无穷级数知识大串联

无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。我发布的是穷级数的思维导图，涵盖这章的大部分知识。适合课程预习，期末复习和考研一轮复习。

无穷级数

• 级数敛散性概念
  • 求数列无穷项的和
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    • 若级数收敛，n趋向无穷，则余项为0
• 级数敛散性性质
  • 线性性质
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• 常数项级数
  • 柯西积分审敛法
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      • 无穷级数和无穷反常积分的关系
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        • 保证f(n)大于0，且单调递减
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  • 几类重要极限的敛散性
    • 等比级数(几何级数)
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        • 类似于等比数列
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          • 证明过程
    • P级数
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          • 证明
    • 广义P级数
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  • 级数收敛的条件
    • 级数收敛的必要条件
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    • 级数收敛的充要条件(柯西极限存在准则）
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    • 正项级数收敛的充要条件
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        • 类似于单调有界数列必收敛
  • 比较判别法
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        • 证明过程
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          • 大收敛则小收敛，小发散则大发散
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  • 比较判别法极限形式
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      • 当n趋向无穷且Un或者Vn不为0的时候， 则级数发散，一般考虑级数为0的情况
      • 相当于Vn和Un为0比0型极限 （无穷小的比较） 同阶的时候，同收敛性 高阶的时候，大收敛则小收敛 低阶的时候，小发散则大发散
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  • 比值判别法
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      • 当ρ＜1的时候，相当于后一项比前一项小，级数收敛 当ρ＞1的时候，相当于后一项比前一项大，级数发散 前后项一样的时候，无法判断
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  • 根植判别法
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      • 幂指类型
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  • 交错级数判别法
    • 莱布尼兹判别法
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        • 一般只要满足通项递减就可以
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          • 证明方法：单调递增有上界，则极限存在
  • 绝对收敛与条件收敛
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      • 加上坐标轴下面的值，极限还存在，就说明绝对收敛
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        • 绝对收敛和条件收敛的关系
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          • 条件收敛
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          • 1+2绝对收敛
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          • 1+3条件收敛
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          • 没有级数加了绝对值收敛，不加绝对值不收敛， 所以先要判断它加了绝对值的敛散性
• 幂级数
  • 幂级数及其敛散性
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      • 泰勒级数展开是有限项，无穷级数展开是无穷项
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    • 幂级数的性质
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        • R1和R2一样大的时候不能比较
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    • 阿贝尔定理
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        • 如果收敛点是条件收敛则表明收敛点在端点那块
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    • 幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法
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  • 幂级数的和函数
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        • 可以用幂级数求常数项级数的和
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  • 函数的幂级数展开
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      • 验证拉格朗日余项
      • 泰勒是有限项相加，加个余项，幂级数展开式无穷项相加。
    • c
    • 常用的泰勒级数展开
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• 傅里叶级数
  • 函数可以展开成幂级数或傅里叶级数
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    • 函数是由正弦和余弦所组成
    • 前提(狄利克雷收敛定理）
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        • an和bn叫做傅里叶系数
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          • 求傅里叶系数的方法