导图社区 矩阵分析
在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。本思维导图是矩阵分析的笔记与概括,适合期末复习,希望对你有帮助!
编辑于2019-12-29 12:25:10矩阵分析
相似变换
相似
对角矩阵
有n个线性无关的特征向量
有n个互不相同的特征值
若尔当型
任意矩阵均可以化成若尔当型
1.特征向量法
1.求出特征值
2.求出特征向量
3.按照特征向量的数量进行分块 主对角线元为特征值 此对角线元为1
2.初等变换法
1.行列变换成Smith标准型 即化成对角线型 同时对角线上元素 下一个可以整除上一个
2.得到不变因子 即主对角线上元素
3.得到初等因子 即不变因子中一次因式的方幂
4.根据初等因子写出若尔当块
3.行列式因子法
1.找出全部K阶首一最大公因式
2.二阶除以一阶 三阶除以二阶 ...得到不变因子
3.由不变因子得到初等因子 写出若尔当块
酉相似
特殊的相似 相似变换矩阵为酉矩阵
酉矩阵:U(H)*U = I 即U的共轭转置矩阵等于U的逆矩阵
酉相似于上三角矩阵
1.Schur定理:任意矩阵均可以酉相似于上三角矩阵
2.求解相似变换矩阵 无
酉相似于对角矩阵
充分必要条件:为正规矩阵
正规矩阵:A(H)*A=A*A(H)
1.酉矩阵
A(H)*A=I
2.正交矩阵
特殊的酉矩阵:实方阵
3.Hermite矩阵
A(H)=A
4.实对称矩阵
A(T)=A
5.对角矩阵
1.判断是否是正规矩阵
2.求出特征值、特征向量
3.将特征向量正交化
Schmidt正交化方法 x1 x2 x3
1.y1 = x1
2.y2 = x2 - (x2,y1)/(y1,y1)*y1
3.y3 = x3 - (x3,y1)/(y1,y1)*y1 - (x3,y2)/(y2,y2)*y2
4.单位化
向量除以其2范数
5.得到酉矩阵U(列向量为单位化后的特征向量)
Hamliton-Cayley定理
Hamliton-Cayley定理:j(l) = det(lI-A) j(A) = 0
零化多项式:使得F(A) = 0的多项式,特征多项式就是零化多项式
最小多项式:m(t) 次数最低的首一零化多项式 是唯一的
相似矩阵有相同的最小多项式
范数
向量范数
定义
1.非负性
当x≠0时,||x|| > 0;当x=0时,||x|| = 0
2.齐次性
êêlxêê = |l|*||x||
3.三角不等式
||x+y|| <= ||x|| + ||y||
p范数:(åx(i)^p)^(1/p)
1范数:各分量取模求和
2范数:各分量取模求平方和 再开根
¥范数:各分量取模后最大的值
性质
Cn上的所有向量范数等价
向量范数等价:存在范数b使得范数a在范数b的倍数范围之内
矩阵范数
定义
1.非负性
当A≠0时,||A||>0;当A=0时,||A|| = 0
2.齐次性
||lA|| = l*||A||
3.三角不等式
||A||+||B|| <= ||A||+||B||
4.相容性
||AB|| <= ||A||*||B||
常用7种范数
m1范数:
矩阵各元素取模求和
F范数:
计算方法1.矩阵各元素取模求平方求和开根号
计算方法2.A的共轭转置乘以A求迹,即对角线元素求和,开根号
性质:酉不变性 即左乘或者右乘一个酉矩阵后 F范数不变
m¥范数:
矩阵各元素的最大值乘以矩阵的行数(或者列数,取大的那个)
G范数/几何平均范数:
矩阵元素的最大值乘以根号下行数与列数乘积
从属范数
意义:使得||I|| = 1的范数,由向量范数导出
1范数/列和范数:
矩阵每一列元素取模求和,取最大的一列
2范数/谱范数:
根号下A的共轭转置乘以A的最大特征值
∞范数/行和范数:
矩阵每一行元素取模求和,取最大的一行
性质
与向量范数的相容性
若||A||*||x|| <= ||A||*||x||
