第四章统计数据分布特征的描述

一、众数 二、中位数 三、四分位数 四、均值 五、几何均值 六、切尾均值 七、众数、中位数和均值的比较第4章数据分布特征的描述 众数第4章数据分布特征的描述 众数 (mode) 1. 一组数据中出现次数最多的变量值 2. 适合于数据量较多时使用 3. 不受极端值的影响 4. 一组数据可能没有众数或有几个众数 5. 主要用于分类数据,也可用于顺序数据和数值型数据 6. 众数计算公式见书页。

第四章 统计数据分布特征的描述

• 分布集中趋势的测度 （测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值）
  • 平均指标 （平均数）
    • 位置平均数 （先将总体各单位的变量值按一定顺序排列， 然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平）
      • 众数M0
        • 适用范围
          • 品质标志
            • 定类数据集中趋势
            • 定序数据集中趋势
          • 数量标志
            • 定比数据集中趋势
        • 计算方法
          • 组距式数列
            • 方法一 M0=众数所在组下限+（众数所在组次数与其下限的邻组次数之差/（众数所在组次数与其下限的邻组次数之差+众数所在组次数与其上限的邻组次数之差）×众数所在组的组距
            • 方法二 M0=众数所在组上限-（众数所在组次数与其上限的邻组次数之差/（众数所在组次数与其下限的邻组次数之差+众数所在组次数与其上限的邻组次数之差）×众数所在组的组距
        • 特点
          • 不受极值影响，具有代表性
          • 分布数列均匀分布，无众数
          • 众数组相邻的上一组多，众数组相邻的下一组少，众数在众数组内偏向该组上限
          • 缺乏敏感性
      • 中位数Me
        • 概念
          • 在一个等差数列或一个正态分布数列中，中位数就等于算术平均数
          • 中位数不受极端变量值的影响
        • 计算
          • 未分组
          • 分组
            • 方法一 Me=中位数所在组下限+（总次数/2-中位数所在组以下的累计次数）/中位数所在组的次数×中位数所在组的组距
            • 方法一 Me=中位数所在组上限+（总次数/2-中位数所在组以上的累计次数）/中位数所在组的次数×中位数所在组的组距
        • 特点
          • 不受极值影响，具有代表性
          • 有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会收到影响
          • 中位数缺乏敏感性
      • 四分位数
    • 数值平均数 （从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量）
      • 算术平均数 （均值）
        • 公式：总体标志总量（变量值总量）/总体单位总量（变量值个数）
        • 分类
          • 简单算术平均数
          • 加权算术平均数
            • 公式：每一组组中值与其所在组的频数之积相加
            • 如果计算相对数的平均数，将分子视为总体标志总量，分母视为总体单位总量
        • 算术平均数的权数
          • 权数问题是计算平均数的核心问题
          • 分类
            • 客观权数
              • 客观权数是指被平均的变量存在客观联系的指标
              • 两个方面考虑
                • 次数分布数列
                  • 次数，频数
                • 根据事物的内在属性确定权数
            • 主观权数
              • 根据人们的经验设定权数
                • 作用小赋小权数，作用大赋大权数
        • 算术平均数的性质
          • 利用算术平均数作为代表值，可以使误差相互抵消，反映出事物必然性的数量特征
          • 性质
            • 各变量值与其算术平均数的离差之和等于0—每一个（变量-平均值）×频数相加=0
            • 各变量值与其算术平均数的离差平方和最小
        • 算术平均数的特点和应用
          • 特点
            • 受极值影响大
              • 极大—算术平均数偏大
              • 极小—算数平均值偏小
              • 不能正确反映总体的一般水平
              • 不能准确测定总体集中趋势
          • 应用
            • 剔除极值
              • 切尾平均数
      • 调和平均数 （角标为H）
        • 概念：是根据标志的倒数计算的，它是标志值倒数的算术平均数的倒数，也称为倒数平均数
        • 分类
          • 简单调和平均数
          • 加权调和平均数
