高等数学A1

基本涵盖高等数学A1第七版上册积分全部重点知识点.包括函数与极限、导数与微分、微分方程、定积分的应用、定积分、不定积分、微分中值定理与导数的应用。每个部分标注重难点并批注细节。

高等数学A1

• 第一章 函数与极限
  • 映射与函数
    • 映射
      • 原像-像 X-Y x-y Df-Rf 定义域-值域
      • 单射
        • 存在逆映射
      • 满射
      • 同时成立-一一映射
      • 复合映射
    • 函数
      • 构成要素
        • 定义域Df
        • 对应法则f
      • 表示方法
        • 表格法
        • 图形法
        • 解析法（公式法）
      • 类别
        • 绝对值函数|x|
        • 取整函数（阶梯曲线y=[x]） （非初等函数）
        • 符号函数y=sgnx （非初等函数）
        • 分段函数（ 波义耳定律（V不太小） 范德瓦尔斯方程（V相当小） ）
        • 反函数-直接函数
          • 反函数关于y=x对称
        • 复合函数（中间变量）
      • 特性
        • 有界性
        • 单调性
        • 奇偶性
        • 周期性
          • 特殊：狄利克雷函数（无最小正周期） 非初等函数
      • 运算
        • f(x)=g(x)+h(x) 偶g(x)=1/2[f(x)+f(-x)] 奇h(x)=1/2[f(x)-f(-x)]
      • 初等函数
        • 幂函数
        • 指数函数
        • 对数函数
        • 三角函数
        • 反三角函数
      • 特殊函数
        • 双曲正弦shx=(e^x-e^-x)/2 双曲余弦chx=(e^x+e^-x)/2 双曲正切thx=shx/chx=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)
          • sh(x+y)=shxchx+chxshx sh(x-y)=shxchy-chxshy ch(x+y)=chxchy+shxshy ch(x-y)=chxchy-shxshy
  • 数列的极限
    • 收敛&发散
    • 数轴上几何表示
    • 收敛数列的性质
      • 极限的唯一性
      • 收敛数列的有界性
      • 收敛数列的保号性
        • 推论
      • 收敛数列与其子数列间的关系
        • 推论（发散数列也可能有收敛的子数列）
  • 函数的极限
    • 概念
    • 邻域半径
    • 单侧极限
      • 左极限
      • 右极限
      • 极限存在《=》左极限右极限各自存在且相等
    • 性质
      • 唯一性
      • 局部有界性
      • 局部保号性
      • 函数与数列极限存在关系
  • 无穷大与无穷小
    • 无穷小
      • 定义
      • 定理
    • 无穷大
      • 不是数
      • 定义
    • 定理，无穷大与无穷小的倒数关系
  • 极限运算法则
    • 定理，无穷小和为无穷小 乘积为无穷小 函数和的极限等于极限的和，反之亦然 乘积同上 推论，幂次方、与常数的乘积符合上述原则
  • 极限存在法则/两个重要极限
    • 夹逼准则
      • Lim(x->0)(sinx/x)=1
    • 柯西极限存在准则（柯西审敛原理）
      • lim(1+0)^00=e lim(1-0)^00=1/e
  • 无穷小的比较
    • 无穷小定义
    • 高/低/同/K阶的无穷小，等价无穷小（a~b）
    • 定理 b=a+0(a)
      • 应用 sinx~x e^x-1~x tanx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 (1+x^m)^1/n-1~1/n x^m ln(1+x)~x
    • 等价无穷小的性质
      • 反射性
      • 对称性
      • 传递性
  • 函数的连续性与间断点
    • 连续性
      • 定义
      • 左连续 右连续
      • 区间上的连续函数 函数在该区间上连续
        • 端点，右连续/左连续
    • 间断点/不连续点（存在三种情况）
      • 无穷间断点
      • 震荡间断点
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
