结构力学

结构力学思维导图，包括平面体系的几何组成、静定结构受力分析与特性、静定结构位移、超静定结构受力分析及特性、结构动力特性与动力反应等内容。

结构力学

平面体系的几何组成

几何不变体系的组成规律及其应用

基本概念

结点

铰结点

各杆端不能相对移动但可相对转动，可以传递力但不能传递力矩

刚结点

各杆端不能相对移动也不能相对转动，可以传递力也能传递力矩

支座

（1）活动铰支座

沿支座链杆方向产生约束力。结构在支承处可以绕铰转动和沿x方向移动。

（2）固定铰支座

允许结构在支承处绕铰转动，A不能作水平和竖向移动

过铰心产生任意方向的约束力（分解成水平和竖直方向的两个力）

（3）固定支座

不允许有任何方向的移动和转动，产生水平、竖直及限制转动的约束力

（4）滑动支座（定向支座）

结构在支承处不能转动，不能沿垂直于支承面的方向移动，但可沿支承面方向滑动。不能承受V，只能承受N和M

刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。

（1）在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片

（2）由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片

平面体系的计算自由度

自由度：确定体系位置所需的独立坐标数

一个点的自由度=2

独立坐标数：x和y

一个刚片的自由度=3

独立坐标数：x、y和φ

凡是减少一个自由度的装置，称为一个约束（联系）

链杆：一个链杆为一个约束（y被限制）

单铰：连接两个刚片的铰称为单铰

自由度变化：【x1，y1，φ1；x2，y2，φ2】==【x，y，φ1，φ2】

自由度减少了2个==【1个单铰=2个约束】

复铰：连接两个以上刚片的铰称为复铰

【x1，y1，φ1；x2，y2，φ2；x3，y3，φ3】==【x，y，φ1，φ2，φ3】

自由度减少了4个==4个约束

联结n个刚体的复铰==2(n-1)个约束

体系的计算自由度W

W=3m-(2h+r)

m ：刚片数（3个自由度），支座链杆不算刚片

h ： 单铰数（2个约束），复铰需要转换为单铰（支座链杆不计入复铰刚片数量）

r ：支座的链杆数（1个约束）

铰接链杆体系【所有的杆件和支座都铰接】

W=2j-(b+r)

j ：结点数

b: 杆件数

r ：支座的链杆

计算结果分析

（1）W>0：表示体系缺少足够的联系，是几何可变的；

（2）W=0：表示体系具有成为几何不变所需的最少联系数目，而布置不当会成为几何可变；

几何不变体系的基本组成规则

三刚片规则（三铰规则）

三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成的体系是几何不变的，且没有多余联系。如图两个基本图形

二元体规则

二元体：两根不在一直线上的链杆连接成一个新结点的构造称为二元体

在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何构造性质

两刚片规则

两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连（形成稳定的三角形刚体），组成的体系是几何不变的，且没有多余联系

两个刚片用3根不相交于一点或不平行的链杆相连接，组成的体系是几何不变的，且没有多余联系

虚铰：连接两个刚片的两根连杆的作用相当于其交点处的一个单铰，该铰的位置随链杆的转动而改变

E.G. 三铰不共线、三杆不平行、三杆不交于一点

瞬变体系

一旦发生微小位移后，运动不再继续发生的体系

三杆交于一点

PS. 三杆同直线

等长=常变

不等长=瞬变

三节点同一直线

机动分析--分析可变/常变

1、先从全局考虑，复杂问题简单化，化繁为简

1）简化刚片

2）划分地基刚片

固定支座可以与地基看做一个刚片

固定铰可与地基看成一个刚片

所有的地基都可以连接起来按一个地基刚片

3）剥离出一些小刚体组（如三角形组等）

4）简化体系（二元体规则）

2、根据小刚体组之间的链接关系 来判断 体系可变性（两刚片或三刚片规则）

几何构造与静定性的关系

几何不变体系

无多余约束

静定结构

有多余约束

超静定结构

静定结构受力分析与特性

静定结构受力分析方法

反力

静定结构特性及其应用

静定梁与静定刚架

1、单跨静定梁

分类

简支梁

伸臂梁

悬臂梁

截面法求内力【两侧隔离体选外力最少】

轴力：以拉力为正

剪力：以绕隔离体顺时针方向转动为正

弯矩：使梁的下侧受拉为正

叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形=每一种荷载单独作用产生效果的总和【只有线性变形体才适用】