            • 比简单调和平均数多×一个频数
        • 注意
          • 当数据出现0时不宜计算调和平均数
        • 特点
          • 易受极端值影响，受极小值的影响比受极大值的影响更大
          • 只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数
          • 当组距数列有开口组时，调和平均数的代表性就很不可靠
          • 调和平均数应用的范围较小
      • 几何平均数 （角标为G）
        • 概念：它是对以连续比率变化或以几何级数变化的变量的平均数 它是M个变量值乘积的M次方根
        • 分类
          • 简单几何平均数
            • 直接将n项变量连乘，然后对连乘积开n次方根所得的平均数
          • 加权几何平均数
            • 将n项变量的各项变量的各项频数次方的连乘，然后对连乘积开全部频数和次方根所得的平均数
        • 特点
          • 几何平均数受极端值的影响较算术平均数小
          • 如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数
          • 仅适用于具有等比或近似等比关系的数据
          • 几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数
  • 几种集中趋势测度值的比较
    • 算术平均数，众数和中位数三者的关系
      • 当总体分布呈对称状态时，三者合而为一
        • 算术平均数=M0=Me
      • 当总体分布呈右偏（上偏）时，众数最小，算术平均数最大
        • M0＜Me＜算术平均数
      • 当总体分布呈左偏（下偏）时，算术平均数最小，众数等于中位数
        • 算术平均数＜M0=Me
      • 中位数与算术平均数的距离是众数与算术平均数的距离的三分之一
        • 众数-算术平均数的绝对值=三倍（中位数-算术平均数）的绝对值
        • |算术平均数-M0|=3×|算术平均数-Me|
    • 算术平均数，几何平均值和调和平均数三者的关系
      • H≤G≤算术平均数
      • 只有当所有变量值都相等时它们才相等
      • 适用于静态的总量指标，相对指标，平均指标
        • 算术平均数
        • 调和平均数
      • 适用于计算时间上相互衔接的比率或速度的平均数
        • 几何平均数
• 分布离散程度的测度
  • 极差 （全距）
    • R=最大标志值-最小标准值
  • 方差和标准差
    • 方差
      • 未分组
        • 总体方差
          • 每一项（各个数据-算术平均数的平方）的求和÷数据个数
        • 样本方程
          • 每一项（各个数据-算术平均数的平方）的求和÷数据个数-1
      • 分组
        • 总体方差
          • 每一项【（组中值-算术平均数的平方）×分别频数】的求和÷所有频数的求和
        • 样本方程
          • 每一项【（组中值-算术平均数的平方）×分别频数】的求和÷所有频数的求和-1
    • 标准差
      • 总体标准差
        • 总体方差的开平方根
      • 样本标准差
        • 样本方差的开平方根
  • 离散系数
    • 概念
      • 根据标准差来计算，也叫标准差系数
      • 是一组数据的标准差与其相应的均差之比
      • 是测度数据离散程度的相对指标
    • 离散系数大，该组数据的离散程度大
    • 离散系数小，该组数据的离散程度小
• 分布偏态与峰度的测度
  • 偏态系数 SK
    • 概念
      • 对数据分布不对称性的度量值
    • 公式
      • 未分组
        • 每一项（各个数据-算术平均数）的求和÷数据个数×样本标准差的三次方
      • 分组
        • 每一项【（组中值-算术平均数）×分别频数】的求和÷所有频数的求和×样本标准差的三次方
    • 偏态系数为正值
      • 右偏（正偏）
    • 偏态系数为负值
      • 左偏（负偏）
    • 偏态系数为0值
      • 分布对称
  • 峰度系数 K
    • 概念
      • 对数据分布峰度的度量值，峰度通常是与标准正态分布相比较而言的
        • 如果服从标准正态分布
          • 峰度系数为0
        • 如果不服从标准正态分布
          • 峰度系数不同于0
            • 比正态分布更平
              • 平峰分布
            • 比正态分布更尖
              • 尖峰分布
    • 公式
      • 未分组
        • 每一项（各个数据-算术平均数的四次方）的求和÷数据个数×样本标准差的四次方-3
      • 分组
        • 每一项【（组中值-算术平均数的四次方）×分别频数】的求和÷所有频数的求和×样本标准差的四次方-3
    • 峰度系数K＜0
      • 扁平分布
    • 峰度系数K＞0
      • 尖峰分布