      • 左右极限存在为第一类间断点 否则为第二类间断点
  • 连续函数的运算与初等函数的连续性
    • 和差积商连续性不变
    • 反函数对应区间对应单调且连续
    • 复合函数
      • 对应连续（传递）
    • 初等函数
      • 在定义区间内连续
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 最大值可等于最小值
    • 定理一，有界性，存在最值
    • 零点定理
    • 介值定理
      • 推论
    • 闭区间一致连续性定理
      • x&y
• 第二章 导数与微分
  • 导数概念
    • 正余弦函数的和差化积
    • 定义
    • 导数公式
    • 单侧导数
    • 几何意义
      • 切线方程&法线方程
    • 可导性与连续性的关系
      • 可导必连续 连续不一定可导
  • 导数的求导法则
    • 和差积商的求导法则
    • 反函数的求导法则
      • 直接函数导数的倒数
    • 复合函数的求导法则
    • 基本求导法则与导数公式
  • 高阶导数
    • 定义
    • 莱布尼兹公式
      • 记忆方式，类比（u+v）^n按二项式定理展开
  • 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数/相关变化率
    • 隐函数 显函数
      • 隐函数的显化
    • 求导方法
      • 两边同时求导
      • 对数求导法
      • 复合函数求导&反函数求导
        • 由参数方程所确定的函数的求导
    • 相关变化率的定义
  • 函数的微分
    • 定义
    • 主部/线性主部
    • 函数的微分 自变量的微分
      • 两者之商等于函数的导数，导数也称微商
    • 几何意义
      • 非线性函数的局部线性化
        • 微分学的基本思想方法
    • 基本初等函数的微分公式
    • 函数和差积商的微分法则
    • 复合函数的微分法则
      • 微分形式不变性
    • 微分的应用
      • 函数的近似计算
      • 误差估计
        • 间接测量误差
          • 绝对误差 相对误差 绝对误差限（简称绝对误差） 相对误差限（简称相对误差）
• 第七章 微分方程
  • 微分方程的基本概念
  • 可分离变量的微分方程
  • 齐次方程
  • 一阶线性微分方程
  • 可降阶的高阶微分方程
  • 高阶线性微分方程
  • 常系数齐次线性微分方程
  • 常系数非齐次线性微分方程
  • 欧拉方程
• 第六章 定积分的应用
  • 定积分的元素法
    • 可加性 面积元素
    • 元素为被积表达式
  • 定积分在几何学上的应用
    • 直角坐标
    • 极坐标
      • 扇形面积A=1/2r^2€
    • 体积
    • 平面曲线的弧长
      • 对光滑的曲线弧是可求长的
  • 定积分在物理学上的应用
• 第五章 定积分
  • 定积分的概念与性质
    • 定义
    • 组成部分名称
      • 被积函数
      • 被积表达式
      • 积分变量
      • 积分下限
      • 积分上限
      • 积分区间
    • 和式～积分和 定积分存在～可积
    • 可积条件
      • 区间内连续
      • 区间内有界且间断点有限
    • 定积分近似值求法
      • 矩形法
      • 梯形法
      • 抛物线法（辛普森法）
    • 性质
      • 被积函数常数可提前
      • 积分区间具有可加性
      • 推论
        • 被积函数大小对比与积分一致
        • 绝对值的积分等于积分的绝对值
      • 由被积函数最值可估计积分值的大致范围
      • 定积分中值定理
        • 中值为区间内平均值
  • 微积分基本公式
    • 定理一，如果函数在区间内连续，那么积分上限的函数在区间上可导，并且它的导数为导数区间上限的函数值
    • 原函数存在定理 肯定连续函数的原函数存在 揭示定积分与原函数的关系
    • 牛顿莱布尼兹公式 （微积分基本公式） 微积分基本原理
      • 区间上定积分等于原函数在区间上的增量
  • 定积分的换元法和分部积分法
    • 换元公式 理解 看做微分
    • 利用函数奇偶性周期性 简便计算
    • 定积分的分部积分公式
      • 已经积出的部分可以先用上下限带入
    • 积分关于下标的递推公式
  • 反常积分
    • 无穷限的反常积分
      • 收敛与发散