每一种矩阵范数必存在与之相容的向量范数
范数应用
谱半径
定义
矩阵的谱半径p(A)即为最大取模特征值
性质
p(A^k) = ((p(A))^k
p(A^H*A) = p(A*A^H) = (||A||2)^2
当A是正规矩阵时,p(A) = ||A||2(表示矩阵A的2范数即谱范数 上同)
p(A) <= ||A|| A的谱半径小于A的任意矩阵范数
条件数
定义
矩阵的条件数cond(A)=||A||*||A^-1||
性质
矩阵条件数大则称为病态的 因为在求解线性方程组时 微小的改动会引起结果很大的差异
这里的大 一般定义为远大于1
矩阵函数
矩阵序列
定义
A(k) = (a(i,j)(k))m×n 即矩阵序列其实是m×n个元素序列
收敛
定义
lim A(k) = A k→∞
充要条件
A(k)-A的任一矩阵范数趋于0 k→∞
性质
lim aA(k)+bB(k) = aA+bB
lim A(k)*B(k) = AB
当A(k)与A均可逆时 lim A(k)^-1 = A^-1
收敛矩阵
定义
lim A(k) = O k→∞
充要条件
p(A) < 1 即谱半径小于1
推论
A的任一范数小于1 因为谱半径小于任意范数
矩阵级数
级数
收敛性
1.矩阵级数可以看做m*n个数项级数构成的级数
因此判断矩阵级数收敛性可以通过判断m*n个数项级数收敛
2.由于矩阵范数是用来衡量矩阵的大小的指标
因此 只要矩阵的范数构成的数列收敛即可
幂级数
幂级数即为特殊的级数 形如 Sa(k)*A^(k)
收敛性
由于幂级数仍为级数 因此上面两条仍适用 除此之外 还有特有的判断法则
收敛半径 r
r = 1/p
p = lim a(k)开k次根号 k趋于无穷
p = lim a(k+1)/a(k) k趋于无穷
当矩阵谱半径小于收敛半径时 矩阵收敛
nueman级数
特殊的幂级数 即其系数a(k)恒为1
当纽曼级数收敛时 其值等于 (I-A)^-1
矩阵函数
级数之后就是函数 因为函数可以展开成级数进行求解
矩阵函数顾名思义即自变量为矩阵的函数
1.展开法
利用泰勒展将函数展开成幂级数的形式 同时利用矩阵的哈密顿凯莱定理 可以解出特定的矩阵次数的值 带入幂级数形式即可
2.对角化法
由于部分矩阵可相似化成对角矩阵 即B = P^-1*A*P = diag(a1,a2,...,an)
而对角矩阵的函数即为对角线上的元素求函数值 所以 f(A) = P*diag(f(a1),f(a2)...f(an))*P^-1
3.若尔当型法
由于不是所有的矩阵都可以相似化为对角矩阵 但都可以相似化为若尔当型
因此 存在若尔当型法 思想与2相似 不过是直接套公式
4.待定系数法
首先求出特征多项式 然后写出r(a)比多项式最高次数低1
然后对于n重特征值 就对函数和r(a)求n重导数 列等式
最终可以得到一个由所有特征值构成的方程组 解出r(a)中的系数
最后将A带入r(a)即可
矩阵的微分和积分
矩阵的微分和积分即分别对矩阵中的元素进行积分和微分
对于一阶线性微分方程组 有公式 x(t) = e^(A(t-t0))*c + e^(At)*òt0-t e^(-Au)*f(u)du
矩阵分解
三角分解
即分解为上三角与下三角矩阵的乘积
LDR
(LD)*R
Crout分解
L*(DR)
Doolittle分解
(LÖD)*(ÖDR)
Choleskey分解 对称矩阵特有!
QR分解
酉-三角分解
1.Householder
2.Givens
满秩分解
FG分解 F:列 G:行
奇异值分解
对于A 首先求解A^(H)*A的酉相似对角矩阵 S^2 以及相似变换矩阵V
其次利用 U1 = A*V1*S^-1 其中V1表示S^-1所对应的V的列
最后 将U1补全为m阶方阵U
所以 A = U*(S 0)*V^(T)
特征值隔离 估计
盖尔圆定理