2、多跨静定梁

计算顺序：

1、先判断主体和附属结构

2、求解附属反力，并绘制附属结构内力图

1）先选取研究没有支座的附属结构（因为有支座就有多余的未知力）

2）要在主体和附属结构连接处”补充”保持原截断结构平衡的力系

3）求解附属部分的“联系反力”（铰或链杆）；可以选取未知数较多的铰点做力矩平衡方程，只留1个未知数

3、求解静定主体内力，并绘制主体结构内力图：

1）确定控制截面（外力突变处）

2）内力连线（铰点处M=0）

结构

基本部分

若荷载仅作用在基本部分上时，会使基本部分产生内力，但附属部分不会产生内力

附属部分

若荷载仅作用在附属部分上时，会使基本部分和附属部分都会产生内力

3、 静定平面刚架

分类

悬臂钢架

简支钢架【半铰】

三铰钢架

特点

弯曲变形为主

梁式杆为主

刚结点

内力方向

1）弯矩图绘在受拉边【不用注明+-】

2） 剪力和轴力的符号规定与梁相同，图形绘法也相同

（轴力：以拉力为正；剪力：以顺时针方向为正）

静定刚架的计算步骤：

以整体或部分为研究对象，采用力矩或力系平衡来计算支座反力（或约束力）

逐杆（先算好算的，先附属）计算杆端截面内力（简称杆端力）和控制截面内力

内力图

4、少求或不求反力绘制弯矩图

铰处弯矩为0

结构上的悬臂部分和简支梁部分，弯矩图可以优先绘出

直杆的无荷载区段弯矩为直线

外力与杆轴重合时不产生弯矩

刚节点力矩平衡条件

区段叠加法做弯矩图

5、静定结构的特性

静力解答的唯一性

静定结构中，除荷载作用，其他原因【如温度、支座位移、材料收缩、制造误差等】均不引起内力

温度改变：有变形，无反力和内力

支座位移：有位移，无反力和内力

平衡力系的影响

平衡力系组成的荷载作用于静定结构的某一本身为几何不变的部分（或刚体）上时，只有此部分受力，其余部分的反力和内力为0

——若设想其余部分均不受力而将它们撤去==所剩部分由于本身是几何不变的，在平衡力系作用下仍能独立地维持平衡

而所去部分的零内力状态与其零荷载平衡

荷载等效变换的影响

一种荷载变换为另一种静力等效的荷载称为等效变换

合力相同的不同荷载称为静力等效的荷载

作用在静定结构的某一本身为几何不变部分上的荷载在该部分范围内作等效变换时，只有此部分的内力发生变化，其余部分内力保持不变

静定拱

1 概述

拱：杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构

竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构或推力结构

类型

三铰拱—静定结构

水平反力指向内方称为推力

两铰拱—1次超静定结构

无铰拱—3次超静定结构

形式

拉杆拱：

拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力

拉杆做成折线形可获得较大空间

平拱：两拱趾在同一水平线上

斜拱：两拱趾不在同一水平线上

2 三铰拱的计算

推力FH与拱高 f 成反比

水平力Fh=M/f

斜拱：Fh=M/h

计算M时，只取半边，计算顶上点的弯矩

3 三铰拱的合理拱轴线

合理拱轴线：拱上所有截面只有轴力时的拱轴线【M=0、V=0】

1、对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线为：抛物线

2、三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理拱轴线为：圆弧线

静定平面桁架

平面桁架的计算简图

桁架：主要承受轴力

平面桁架的计算简图引入如下假定

（1）各结点都是无摩擦的理想较

（2）各杆轴都是直线，并在同一平面内且通过铰中心

（3）荷载作用在结点上，并在桁架的平面内

分类

根据几何组成方式

简单桁架：由一个基本铰接三角形依次增加二元体而组成的桁架

外形

联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成规则而联合组成的桁架

复杂桁架：不是按上述两种方式组成的其他静定桁架

根据竖向荷载是否引起水平反力

无推力【梁式】桁架

有推力【拱式】桁架

内力求解方法

结点法

取一个结点为隔离体，计算桁架杆件的内力

适宜于“拆除0杆后为二元杆系”

即刚开始为一个基本铰接三角形，后续一次增加铰接二元杆件

避免在节点间建立方程

零杆的判断

(1)L形结点——两杆结点。当结点上无荷载时两杆内力皆为零。凡内力为零的杆件称为零杆

(2)T形结点——三杆汇交、两杆共线

当结点上无荷载时，第三杆【单杆】必为零杆，而共线两杆内力相等目符号相同(即同为拉力或同为压力)。

(3)X形结点——四杆结点、两两共线，当结点上无荷载时，则【共线两杆】内力相等且符号相同。

(4)K形结点——四杆结点。四杆中两杆共线，而另外两杆在此直线面侧且交角相等。结点上如无荷载，【非共线两杆】内力大小相等而符号相反(-为拉力,则另一为压力)。

截面法【截断的杆件数不多于3】

力矩法

斜交杆件特征明显

投影法

平行杆件特征明显

结点法和截面法的联合应用

桁架内力求解思路框架

先拆除零杆，再计算

静定结构位移

广义力与广义位移

位移：结构各处位置的移动

虚功原理

变形体系处于平衡的必要和充分条件是：

对于任何虚位移，外力所做虚功总和=各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和==【外力虚功=变形虚功】