    • 无界函数的反常积分
      • 瑕点（无界间断点） 瑕积分
      • 收敛与发散
  • 反常积分的审敛法
    • 无穷限的反常积分的审敛法
      • 函数区间上连续，若函数区间上有上界，则反常积分收敛
      • 比较收敛原理
      • 比较审敛法
      • 极限审敛法
      • 若被积函数绝对值的反常积分收敛则该被积函数的反常积分收敛 （绝对收敛的反常积分必定收敛）
    • 无界函数的反常积分的审敛法
      • 比较审敛法2
      • 极限审敛法2
    • 1^^函数
      • 反常积分收敛
      • 递推公式 (阶乘的推广)
      • 余元公式
• 第四章 不定积分
  • 不定积分的概念与性质
    • 原函数存在定理
      • 连续函数一定有原函数
    • 组成部分名称
      • 不定积分、积分号 被积函数 被积表达式 积分变量
    • 积分曲线（原函数图形）
    • 基本积分表
    • 性质
      • 积分的导数等于导数的积分
      • 积分中常数可提取
      • 积分结果检验，对结果求导
  • 换元积分法（换元法）
    • 凑微分
    • 换积分变量x 利用三角公式
      • 适用于带根号的式子 画辅助三角形换元
      • 1+tan^2t=sec^2t ch^2t-sh^2t=1
    • 倒代换
  • 分部积分法
    • 幂函数与正（余）弦函数乘积 幂函数与指数函数乘积 幂函数与对数函数 幂函数与反三角函数
  • 有理函数的积分
    • 真分式
      • 部分分式和
    • 假分式
      • 多项式与真分式和
    • 化有理函数
      • Sin=2tan/(1+tan^2)
      • cos=(1-tan^2)/(1+tan^2)
      • u=tan(x/2)
  • 积分表的使用
• 第三章 微分中值定理与导数的应用
  • 微分中值定理
    • 罗尔定理 （拉格朗日中值定理的特殊情景）
      • 费马引理～定义区间的最值 导数为零的点—函数的驻点/稳定点/临界点
      • 条件
        • 闭区间连续
        • 开区间可导
        • 区间端点处函数值相等
        • 结果
          • 该区间内至少有一点使得该点导数为零
    • 拉格朗日中值定理（微分中值定理）
      • 条件
        • 闭区间连续
        • 开区间可导
        • 结果
          • 曲线存在切线与端点所连弦平行
            • 拉格朗日中值公式
      • 证明思路
        • 构造辅助函数
      • 有限增量定理（别称）
        • 有限增量公式
    • 柯西中值定理
      • 条件
        • 闭区间连续
        • 开区间可导
        • 结果
          • 两函数区间端点函数值差的商为区间内某一点导数的商
      • 证明思路
        • 引用罗尔定理，证明所构造辅助函数端点值相等
  • 洛必达法则
    • 应用条件
      • 极限为未定式
    • 方法，分子分母同时求导再求极限
  • 泰勒公式
    • 泰勒中值定理
      • n阶泰勒公式 佩亚诺余项
      • n阶泰勒公式 拉格朗日余项
        • 为拉格朗日中值定理的推广
      • 带有拉格朗日余项的麦克劳伦公式
      • 带有佩亚诺余项的麦克劳伦公式
  • 函数的单调性与曲线的凹凸性
    • 单调性的判定法
    • 凹凸性的判定
      • 两点平均值的函数值，两点函数值的平均值的比较
      • 二阶导数的符号 正凹负凸
    • 拐点
      • 凹凸性改变，二阶导符号变化，二阶导为零
        • 为函数上的点
  • 函数的极值与最大值最小值
    • 极值
      • 极大值
      • 极小值
      • 极值点（为x轴上的点）
    • 定理
      • 极值点函数导数为零
      • 去心领域可导
      • 去心领域内符号变化
      • 二阶导不等于零 负为极大 正为极小
    • 最大值最小值应用
      • 求目标函数（驻点或不可导点）
  • 函数图形的描绘
    • 定义域及特性（奇偶、周期）
    • 零点间断点导数不存在的点
    • 一二阶导符号，升降凹凸拐点
    • 水平铅直渐近线etc变化趋势
    • 一二阶导零点不存在点函数值
  • 曲率
  • 方程的近似解
    • 二分法
    • 切线法
    • 割线法
• 定积分与积分变量的记法无关