少有一个向量能由其他向量线性表示
  • 向量组A线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵小于向量个数
  • 向量组A线性无关的充分必要条件是R（A）≤m，m为向量个数
  • 若向量组A线性相关，则它的接长向量也线性相关。若向量组A线性无关，则它的接长向量也线性无关。
  • m个n维向量组成的向量组，当维数n（行数）小于向量个数m（列数）时一定线性相关
    • 特别地，n+1个n维向量一定线性相关
  • 若向量组A线性无关，加入一个向量b后线性相关，则b一定能由A线性表示，且表示式唯一
• 向量组的秩
  • A的最大线性无关向量组A0
    • 一、A0线性无关
    • 二、
      • 任意一个r+1个向量都线性相关
      • A中任意一个向量能由向量组A0线性表示
      • A0再加上任意一个A中其它向量后形成的新向量组都线性相关
    • 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0
  • 定理
    • 矩阵的秩等于行向量组的秩等于列向量组的秩
  • 向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件是R（A）=R（A，B）
  • 向量组B能由向量组A线性表出的充分不必要条件是R（B）≤R（A）
• 线性方程组解的结构
  • 性质一
    • 向量方程的两个解的和仍然是该向量方程的解
  • 性质二
    • 向量方程的解的数乘仍然是该向量方程的解
  • 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系
    • 由线性方程组的通解可以求得线性方程组基础解系
  • 若矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为n-r
  • 通解的形式不唯一
  • 当矩阵A与矩阵B的列数相等时，要证R（A）=R（B），只需证齐次线性方程组Ax=0与Bx=0通解
  • 性质三
    • 
  • 性质四
    • 
• 向量空间
  • 向量空间
    • n维向量的集合，且满足线性运算封闭
  • 基、维数、r维向量空间
    • 设V为向量空间，如果V中r个向量满足①这r个向量线性无关②V中任意向量都可由这r个向量线性表示，则称这r个向量构成的向量组为V的一个基，r称为向量空间的维数，并称V为r维向量空间
    • 如果V没有基，那么它的维数为零
    • 0维向量空间只含一个零向量
    • 把V看做向量组，V的基就是它的最大无关组，V的维数就是向量组的秩
  • 解空间
    • n元齐次线性方程组的解集S也是一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间
  • 子空间
  • 自然基
  • 坐标
  • 基变换公式
  • 坐标变换公式
• 11.10线代作业
• 2253246王策