1）虚位移是指在约束条件下结构能发生的任意微小位移

2）外力虚功W（荷载或支座位移）：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其相应的虚位移上所作虚功的总和

3）变形虚功Wv（微段的内力）：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能

力状态与位移状态是一个结构的两个不相关状态

单位荷载法【位移计算的一般公式】

W=Wv

1）若计算结果为正==单位荷载所作虚功为正，因此所求位移△k的实际指向与所假设的单位荷载Fk=1的指向相同，为负则相反。

2）利用虚功原理求解结构的位移，关键就在于虚设恰当的力状态：虚拟状态中在所求位移地点沿所求位移方向加一个单位荷载，以使荷载虚功恰好等于所求位移

荷载下静定结构的位移计算

图乘法

同一杆件可以

分块图乘

分段

当结构中各杆段满足下列条件时：

（1）杆轴为直线；

（2）EI=常数；

（3）M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形

支座位移和温度变化引起的位移

位移

支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度EI有关

温度

温度内力与各杆的绝对刚度EI有关

温度低的一侧受拉

【线弹性】互等定理及其应用

功的互等定理：【虚功互等】

第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功

位移互等定理：

第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移

反力互等定理：

单位力所引起的结构某支座反力=该支座发生单位位移时所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反

超静定结构受力分析及特性

超静定次数

从几何构造看：超静定次数 = 多余联系的数目

从静力分析看：超静定次数 = 多余未知力的数目

计算自由度W

力法

力法方程及其意义

D1=d11×X1+d12×X2+D1P=0

D2=d21×X1+d22×X2+D2P=0

荷载作用下超静定结构内力分布与刚度的绝对值无关只与各杆刚度的比值有关

单位荷载法求超静定结构位移时，单位力可加在任意力法基本结构上

对称性利用

几何形状、支承情况、刚度分布对称

对称荷载

——作用在对称结构对称轴两侧，大小相等、方向和作用点对称的荷载

反对称未知量为零

M、N图正对称；V图反对称

变形与位移对称

反对称荷载

——作用在对称结构对称轴两侧，大小相等、作用点对称、方向反对称的荷载

对称未知量为零

M、N图反对称；V图对称

变形与位移反对称

取半结构计算

位移法

基本体系

位移法基本未知数----结点位移.

内力计算的关键

位移法的基本结构----单跨梁系.

位移法的基本方程----平衡方程.

位移法求解过程:

1)确定基本体系和基本未知量

2)建立位移法方程

3)作单位弯矩图和荷载弯矩图

4)求系数和自由项

5)解方程

6)作弯矩图

典型方程

R1=r11Z1+r12Z2+R1p=0

R2=r21Z1+r22Z2+R2p=0

等截面直杆刚度方法

等截面直杆的转动刚度

使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需施加的杆端弯矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB

A端一般称为近端

B端一般称为远端

对等直杆，SAB只与B端的支撑条件有关

力矩分配法

适用范围

无结点线位移的刚架和连续梁

力矩分配系数

一个结点上的各杆端分配系数总和恒等于1

传递系数

C=远端弯矩/近端弯矩

远端固定C=1/2

远端铰支C=0

远端定向C=1

结构动力特性与动力反应

单自由度体系

结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的最小数目。（一般为：质点在x，y方向的位移或杆件旋转角度φ）

单自由度结构—具有一个自由度的结构

多自由度结构—自由度大于1的结构

自由度的数目不完全取决于质点的数目

自振周期

振动一周所需秒数

频率

振幅与最大动内力

阻尼对振动的影响

阻尼产生原因: 材料的内摩擦，连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等

R (t) = - b y(t) β -----阻尼系数

阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。

粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反

不计阻尼强迫振动

过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；

平稳阶段：后来只按荷载频率振动阶段。(由于阻尼的存在)

在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动

力法与位移法的比较

力法

基本未知量：多余约束力

基本结构：一般为静定结构。

作单位和外因内力图

由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。

建立力法方程（协调）

[d ]{X}+ {D} = {D}

解方程求多余未知力

迭加作内力图

用变形条件进行校核

不能解静定结构

位移法

基本未知量：结点独立位移

基本结构：单跨梁系

作单位和外因内力图

由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。

建立位移法方程（平衡）

[K]{D}+ {F}= {0}

解方程求独立结点位移

迭加作内力图

用平衡条件进行校核

可以解静定结构