一元函数积分学

一元函数积分学知识点总结。包括不定积分，定积分。定积分的应用。框架清晰，内容丰富，帮助小伙伴快速掌握一元函数积分学的内容要点！

一元函数积分学

• 不定积分
  • 概念
    • 连续函数必有原函数
    • • 有一个原函数就意味着有无数个原函数
  • 关系
  • 基本积分表
  • 常用积分表
  • 性质
  • 换元积分法
    • 第一类换元积分法（凑微分法）
    • 第二类换元积分法
  • 分部积分法
    • 使用场景
      • 被积函数是幂函数和正余弦函数或幂函数与指数函数的乘积时
        • 设幂函数为U
      • 被积函数是幂函数和对数函数或幂函数与反三角函数的乘积时
        • 设反三角或对数函数为U
    • 在积分过程中往往需要同时运用换元法和分部积分法
  • 有理函数的积分
    • 有理函数
      • 分类
        • 真分式
          • 分子多项式的次数小于分母多项式
          • 分母可以分解成两个多项式的乘积
          • 可分解成两个真分式只和
        • 假分式
          • 分子多项式的次数大于分母多项式
          • =真分式+多项式
      • 最简分式
        • 多项式
    • 可化成有理函数的积分
• 定积分
  • 定义
    • 注意
  • 可积条件
  • 几何意义
    • • X轴上方为正，下方为负
  • 性质
    • 积分中值定理
  • 积分上限的导数及函数
    • 定理1
    • 定理2
    • 牛顿莱布尼茨公式（微积分基本公式）
  • 定积分换元法
    • 注意
      • 把原来变量x替换成新变量后积分变量也要变成相应的新变量
      • 求出结果后不需要像不定积分一样再把Φ（t）变成原变量x的函数，只要把新变量的上下限带入想减就行了
  • 定积分分部积分法
• 反常积分
  • 无穷限反常积分
    • • 称为反常积分收敛
      • 若极限不存在
        • 反常积分发散
    • 例题
  • 无界函数的反常积分
    • • 类似的
    • • c为瑕点
  • 注
    • 反常积分只要有一部分是发散的，那么整体就是发散的
      • 例5
• 定积分的应用
  • 元素法
    • 如何应用解决问题
      • 求出局部量的近似值
      • 累加，求出整体量的精度值
    • 步骤
      • 建立坐标系，选取积分变量，确定积分区间
      • 取微段，得微元
      • 求面积就是定积分
  • 几何应用
    • 平面图形的面积
      • 直角坐标系
        • 椭圆
          • 具有对称性
            • 只求1/4
          • 方法
            • 利用参数方程
              • 积分时相当于换元
      • 极坐标情况
        • 面积元素
        • 曲边扇形面积
    • 立体体积
      • 已知截面面积函数求体积
        • 体积元素
        • 体积
      • 曲线段绕x轴旋转一周形成的立体体积
      • 曲线段绕y轴旋转一周形成的立体体积
      • 柱壳法